[問題] Why $101| 100^{2N} - 1$，$N\in\mathbb{Z^{+}}$?

Why [100^2N - 1] (where N is positive integer) is divisible by 101?
這裡示範「一題多解」技巧

數學歸納法 Mathematics Induction

當 $n=1,2$，命題成立。考慮 $n=k-1,k$，$k\in\mathbb{Z^{+}}$
則 $100^{2k} - 1=101D$，$D\in\mathbb{Z}$
及 $100^{2(k-1)} - 1=101E$，$E\in\mathbb{Z}$

由於
$100^{2(k+1)} - 1$
$=(100^{2k} - 1)(100^{2} + 1) -100^{2k}+ 100^{2}$
$=10001(101D)-100^{2}(100^{2(k-1)}-1)$
$=10001(101D)-10000(101E)$
$=101(10001D-10000E)$
$=101F$，$F=10001D-10000E\in\mathbb{Z}$
（證畢）

二項式定理 Binomial Theorem

考慮 $100=101-1$
所以，
$100^{2N} - 1$
$=(101-1)^{2N} - 1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}+(-1)^{2N}-1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}$
$=101[101^{2N-1}+\binom{2N}{1}101^{2N-2}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}(-1)^{2N-1}]$
（證畢）

和差公式 Summation of Difference

$100^{2N}-1$
$=10000^{N}-1$
$=(10000^{N}-10000^{N-1})+(10000^{N-1}-10000^{N-2})+...+(10000^{1}-1)$
$=\sum (10000^{n}-10000^{n-1})$
$=\sum [10000^{n-1}(10000-1)]$
$=9999\sum 10000^{n-1}$
$=101(99\sum 10000^{n-1})$
（證畢）

其實，數學老師會否接受學生這樣解釋：

這個數的數值必定由 4 的倍數的 9 所組成（例如　9999、99999999、999999999999、...），因此必定是 9999 的倍數（即 $101\times99$ 的倍數）。

[挑戰]還有其他方法嗎？有沒有無言證明（proof without word）？

$LaTeX$ + Blogspot

記得開這個部落，曾為如何撰寫數學符號相當頭痛。
授課員John曾推薦在下轉用Wordpress，
其實我在 wordpress 也開了地盤，不過我仍偏好用blogspot（情意結？）。

熱愛數學的 Bloggers 有福了，因為這裡可打數學符號。
今次我嘗試介紹好些級數和公式的證明。

首先是有關正整數和（$\sum \displaystyle n$，即 $1+2+3+...+(n-1)+n=?$）的證明，
且看以下動畫：

[來源]

接著是正整數平方和的證明。
（方法一，那是我在中學時用的另一證明）
由於，
$(n+1)^{3}\equiv n^{3}+3n^{2}+3n+1$
$3n^{2}+3n+1=(n+1)^{3}-n^{3}$

所以，
$3\sum n^{2}+3\sum n+\sum 1$
$=\sum (n+1)^{3}-\sum n^{3}$
$=(2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+\dots+(n+1)^{3})-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\dots+n^{3})$
$=(n+1)^{3}-1$　　　　（為什麼？）
$=n^{3}+3n^{2}+3n$
$=n(n^{2}+3n+3)$

$\therefore 3\sum n^{2}+3\times\frac{\textstyle n(n+1)}{\textstyle 2}+ n=n(n^{2}+3n+3)$　　　　（$\because \sum n=\frac{\textstyle n(n+1)}{\textstyle 2}$）

利用主項變換，
$\sum n^{2}$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n^{2}+3n+3)- n-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n^{2}+3n+2)-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n+1)(n+2)-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)[\frac{\textstyle 2n+4}{\textstyle 2}-\frac{\textstyle 3}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 6}n(n+1)(2n+1)$　　　　（證畢）

（方法二，是近日在教育局工作坊看到的）
$\sum n^{2}+\sum n$
$=\sum n(n+1)$
$=\sum [\frac{\textstyle n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{\textstyle 3}]$ （$\because\frac{\textstyle A(n+2)-A(n-1)}{\textstyle 3}=A$）
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[\sum n(n+1)(n+2)-\sum (n-1)n(n+1)]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)$

所以，
$\sum \displaystyle n^{2}$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)-\sum n$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)-\frac{1}{2}n(n+1)$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 6}n(n+1)(2n+1)$　　　　（證畢）


個人覺得，方法一略欠美感，
但卻還可以推廣到立方和及其他級數和的公式。
在此留給各位同學作練習啦。
（提示：考慮 $(n+1)^{4}\equiv n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1$）



如何在 Blogspot 輸入數學符號？
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$\LaTeX\$

延伸閱讀：數學排版、大家來學 $LaTeX$、$LaTeX$ 符號一覽(pdf)