組合數學問題一則

"How many divisors are there in 55125?"

有學生收到學校老師的挑戰，如果係初中生，我會打發佢
「不如逐個列寫啦，或者一組人分工寫，應該唔難找到答案吧？」
（被毆打中...）

首先，我們可考慮 55125 質因數連乘式，
即係 $55125=3^{2}5^{3}7^{2}$

（接下來要小心理解...）

而所有可以被整除的數都可以寫成 $3^{a}5^{b}7^{c}$
其中 a = 0, 1, 2; b = 0, 1, 2, 3; c = 0, 1, 2

（即 a, b, c 分別有3種、4種及3種情況）

所以上述問題的答案是 3 x 4 x 3 = 36 種。

三門問題 Monty Hall Problem 2012

假設你參加這樣一個猜獎遊戲：眼前有三扇關上的門（且叫Ａ、Ｂ、Ｃ啦），其中一扇門後面藏著大獎，另外兩扇門後面空空如也。玩法是，當你選好一扇門後（假設是Ａ），主持人打開Ｃ門，裡面是空的。現在他給你一次換選Ｂ門的機會，那麼你是否「應該」換呢？（順帶一提，主持人是知道真正答案，倘若玩家最初選對了，主持人則隨意開一扇門，當然這點也不會讓玩家知道）


或者用比較數學的講法，在主持人提示了一個無獎的門之後，換門的得獎機率是否大於不換？

正向中三及中五教授「機率論」，我心想好否在堂上引入上述的「三門問題」，問題本身簡單、易懂，答案也很簡單、但卻有點反直覺。（答案在最下面，你可以自行核對。）不過今次想介紹一些網上相關的片。

如果學生想睇片的可考慮這個，適用於以英語作授課語言。


最近見到有補習社拍了一個全新版本，夠噱頭！（先旨聲明，本人及本網誌對有關機構並無瓜葛，個人頗欣賞明仔，但對有關導師甚無好感亦無惡意。）


喜歡看連續劇的我推薦「Numb3r」（中譯：數字搜查線，但我仲未找到 DVD >_<）

喜歡電影的我推薦這齣（中文片名：決勝２１點），真人真事改編，故事描述任教於麻省理工學院的數學教授米基解開撲克牌21點的必勝程式後，決定延攬6位天才學生加入團隊並前往賭城大試手氣。幾個人憑著破解程式在賭城大賺一筆，不過，贏得的巨額賭金和偽造身分，卻讓他們成為賭場盯稍對象，引來重重危險殺機．．．


還有無什麼好例子？來個午間數學活動，從做中學，效果又如何？

答案：換門的得獎機率是 2/3，不換是 1/3，所以你應該要換。
我試用歸納法解釋一下，舉個例子：如果有十扇門，你選好後主持人打開八個無獎的門，那麼換門的得獎機率是 9/10，不換是 1/10。規則不變，轉換某些參數，事情就清楚得多，明白嗎？

概率遊戲 Probability Games

前言：我特別喜歡概率，可能我鍾意玩遊戲的原故。在已知的規則下，我會盡量掌握對自己有利的策略（好勝心？）。到長大後帶領遊戲，也喜歡因應玩家選取的策略臨場改變規則（話事人專利？），令遊戲的過程保持新鮮感及挑戰性。XD

課堂中教師總示範「擲銀(toss a coin)」、「擲骰(roll a dice)」的機會遊戲，
網上資源也倒豐富，向各位推薦這個，
除了像真度不錯，還有往績統計，教師可稍後或順勢引入「期望值(expected value)」。
擲銀（基本玩法／進階玩法）
擲骰（可調較一至三粒骰子）
抽幸運匙（７人輪流抽７條匙，先抽好定後抽好？）

緊記，相關的次數未必跟期望值完全吻合，那只是概率的基本假設（即使你大量試驗）。

當然教師也可介紹一些如Monty Hall Problem的經典題目。如課堂時間許可，我推薦學生欣賞以下動畫，這動畫利用家傳戶曉的故事介紹中學概率，撰寫人之一正是開發小朋友齊打交的朋友。

