讓人抓狂的投票 Election in sane

有一日，老師跟班上同學講以下處境故事。

有 15 位同學負責籌辦一次旅行日，當討論去哪裡，則有三種意見僵持不下：香港仔、舊咖啡灣沙灘還是長洲。（為方便閱讀，這三個地點我們以 A、B及C 表示）

於是他們決定要用「最民主」的方式解決紛爭：不記名投票。大家不假思索地舉行了最常見的選舉模式：一人一票、投給自己認為最適當的地點、以獲得最高票數的地點獲勝。

開票的結果是 A : B : C = 6 : 5 : 4，「香港仔」獲勝。

原以為那個籌備會議可以繼續進行下一項討論吧，但是，某人開始咕噥，另一個人聽到了就大聲一點兒附和，第三個人也開始咕噥，一股情緒突然就爆發了。

投票給「香港仔」的人要其他人表現民主風度：「少數服從多數嘛」。卻有人說：「畢竟有 9 個人不喜歡『香港仔』啊」。在騷動中，情緒似乎有點失控，許多人七嘴八舌地嚷嚷著，說他們最不喜歡「香港仔」。

好吧，大家都是同窗好朋友嘛，別為這小事傷和氣。有人提議說他聽說過另一種投票方法，比較『公平』，那就是所謂的「兩輪制」：把第一輪投票結果中最好的兩名取出來，所有人對這兩個候選飲料再投一次票。如果能夠幫助大家和和氣氣地達成共識，再投一次票也無妨，於是他們就做了。

第二輪的投票結果，竟然就是 A : B = 6 : 9，「舊咖啡灣沙灘」獲勝。

這樣的結果真的解決歧見了嗎？不幸地，他們之間變得更針鋒相對！看起來，喜歡去「香港仔」的人一票也沒有動搖，但是那些失去了「長洲」選項的人全部改去支持「舊咖啡灣沙灘」了。贊成去「香港仔」的人難掩氣憤之情，說你們這些想要出海的人聯合起來欺負我們。剛才他們還會熱烈爭辯，現在情況更不妙：他們彼此不說話了。

為了打破沉默的氛圍，又有一個人小心奕奕地提議：「不如大家拋棄成見，再來一次。」這次他提議一個「最科學」的作法：請每位同學給每個地點一個分數，最喜歡的給2分，次喜歡的給1分，不喜歡的給0分。然後計算每個選擇的總得分，最高分的旅行地點獲勝。這聽起來畢竟是一個新奇的作法，所以大家雖然意興闌珊，還是勉強同意了。15 個人也十分小心地在選票上填寫了分數，

計算的結果是 A : B : C = 12 : 14 : 19，「長洲」獲勝。

有位同學在坐位大叫：「怎麼會3次結果都不一樣？」，有另一個人大叫「我不去啦了」。為何3次投票得到3種結果？是有人攪鬼嗎？有人經常改變主意做牆頭草嗎？總歸來說，是這 15 個人不夠理性或是民主素養不足嗎？

選舉理論想要闡述的是：可能這並不是那 15 個人的錯，而是不同的選舉程序會造成不同的結果。

「故事講完了。」老師叫醒那些睡著的同學。
「我們今天正正要決定畢業旅行的地點…」老師接著說。
「我們是否應決定怎樣的投票方式？」平時很留心老師講話的男班長說。
「那我們又怎樣決定『怎樣的投票方式？』？」女班長說。

老師聽著，昏了過去。

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近日，香港的政方案剛完成了第一階段諮詢，有網友傳來這個，
香港的朋友不妨做個選擇，看看哪個才是大家心目中理想的特首選舉方式。
http://election-reform.thehousenews.com/

規尺作圖（教學資源）

看到香港奧數在年前引入「規尺作圖」的題目，心裡倒是高興，因為能「做到」這類題目給予很大的滿足吧（也可能自己對這類題目因見識少而有新鮮感，那些年還未掌握箇中技巧而多花好些精力）。

