2011/12/29

我的閱讀手記

評分以☆☆☆為中等,最少為1☆,最多為5☆。


  • J. L. Lagrange, "Lectures on elementary mathematics (1901)"

網上閱讀:http://www.archive.org/stream/lectureselementa00lagriala#page/n7/mode/2up
正在閱讀中...稍後再寫書評
程度:☆☆☆
趣味性:☆☆
可讀性:☆☆
學術地位:☆☆☆☆
新老師必讀:☆☆☆
隨便問下你:如何判斷7的倍數?



  • George Pólya, "How to Solve It"

中譯本:G.波利亞,《怎樣解題》
書介(中文):http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/25.jsp?page=3&id=25
維基簡介(英文)http://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It
我所持的是九章的版本,不過事後也在維基也找到相關重點。
有段日子,我嘗試在課堂鍛鍊某幾個題問技巧,發現相當有用。
至少對自己協助學生審題也頗有幫助。
程度:☆☆☆
趣味性:☆☆
可讀性:☆☆☆
學術地位:☆☆☆☆
新老師必讀:☆☆☆☆☆
隨便問下你:


  • 曹亮吉著,《阿草的數學聖杯:探尋無所不在的胚騰》

天下文化(2003)
http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/39.jsp?page=4&id=39
在大三的時候,受到家鳴教授的推薦而買的,
是其中一本令我喜歡阿草及天下文化的出品。
程度:☆☆
趣味性:☆☆☆☆
可讀性:☆☆☆☆
學術地位:☆☆☆
新老師必讀:☆☆☆☆
隨便問下你:彈琴時兩音合奏,為何有時悅耳,有時卻格格不入?


  • 曹亮吉著,《阿草的歷史故事》

天下文化(2002)
http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/40.jsp?page=5&id=40
趁太太做facial而留在書局看的,
因本身的數學內容在其他地方也讀過,
只用上個半小時便看畢,但過程相當愉快。
程度:☆☆☆
趣味性:☆☆☆☆
可讀性:☆☆☆
學術地位:☆☆☆
新老師必讀:☆☆☆
隨便問下你:為何每年的復活節不在同一天?閏年及閏月等是如何安排的?


  • C. Adams,J. Hass,A. Thompson, "How to Ace Calculus: the Streetwise Guide"

中譯本:師明睿譯,微積分之屠龍寶刀:笑傲極限、連續、導數、積分法
天下文化(2003)
書介(中文):http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010214057
當年去台北影結婚相時經 www.books.com.tw 訂的,
連《微積分之倚天寶劍》共一書兩冊(價錢比香港書展價還理想),作者的文筆有別一般寫大眾數學書的人,市井之餘不失數學的味道,好適合作為初接觸(亦只限第一次)微分Differentiation的高中生(甚至自修生)。
程度:☆☆☆
趣味性:☆☆☆
可讀性:☆☆☆☆☆
學術地位:☆☆
新老師必讀:☆☆☆☆
隨便問下你:在大學選修數學,怎樣選你的任教老師?


  • C. Adams,J. Hass,A. Thompson, "How to Ace the rest of Calculus: the Streetwise Guide"

中譯本:師明睿譯,微積分之倚天寶劍-打遍泰勒級數、多重積分、偏導數、向量微積分
天下文化(2003)
書介(中文):http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010218232
這書是《微積分之屠龍寶刀》的續集,
內容問於大一下學期及大二上學期微積分的課題:
數(序)列與級數、收斂、極座標、向量、偏導數,及多重積分。
正因如此,對讀了好些微積分的朋友(尤其是non-major Maths的本科生),這本書的內容能令你重燃愛火,雖未必令你更上一層樓,但跟上冊都是很好的備課教材,對數學教育工作者,作者作了一個很好的示範,數學是可以包裝成為濃郁肉湯。[G. Pólya, Ten Commandments for teachers, J. Educ. Fac. & College of UBC. 3(1959), 61-69]
程度:☆☆☆☆
趣味性:☆☆
可讀性:☆☆☆☆
學術地位:☆☆
新老師必讀:☆☆☆☆
隨便問下你:在大學選修數學,期末考會考些什麼?