概率論起源：1654年費馬和巴斯卡在書信中討論「賭局腰斬，如何瓜分賭金」的問題，有些數學史家就把這視作是概率基本原理的開始。例如：擲四個銅錢，出現0、1、2、3、4次正面的情況有多少種？【解：1、4、6、4、1 種（巴斯卡三角的第五列數字！）】

校對問題 Proof-reading Mistakes

前言：話說在下的姨婆託我批改其孫女上繳JUPAS的文章，我雖然不是教英文科，但其本的文法尚且可以，同時這類文章最重要是流暢，不宜冗長。於是我想起以下概率題目。

[問題]一篇文章，
經 A 校對後發現 a 個錯誤，
經 B 校對後發現 b 個錯誤，
當中有 c 個 A 也發現的錯誤（這裡假設 c < b），
問該篇文章尚有多少個未發現的錯誤？

[分析]
假設該篇文章共有 t 個錯誤，
故 A 應找到全部錯誤的 a/t，
而這個分數應大約等於 c/b。那麼，

a/t = c/b

t = ab/c

所以，尚未發現的錯誤等於 t-a-b+c=(a-c)(b-c)/c


[例]一篇學生文章，
經Miss沈校對後發現20個錯誤，
經李sir校對後發現10個錯誤，
當中有8個沈老師也發現的錯誤，
所以尚未發現的錯誤「應該」等於
(20-8)(10-8)/8 = 3 個
（如是者，應即帶李Sir去驗眼吧...XD）

[來源]
Pólya, G. "Probabilities in Proofreading." Amer. Math. Monthly, 83, 42, 1976.

排列與組合中的分類法（加法法則）

「排列與組合（Permutation & Combination）」乃新高中數學科新加的課題，網上教材可謂多不勝數，但也有些共通的注意事項。本文希望留下參考資料，讓包括自己在內的教育同工或莘莘學子作預習及溫故知新。

首先，在數學化（Mathematising）的過程中，鼓勵教師依據學生的「經驗」選用相關事例。

例題：

某調查中訪問了 200 人，他們均擁有數碼相機或電子手帳。若有 168 人擁有數碼相機， 97 人擁有電子手帳，該調查有多少名受訪者既擁有數碼相機又擁有電子手帳？

A survey was conducted and 200 people who had digital cameras or PDAs were interviewed. If 168 of them had digital cameras and 97 of them had PDAs, how many interviewees in the survey had both digital cameras and PDAs?

猶記得向學生展示題目，只有少數人很快指出答案，多數同學卻無從入手……我在想，今時今日的電子手帳會否也有攝影功能？雖則今日的學生大多有手機；而且選取的數字也稍為大了些。於是，我改用了以下校園味較重的例子：

中五ｘ班38名學生均有學習小提琴或結他，若有25人學習小提琴，22人學習結他，問中五丁班有多少名學生同時學習小提琴及結他？

All 32 students in S.5A played either violin or guitar. If 25 of them play violin and 15 of them play guitar, how many students play both violin and guitar?

首先，我任教的該班的確有38人，雖不知他們是否喜歡小提琴或結他，但感覺會較埋身而不至於脫離群眾。然後就是拿出耐心和誠意，把他們的方法加以引導和整理，最後畫上兩個部份重疊的圓圈（即venn diagram，不必交代太多，學生好不容易產生內在的思考）作解說，使其掌握「分類法」中涉及的「加法定律（Addition rule）」，以下附上一些簡單例子，相信即是小學生也不難掌握。

某快餐店提供 6款漢堡包和 4 款甜品，問有多少款食物可供選購？【答案：10款】

由灣仔修頓遊樂場往中環皇后像廣場可乘電車（藍線、紫線、綠線及橙線）、港鐵（港島線）、城巴（1、5、11、25、75、97），問有多少種交通工具可供選擇？【答案：10款】

整數1至30裡面，共合有多少個3或4的倍數？（提提同學，整數1至30裡面，3的倍數及4的倍數分別有10個及7個）【答案：15種】

預告：排列與組合中的分步法（乘法法則）

概率教學的再思 Probability Teaching Again

TAT TAT 在《概率教學》中提到一個問題：

在你面前有三度門，其中一度門後面有巨額獎金，其餘兩度門後面則只有驢仔之類的獎品(原文作"gag gifts")。
遊戲規則是這樣的：首先你選擇一度門。但主持人不會立即揭曉你有沒有得到獎金，反而會在你沒有選擇的兩度門之中，打開其中一度，而那度門外後面是驢仔。
好了，現在剩下兩度門，一度有獎金，一度沒有獎金。主持人說，現在再給你一個機會：你可以維持原來的選擇，或者改變主意，選擇另一度門。你，會怎麼樣呢？