「規尺作圖」的玩法

• 直尺只能用來畫直線（不是用間尺，作圖時不會用上刻度）
• 圓規只能用來畫圓或弧線
• 所有的曲線都要用直尺及圓規畫出
• 規定做圖都要在有限步驟內完成

倘若閣下在初中幾何學裡有一課從角平分線、垂直平分線等引伸，而堂內又無法完成的話，不妨參考下列教材（多以英文為主）。
Bisecting an angle（作「角平分線」之法，初級技巧）
Copy an angle（也是初級技巧）
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle（也是作等邊三角形之應用技巧）
Construct a 45° angle（先作直角後作平分，算是進階技巧吧？雖然也很淺...）
Construct a 30° angle

上面是關於「角（Angle）」，以下則是與「線（Lines）」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)

一般而言，只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量，都可以用規尺作出來，我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。（但那如何對一般的中二生說得明白？記住這段，待他日再深思吧）

怎樣才是一份好的筆記？(version 1.0)

從事教育事業已有好些年日，不喜歡因循，

於是我重新思考這個問題，反正未有定論，

於是我用「平時分」要求全體學生由零開始交出一手筆記。

首先，我訂了一些「可計分準則」

1. 準時交筆記（因為我會悉數Scan落電腦，那是為行政上的節省時間）
2. 用指定單行紙（試過用其他紙而令Scanner食紙，也是為行政上的節省時間）
3. 完整個人資料，包括著作人、班別班號、日期、學科
4. 在當眼處清晰顯示該課「主題」及「副題」
5. 充足的個案例題（有感這一代不多能夠由「定義」或「公式」去演譯）
6. 清楚標示「technical term(s)」，必要時附加註解或圖解
7. 能有效運用顏色作不同用途
8. 驟眼望去，字體端正（最低限度要清楚，可能受個人閱卷的經驗所限，對傾向使用斜體字的學生，我會較花精力評卷）
9. 個人心得（可以是「學生自問自答的問題」、「技巧上的步驟」、「給自己的貼士」等）
10. 令人意外的驚喜（我相信天外有天，我上述設計的原則總會有未能欣賞到的好處，就用這個作加分）

是故每項 0 或 10 分，一份「十全筆記」這樣就有初型。

執行上不都是無「挑戰」的，

有學生直接了當問：「筆記不是給自己看嗎？」

（印象中是在我闡述第八項後馬上在座位發問）

我個人是同意！他/她說對了事實的一部份。只不過，

風格可以保留，但不會完全不變。尤其是「字體」，

在考試主導，答卷上的字體凌亂，分明跟閱卷員對著幹。

如果有相關行動研究，可訪談大量閱卷員（不論校外校內），

「斜體字或正體字，閱卷時哪個較花精力？」、

「怎樣的書寫字體較為順眼？」等等。

風格可以保留，但不會完全不變。

可以是透過互相模仿而改進的。

合用的筆記就是好的筆記，

因人而異，因時而異。（所以沒有最好）

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除以上十項「可計分準則」，

還有更加多是「不可量度的變數」，

那可以是受限於我用的例子、重點位，

何時引入哪些重點等，還是果句，

教學是一門藝術，你我可以有無限的可能性，

在漫長的數學學習路上，有如進行藝術創作，

沒有完全相同的法則。

歡迎同工賜教。

何謂「屈指一算」？

計算啫，點解要屈指？大家都知古代無計算機，
那時的計算，不是用算籌或算珠的嗎？

「指算」就是利用左手五指的伸、屈動作進行運算。
下圖所示的10個數，可有發現0和5、1和6、2和7、3和8、4和9
的指法完全相反？（而且，每數數剛好相差5哩...）

在指算法中，由１變６或２變７等，
這伸、屈互變的動作稱為「反手」。
以下我試試介紹一些較易明的運算法則

個位數加法

(1)五指全伸腦「進1」（任何數，加到10就進位囉）
(2)反手時，食指由伸變屈「進1」(6至9的數，加上5時就進位囉)