  • 翁秉仁著,《沒有王者之路:幾何原本》

大塊文化
書介(中文):http://classicsnow.net/events/n14_n19/n18.html
書名前半句來自所有數學人耳熟能詳的典故:
歐幾里德是古希臘的著名數學家,他編寫了幾何學中很重要的一本著作,書名「幾何原本」。當時的國王托勒密,也經常向他請教數學問題。有一次,國王做一道幾何證明題,接連幾天都沒有做出來,就問歐幾里得,能不能把幾何證明弄得簡單一點。歐幾里得認為國王想投機取巧,於是不客氣的回答說:「陛下,幾何學裡沒有王者之路。」這句話的意思是說,即使你貴為國王,你要學數學,還是得按部就班地來,沒有偷懶方法或是捷徑。
記得我大二已經買了九章出版社的《幾何原本》,
影畢業相也拿它作為手上的道具,話雖如此,
但畢竟自己未有耐性把它完整的讀完,
「知識上知道」它只利用幾條公理,
就能夠推導出好多好多的新定理,
直至有次接觸這書,那時我剛好重新摸熟規尺作圖的各種技巧,
上了年紀,多了些圖畫的表達,
令我較易重新了解《幾何原本》的寫作過程,
即使只是蜻蜓點水的示範,已令我感受到《幾何原本》的威力,
令我重拾動力去再了解好些新但學校不會教的幾何定理,
同時整理自己過往幾何課的教學手法,
無論是老師或學生及大眾都值得接觸的科普讀物。
程度:☆☆
趣味性:☆☆☆☆
可讀性:☆☆☆☆☆
學術地位:☆☆
新老師必讀:☆☆☆


  • Euclid, "Elements"

中譯本:藍紀正、朱恩寬譯,《歐幾里得幾何原本》,九章出版社,台灣,1992。
網上閱讀(中譯本卷一):http://www.archive.org/stream/06057513.cn#page/n8/mode/2up
書介(中文):http://classicsnow.net/events/n14_n19/n18.html
《幾何原本》對數學發展的影響超過任何別的書,它最初是手抄本,以後譯成各種文字,
發行量僅次於《聖經》。中譯本是1607年義大利傳教士利瑪竇和徐光啟,
根據德國人克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾裡得原本》(15卷)合譯的,
定名《幾何原本》,幾何的中文名稱就是由此而得來的。
他們翻譯了前6卷,後9卷由英國人偉烈亞力和中國科學家李善蘭在1857年譯出。
理論上,今日大多數的數學教科書的內容以至演譯手法都依據該書。
不過,該書最初中譯本缺乏圖畫,我也是看九章的中譯本,
輔以英文原版作參詳,但數裡天地網站有很清晰方便的記錄。
參考:《幾何原本》內容簡介
延伸閱讀:康明昌,《「幾何原本」四百年》。數學傳播32卷4期, pp. 16-29。
程度:☆☆☆☆
趣味性:☆☆
可讀性:☆☆☆
學術地位:☆☆☆☆☆
新老師必讀:☆☆



花剌子密立遺囑的故事(連比的應用題)

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題到比和率的運算,
不得不談阿拉伯數學家花剌子密立遺囑的故事,
那時正值他的妻子正懷著第一胎。但好景不常,
在孩子出生前,這位數學家便死了。

(死者已矣,但故事未完唷!)

之後,發生的事更困擾大家,
事關他的妻子幫他生了一對龍鳳胎,
而問題就發生在他的遺囑內容:
如果我親愛的妻子幫我生個兒子,
我的兒子將繼承三分之二的遺產,我的妻子將得三分之一;
如果是生女的,我的妻子將繼承三分之二的遺產,
我的女兒將得三分之一。
當你看完遺囑後,
應該知道他們面對的困擾吧。
如何按數學家的遺囑,
將遺產分給他的妻子、兒子、女兒呢?