對概率有興趣的朋友，應該對這問題稱為 Monty Hall Problem，印象中是取名自一個電視節目，入面正正是玩緊這個遊戲。找到這問題的途徑太多，不過我個人推介Mark Haddon的《深夜小狗神祕習題》（原著叫 The Curious Incident of the Dog in the Night-time，賣點是由一個自閉人仕撰寫，數學味道甚為濃厚的小說，日後再介紹吧），當年(1990年)在美國Parade雜誌 Marilyn vos Savant 的專欄刊出這道題的答案之後，收到過萬封來信大肆評擊，當中不乏數學專家學者...不過遺憾的，是超過90%來信多是自己出錯。

學校裡的老師可能曾經提及，不過即使有提及，大家是否理解又是另一回事。在下曾向一些數學老師解釋該問題，發現「要講得明白」都是頗令人頭痛的問題。在下曾向校內學生提出這問題，其中有這裡的回應：

我會維持(選擇)...因為佢兩度門入面求其打開左一度門...入面無獎...證明另外一度門有獎機會係1/3...你選擇的一度門就有1/2可能性喇...岩唔岩?

撇開對錯，我欣賞的，是學生嘗試用文字表達，老實說，不是每個數學老手都是表達高手。其實答案（答案是要轉！）和問題在網上可謂隨手可得，這裡要問的，是我們在有限的課堂時間裡，可否作一些「活動」暫時「說服」學生「應該」如何理解問題呢？ 建議如下：

1. 預備一副有 52 張的撲克牌
2. 勝利條件：玩家抽中紅心 A
3. 隨意選一張，不要打開
4. 然後話事人在餘下的 51 張打開 50 張牌（當然要看過是不是紅心 A 才打開）。
5. 現在只剩下兩張牌：玩家所選的牌，以及話事人決定不打開的牌。

這兩張中肯定有一張是紅心 A。
那麼，你會否堅持兩張牌是紅心 A 的機會都是 1/2？

當然，以上問題並不能「解釋」問題，在下只是將問題極端化。要是在課堂上，我「多數」會用列表法：考慮什麼？（每個欄的名稱）ｘｘ有什麼情況？．．．直至找出所有有限可能情況。

延伸閱讀：Monty Hall Problem 模擬動畫、機率之回顧

p.s.
其實在下是很喜歡概率，也許我也轉載另一道著名問題作為甜品啦。
Linda，31 歲的單身女性，聰明伶俐講話直言不諱。
大學主修哲學，在學時深深地關注社會公義與歧視等議題，並且參與反核武示威運動。請你判斷其最有可能是以下哪一選項？

A. 她是一位銀行櫃員
B. 她是一位銀行櫃員而且是位女權運動的活躍分子
（若有翻譯不善之處，歡迎指正）

延伸閱讀：Conjunction_fallacy
再延伸閱讀：Kahneman, Daniel & Amos Tversky, 1972, “Subjective Probability: A Judgment of Representativeness,” Cognitive Psychology, Vol. 3, 430~454.

概率教學 Probability Teaching

相信中三的同學最近正在學習機會率（probability），不知大家可曾接觸以下處境：

處境一：
李生和李太有五個孩子，都是女兒。
李太：「我希望我們下一個孩子不是女孩。」
李生：「親愛的，在生了五個女兒之後，下一個肯定是兒子。」
你認為李生說對嗎？

處境二：
很多玩輪盤賭的賭徒以為，他們在盤子轉過很多紅色數字之後，就會落在黑的上，他們就可以贏了。事情將是這樣進行的嗎？

但對學生，他們的生活多少是與這個有關？（多數學校也不會倡導賭博吧）或者由一些遊戲談起吧。

在你面前有三度門，其中一度門後面有巨額獎金，其餘兩度門後面則只有驢仔之類的獎品(原文作"gag gifts")。
遊戲規則是這樣的：首先你選擇一度門。但主持人不會立即揭曉你有沒有得到獎金，反而會在你沒有選擇的兩度門之中，打開其中一度，而那度門外後面是驢仔。
好了，現在剩下兩度門，一度有獎金，一度沒有獎金。主持人說，現在再給你一個機會：你可以維持原來的選擇，或者改變主意，選擇另一度門。你，會怎麼樣呢？