例如：７＋５＋５＋５＋５
手指由打出7，每次加5做一次「反手」（即７），
腦就記住「進位」（即２），故答案為２７。

個位數乘法

(1)伸指相加(作進位)，屈指相乘
(2)上面兩個答案相加

以６乘７為例，利用上圖的指法，
總共有１＋２＝３隻伸手指，代表３０，
屈手指３ｘ４＝１２，
３０＋１２即４２！嘿嘿嘿嘿~

歡迎留言查詢，你的回覆是我發帖的最大動力！

延伸：９的乘法手指算（昌爸工作坊）

淺談「負負得正」（下）

前言：錯過了黃毅英老師主講的機會，幸好有人替我取了教育局「數學百子櫃系列（十四）」，那是關於中小學數學教師的所需數學知識。面剛好提及負負得正，今日只是重新探討。

「點解『負負得正』既？」（一個來自小五生的問題）
「你玩過UNO嗎？」（嗯！）
「若你同時出兩隻 Reverse，接下來會怎樣？」（繼續不變囉）
「即下一個出牌啦，對不對？」（嗯！）

在等巴士的時間，
在沒有知悉對方先備知識的情況下，
這樣無咩學術味道，他看來似明非明，
至少他的好奇心暫時被滿足了...

如果你是數學老師，
有志在數學堂大展拳腳（好暴力~），
這個課題值得你再三反思。

若你問我，在接觸「負負得正」以先，
我會花些時間建立學生對「相反數」的認識。
若 $k$ 和 $+1$ 彼此是相反數，

即 $k+1=0$，

好比太極的陰和陽
，其中「陰」代表黑暗、寒冷，有「負」的味道！
陰和陽合起來則表示調和、圓滿。

再利用任何數乘以 $0$ 的想法，
即 $k(k+1)=k(0)=0$，再利用乘法分配性質，

現在$(k)(k)+ k=0$，

且看學生是否接受$(k)(k)$ 和 $k$ 彼此也是「相反數」，
也就是說 $(k)(k)= 1$。
倘若我們以 $-1$ 表示 $k$，

那麼，$(-1)(-1) = +1$

口訣：同號相乘變正數！

以上的演譯只用上 $0, 1, k$，
數學味道豐富，如果有學生問起，
不妨創意地發揮這個，至少對方似乎有一絲好奇心。
不然，用得上的口誦已經令人得意地全盤接收了...


歷史又怎麼說？
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在《算學啟蒙》（1299）中，朱世傑提出：「明乘除法，同名相乘得正，異名相乘得負。」（作為炎黃子孫的我，用番中國的文獻咁啦，印度數學也有題及）。當然，更早《九章算術》中的《方程》也有引入了負數的「概念」和正負數加減法的運算法則。至於「符號」，我推介這個教材（也是歌頌強國人的好）。

若厭倦花精神看官方示例，其實維基百科的寫法已經可以接受：

在某些問題中，以賣出的數目為正（因是收入），買入的數目為負（因是付款）；餘錢為正，不足錢為負。在關於糧谷計算中，則以加進去的為正，減掉的為負。「正」、「負」這一對術語從這時起一直沿用到現在。

其實官方示例第 15 頁正正用這模式去探索，
對不知如如何入手就要頂硬上兼教的同工，
可考慮使用~
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如果下次來個小四或以下的學生問及這個，
我或會參考黃毅英老師介紹的「故事模型」...

好人(+)壞人(-)、進城(+)出城(-)、好事(+)壞事(-)

所以，
好人(+)入城(+) = 好事(+)
壞人(-)出城(-) = 好事(-)

口訣：同號相乘變正數！

如果對方年紀再細一點，
可考慮把好人改做這個：

當然，一切以全圖畫方式演譯啦
老師！你在講故事哩，
記得保持童心喔。（笑！）

淺談「負負得正」（中）

前言：有幸能出席母校舉辦的「照顧學習差異與學校改進」中學分享會，也很驚訝學校多了很多美輪美奐的建築物，外表背後，我更喜歡周圍多了很多可以一家大小甚至孤家寡人打發時間打書釘的地方...

