$LaTeX$ + Blogspot

記得開這個部落，曾為如何撰寫數學符號相當頭痛。
授課員John曾推薦在下轉用Wordpress，
其實我在 wordpress 也開了地盤，不過我仍偏好用blogspot（情意結？）。

熱愛數學的 Bloggers 有福了，因為這裡可打數學符號。
今次我嘗試介紹好些級數和公式的證明。

首先是有關正整數和（$\sum \displaystyle n$，即 $1+2+3+...+(n-1)+n=?$）的證明，
且看以下動畫：

[來源]

接著是正整數平方和的證明。
（方法一，那是我在中學時用的另一證明）
由於，
$(n+1)^{3}\equiv n^{3}+3n^{2}+3n+1$
$3n^{2}+3n+1=(n+1)^{3}-n^{3}$

所以，
$3\sum n^{2}+3\sum n+\sum 1$
$=\sum (n+1)^{3}-\sum n^{3}$
$=(2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+\dots+(n+1)^{3})-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\dots+n^{3})$
$=(n+1)^{3}-1$　　　　（為什麼？）
$=n^{3}+3n^{2}+3n$
$=n(n^{2}+3n+3)$

$\therefore 3\sum n^{2}+3\times\frac{\textstyle n(n+1)}{\textstyle 2}+ n=n(n^{2}+3n+3)$　　　　（$\because \sum n=\frac{\textstyle n(n+1)}{\textstyle 2}$）

利用主項變換，
$\sum n^{2}$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n^{2}+3n+3)- n-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n^{2}+3n+2)-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n+1)(n+2)-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)[\frac{\textstyle 2n+4}{\textstyle 2}-\frac{\textstyle 3}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 6}n(n+1)(2n+1)$　　　　（證畢）

（方法二，是近日在教育局工作坊看到的）
$\sum n^{2}+\sum n$
$=\sum n(n+1)$
$=\sum [\frac{\textstyle n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{\textstyle 3}]$ （$\because\frac{\textstyle A(n+2)-A(n-1)}{\textstyle 3}=A$）
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[\sum n(n+1)(n+2)-\sum (n-1)n(n+1)]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)$

所以，
$\sum \displaystyle n^{2}$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)-\sum n$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)-\frac{1}{2}n(n+1)$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 6}n(n+1)(2n+1)$　　　　（證畢）


個人覺得，方法一略欠美感，
但卻還可以推廣到立方和及其他級數和的公式。
在此留給各位同學作練習啦。
（提示：考慮 $(n+1)^{4}\equiv n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1$）



如何在 Blogspot 輸入數學符號？
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<script src="http://www.watchmath.com/cgi-bin/mathtex3.js" type="text/javascript"></script> <script type="text/javascript"> replaceMath( document.body );</script>

步驟(3)：每次撰文，用以下符號

$\LaTeX\$

延伸閱讀：數學排版、大家來學 $LaTeX$、$LaTeX$ 符號一覽(pdf)