以下動畫模擬上述的活動，希望能給大家一點啟發吧。

教學建議：

• 試用列表或用圖像等方式解釋上述問題的「答案」。
• 過程中，了解學生對課題的誤解（misconception）。
• 利用提問作介入，讓學生覺識其誤解。

笑話一則（鳴謝王sir提供）
有個人很怕乘搭飛機，好心的空中小姐安慰他說：

飛機出事的機會為一千分之一。

那人聽後，便安心休息。

過了一會，那人仍不放心，便問那位空姐：

飛機啟航至今飛行了多少次？

於是空姐便答：

９９９次。

結果那人昏倒了。
延伸閱讀：有人請食飯（轉載自數學資料庫 - 數學趣趣地 - 數學漫畫）
再延伸閱讀（教師適用）：中學生的「概率」概念（pdf）

挑戰題：在所給半徑 r 之圓內隨機(at random)引弦(chord)時此弦之長度比內接此圓之正三角形之一邊大之機率如何？ 答案
挑戰題的反思：何謂「隨機」？怎樣處理幾何概率（geometric probbility）的問題？（當心，新課程是包括幾何概率哩）

博奕論趣談

有幸跟一班中六的年輕人去港大聽講座，是關於博奕論中的 Zermelo's Theorem (策墨羅定理)：

兩個對奕的玩家輪流下子，若無隱瞞情報，
而遊戲在有限步結束時又沒有和局，
則其中一方有必勝策略。

兩小時的全英語演講，加事後一小時的體驗式對奕，看到大家由被動到認真思考，心裡感到無限欣慰，哈。裡面就我們一些兒時打井、對奕等簡單遊戲有以下提問(我嘗試翻譯一下啦)：

1. 一個遊戲能否出現和局？
2. 若不，其中一方可有必勝策略？
3. 那麼，是先下手為強，還是後者？
4. 最後，那個必勝策略的原則又是什麼？

用這個遊戲試試看啦！那是博奕論大師 John NASH 20歲時，
在普林斯頓大學攻讀博士期間發明的玩意。

筆記下載[PDF]

歡迎提問、留言，我樂意稍後回應。

從「開口中」淺談機會遊戲

話說電視播放獎門人遊戲節目，玩到「開口中」遊戲，玩家要輪流由 1 至 100 開始嗌數字。玩到「41 至 45」現在輪到某女藝人，她應該嗌哪個數字，使她處較有利位置？還是無論她怎樣嗌，結果不是贏便是輪，所以兩者出現的機會都是一半一半？

大家意見如何？

流行曲中的數學

[撰文：小薯仔]

昨天與家妹到卡拉ok慶祝生日，在唱歌聽歌以外，
同時發現歌中隱藏了一些數學，例如下面的歌：

汽球　詞／曲：Peggy Hsu
黑的白的紅的黃的
紫的綠的藍的灰的
你的我的他的她的
大的小的圓的扁的
好的壞的美的醜的
新的舊的各種款式
各種花色任你選擇．．．

問題是：到底有幾多個汽球可供選擇呢？這裡有22個形容詞，但並不是代表只有22個，它們本身可以組合成不同款式的汽球，譬如：

我的　＋　黃的　＋　大的　＋　新的
他的　＋　白的　＋　小的　＋　舊的

由於這裡沒有假設曲中「四人」都有所有款式的汽球，所以問題應改為「最多有幾多種不同的汽球呢？」其實，這是一個組合的問題，試從不同的分類看：

• 顏色（8種）：黑的、白的、紅的、黃的、紫的、綠的、藍的、灰的
• 來源（4種）：你的、我的、他的、她的
• 形狀（4種）：大的、小的、圓的、扁的
• 外貌（4種）：好的、壞的、美的、醜的
• 新舊（2種）：新的、舊的
  