思路提示:若 A:B = 2:3 且 B:C = 5:3,如何求 A:B:C?

2011/12/22

整除性的檢定 Divisibility Tests

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「2的倍數有何規律?」
「最後個位數字必然是2的倍數囉。」
「咁...4的倍數呢?」
「最後2位數字必然是4的倍數囉。」
「咁...8的倍數呢?」
「最後3位數字必然是3的倍數囉。」
「5的倍數呢?」
「個位數字必然是5或0囉。」

「那麼,7的倍數又有何規律?」
記得我在初中時用的是「截尾法」。對任何數,
(1)先把最尾的個位數字捨去;
(2)將捨去後的數减該數字的兩倍。
重複(1)及(2),直至你看出它是7的倍数為止。

(截尾法來源:《數:上帝的寵物》,談祥柏著。ISBN:7-5320-4801-2,上海教育出版社,1988,頁4)
以 674253 為例,
把 3 捨去後得 67425 ,減 3 的兩倍後得 67419,
把 9 捨去後得 6742,減 9 的兩倍後得 6724,
把 4 捨去後得 672,減 4 的兩倍後得 664,
把 4 捨去後得 66, 減 4 的兩倍後得 58(不是 7 的倍數),
故 674253 不能被 7 整除。
若果該數是1000以下,直接驗算當然較好啦~

分析:
設原數為 A = 10x + y,
截尾後的數為 B = x − 2y。
故此 A - 3B = 7x + 7y,即 A = 7(x+y) + 3B
(若 B 能被 7 整除,則 A 亦能被 7 整除,反之亦然)
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。
至於 11 及 13 的的整除性,
「截尾法」其實也適用(只是尾數分別乘以1及4而已)。

挑戰:
1. 你可以用相同方法(尾數乘以2),來判定其他數字的整除性嗎?
2. 你可以用類似方法,來判定其他數字的整除性嗎?
當然你也可問我「117的倍數有何規律?」,
但「截尾法」恐怕比用正常的除法好不了多少。

=======================
以下談的是其他方法。

「1000以下且是7的倍數有何規律?」

我這裡利用數論的「同餘(congruences)」的引理(lemma):
(1)若A為7的倍數,則將A加或減7的倍數後,仍為7的倍數。
(2)若A除以7的餘數為k,則將A加或減7的倍數後,則餘數仍為k。

分析:
設原數為 A = 100x + 10y + z,
考慮 B = 2x + 3y + z(即百位乘2,十位乘3,個位乘1,然後相加)
故此 A - B = 98x + 7y,即 A = 7(14x+y) + B
(若 B 能被 7 整除,則 A 亦能被 7 整除,反之亦然)
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。
以 253 為例,
百位乘2,十位乘3,個位乘1,相加後得 22(不是 7 的倍數),
故 253 不能被 7 整除。
根據引理(2),253及22除以7的餘數也相同!


「1000以上且是7的倍數有何規律?」

將此數由右而左,每三位數字一組,拆成多個三位數,
再梅花間竹給予正號、負號、正號、負號、...
然後將這三組數相加,如為7的倍數,則原數必為七的倍數。
以 39247852 為例,
考慮 +852-247+039 = 644,
再用上面的方法或直接除 7,禮成!

練習:
546、5934516、3451459802384,哪些是7的倍數?
挑戰:
同學能否模仿上述的方式來找一找:13倍數的判別法?