所以，可能組合(combination)數目 ＝ 8 x 4 x 4 x 4 x 2 ＝ 1024

內聯網的數學題

有 A,B,C,D 共 4 部電腦，想利用「擲銀」方式決定任意兩部電腦之間會否連線，如果出現正面，則連線；如果出現反面，則不連線。連線的電腦當然能互相傳訊，請問全部電腦能互相傳訊的概率。

請把想法和過程寫下。
提示：試用圖像繪畫 4 部電腦連線的情形。

靈感來源：美國高中生數學競賽。

從撲克遊戲談概率 Probability in Poker Game

[撰文：NKF]

撲克（POKER）雖然是遊玩者的個性與他選擇的戰略來進行遊戲，但是如果打算贏，在此之前應預先了解概率。

各式的順位是將52張長牌，各分配5張後，從所謂可以完成多少不同手法開始計算。其組合共(52x51x50x49x48)/(5x4x3x2x1)＝2,598,960（有這麼多種手法）

同花10、J、女王、王、Ａ齊全者（即同花順），機率是649,740分之1；5張同花連號的機率是72,193；4張同花，1張不同花的組合的機率是4,165；3張同數與2張同數之組合的機率是694分之1；5張同花的機率是505分之1；5張同號的機率是256分之1；3張同花的機率是48分之1；2張同花的機率是21分之1；1張花的機率是2．5分之1；無角色的機率是2分之1。

在這二百五十九萬八千九百六十種的手法當中，有40種是同花同號牌、而有六百二十四組是變成同種4張牌與異種一張牌的組合。

由於第一張牌可以隨便，所以機率是1/1。

第二張，在剩下的五十一張牌當中，只要出現與最初的牌同組的十二張牌之中任何一張均可。這種牌入手的機率是12/51。

以相同方式，剩下的牌也逐漸變成11/50、10/49、9/48之機率。如果將這些分數全部乘起來則變成1/505。

另外應考慮的事情還有一項，進入你手中的五張同花也許是五張同花連號。但是此機率，包括同花最上位順號也僅為1/64，794，似乎不致改變數字或產生意見差別程度的頻度。

實際上，如欲製造三張同花與兩張同花組合時有十種變化。十種的第一組就是所謂3/20825的機率。如計算後則變成六百九十四次對一次的機率。

這種事情既有趣味，也可以幫助評估手法的價值。然而，抽牌的機率是最直接適用於實際遊戲的戰略或判斷。而且，這是說明幾項既迅速又簡單的機率計算。

假設你備齊，可連續兩端任何一端的四張連續的五張同花牌，例如在你手中的紅心5、6、7、8，與另外一張並無任何角色的牌。此時如果放棄此無用的牌，再重新抽一張時，不知你手上的牌實際好轉的機率會變成如何？

如果手上的牌會好轉時，則有下面四種中任何一項的可能。五張同花連號、五張同花、五張連號，一張花。只要與你有關，可以抽的牌還剩下四十七種。但因為實際上對方也分配到相同的牌，所以場牌的張數將更少，但你也許即時可以了解，你抽的牌是造成不到身邊的四十七張中的任何一張，而任何牌均相同。

如收到紅心的4或9任何一種時，雖然會變成五張同花連號，不過能產生如此手法的機率是12/47。

除了這兩張與在你手中的四張牌以外，還有七張紅心。只要抽到這七張中的任何一張仍然會產生普通的五張同花，而該機率是7/47。

在紅心以外的三種牌當中如進入4或9時則變成五張連號，而其機率是6/47。

在此三種牌中，如進入5，6，7，8的任何一種時，因為你已具備這些數位牌，所以似乎至系有可以獲得一張花的安慰。此時的機率是12/47。

在這種可能性當中，也許會產生任何一種機率，亦即重新抽出一張牌後手上的牌會好運的機率，是將這些機率合計而變成27/47，這是較1/2稍多的機率。

若加上除了只能成為一張花的機率之三個分數後，如在身邊有在兩端可以連續牌的四張同花最上芝時，再抽一張後會出現手上的牌真正好轉的機率（15/47）。這種情形大約三次有一次，而以一對二對你不利。

分配牌以後，有張王，或其他任何三張同數牌進入你身邊時，放棄其他的兩張牌再重新抽牌，而能形成同花四張不同花一張的情形是不會經常有的。