李柏良先生就整除性於今年八月上載 J.L.Lagrange 的判別法
我個人覺得有趣,不失作為教師參考。
(但方法容易記錯,老師需要稍加備課,不能隨口就講得流暢)

後記:重新執筆,事緣一次跟小學老師的交流會中,駭然發現連老師也不知道(即不會主動學數也不會做網上搜尋),也在一次聖誕聯歡會跟學生玩「拍7遊戲」(玩法:輪流報數,碰到 7 的倍數或者含 7 的數字就拍手,犯錯者受罰……)時感到懊惱,感覺應有很多人對數學不是望而生畏(那也許是結果),而是不知如何入手,久而久之就敬而遠之。

2011/12/20

一則關於摺紙圖樣的問題

問:一個直立正六角錐體最少要剪開多少條邊,
  才可拆開立體成摺紙圖樣?【答案:6條】

解:直立正六角錐體有7個面,故最少要有6條接合邊。
  由於直立正六角錐體共有12條邊,故只須剪開6條邊。


推廣:一個多面體最少要剪開多少條邊,
   才可拆開立體成摺紙圖樣?(答案請以F、E表示)



梅氏線、塞瓦點、托勒密定理、西姆松線、巴斯卡線

梅涅勞斯定理(Menelaus theorem)(梅氏線)
△ABC 的三邊BC、CA、AB 或其延長線上有點P、Q、 R,則P、Q、R 三點共線的充要條件是(AR/RB)(BP/PC)(CQ/QA)=1。

塞瓦定理(Ceva)(塞瓦點)
P、Q、R 為△ABC三邊BC、CA、AB上的點,則AP、BQ、CR 三線共點的充要條件是(AR/RB)(BP/PC)(CQ/QA)=1。

托勒密定理(Ptolemy theorem)
任何圓內接四邊形,其對邊長度的積之和等於其對角線長度的積。

西姆松定理(Simson theorem)(西姆松線)
從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

巴斯卡定理(Pascal theorem)(巴斯卡線)

在圓上分別取六點,
依順時針為A、B、C、C'、B'、A',且
AB=AB'與A'B之交點,
AC=AC'與A'C之交點,
BC=BC'與B'C之交點,
則AB、BC、AC三點共線。

[其他參考]


2011/12/07

給中三同學的校內選拔試

0 回應

每年下學期中,都是「培正數學邀請賽」及「 香港青少年數學精英選拔賽」的日子,這幾年在選拔的過程都做得好馬虎(係測驗卷揀個高分,上堂有「醒少少」的人做代表),於是我今年下定決心,叫多幾個學生,攪了個校內選拔。

獲邀的學生中有些有上增潤班、公文數之類,但長遠計我也不宜旨意學生有這些「優勢」,事關有這類經驗也不保證這些同學好有數字感,好識睇圖、睇比例,知道點樣按題目要求分CASE……於是我「參考」近兩屆短答題,擬定好些題目,每條附以一些「提示」,作為踏台石,看看哪些比較有做數SENSE,好作選拔,有了名單,之後再做系統化操練。(事關當年我母校的恩師只是一下子俾一大疊奧數 Past Paper…Orz

給大家試試好些文字題啦!愛數的朋友,且看看你自己的數學有幾靈活。

1911 寫成兩正整數平方之差。
(提示:恒等式、1911=637x3

500之間,只能被奇數整除的
正整數有多少個?(提示:數字性質)

 n 除以 2004 時的餘數為 1234
 2除以 2004 時的餘數是多少?

三位正整數之中,數字之和為偶數的三位數(例如: 123790
共有多少個?(提示:分別考慮「百位為奇數」及「百位為偶數」)

1, 2, 3, 4組成一個四位偶數,
若每個數字只可用一次,
問有多少種不同寫法?

個連續數之和為 2010
的最大可能值。

某中一級補習班中,有10 名學生修讀數學科,12 名學生修讀中文科,13 名學生修讀英文科。已知該補習班共有 23 人,且每人至少修讀以上其中一科,那麼最多有多少名學生修讀了全部三科?(提示:畫圖解題)

邊長為整數的三條邊可以組成多少個
周界為27 的三角形?(提示:設最長的邊為Y

個人認為,鍾意同數學做朋友的,也應該看數學課外書(或本身有睇開數學書的習慣),但這種人好似買少見少咁