分享會中講者借「有向數運算」、「斐波那契數列」、「線性規劃」探討如何照顧學習差異。個人相信，令教育進步，普及知識是有效途徑。我來不及等講者回覆，便做了自己的有向數運算，另外我曾為斐波那契數列做了這個（我希望稍後再作更新）。歡迎數學教育同工下載及回饋。

若無記錯，講者提出可以發展的進路如下：

1. 簡單應用：有向數乘除（有括號）
2. 進階應用：有向數四則運算（無括號）
3. 深入應用：有向數四則運算（有括號）

我也希望就有向數乘除，
探討「負負得正」這些好似非死記不可的東東。

後記：筆者試打黃先生名字作關鍵字搜尋，
找到這個，裡面有好些圖表及心得，
跟週末分享會環節異曲同工，不妨細閱。

淺談「負負得正」(上)

有次，同事甲向其兒子介紹我是一位數學老師。
兒子：「你是數學老師？我想問點解『負負得正』既？」

當下我覺得嘖嘖稱奇，以我所知，
對方是小五生，正規課程鮮有提及。
再者，筆者相信那是很多同工一個棘手的問題。

再要命的，是當日我的正副panel也在場，
panel當時正站在身後，像是不以為意，還是靜觀其變？

如果我說：「你身後也是一位數學老師，不如你問佢啦」
恐怕大家不會有機會看到這段文字。我也有「妙法」拆招。

那麼，何解「負負得正」呢？歡迎回應。
若是我校學生，如有獨到見解，
一經採用，小小紀念品一份，
名額２位，先到先得。

印度數學 Vedic Math

幾年前遊台北，隨手買了本【印度數學】，其實坊間已有很多討論速算的課外閱讀，甚至中學數學科網頁也不難找到，只是技巧說得太多，卻鮮有提及速算的典故。

印度數學的心算解題方式與概念相當簡單，
即便是沒有數學基礎，也能快樂學習輕鬆掌握！

20 以內的乘法
例題：$17\times18 = ? $
步驟一：$(17+8)\times10=250$
步驟二：$7\times8=56$
步驟三：$250+56=306$
所以 $17\times18 =306 $

文字說明：
1. 把「被乘數」跟「乘數」的個位數字相加後乘以10
2. 把「被乘數」及「乘數」的個位數字相乘
3. 把第 1 步及第 2 步的答案相加就行了
（記得以前中大黃毅英老師笑稱這個方法做「你加乘」）

單用這個技巧，有說法指印度兒童能學習 $20\times20$ 以內的乘法。
中國人用的九因歌則是用唱遊方式，性質不一樣，
數學味道少一點，但對初學者而言較易上手。

有意深究的同工，在搜尋器宜輸入吠陀數學 Vedic mathematics，
Vedic Math 是啟發自印度經文 Vedas，
由學者Sri Bharati Krsna Tirthaji (1844-1960)重新編撰而成，
「聞說」大部份仍然丟失，
Vedic Math 是坊間唯一流傳的作品。
(書介在此，如有更新消息，歡迎同工指正)

令我驚訝的是，這些自小在課外書找到的技巧，
今日竟然可變成須付費的課程，
明顯是看準很怕數學的家長。
個人認為，能熟習並恒常使用所有乘法內容，
已經對鍛鍊腦筋很有益。培養閱讀習慣才是根本！

培育幾何思維：從一節座標幾何課說起

筆者近日有幸出席教育局數學教育組的「數學課程學與教策略系列 - (2) 推展創造力」工作坊，當中提到「雞兔同籠」、「一題多解」等推展創造力的手法，獲益不需要多，能帶走一兩個，滲入自己的課堂，對學生多少總會有裨益。

這陣子正教授中三級的座標幾何，學生本身剛剛學會四邊形的特性、中點定理及截線定理等，我嘗試利用工作坊所示範的技巧，設計了一道題，歡迎同工下載及不吝賜教。題目如下：

給已知的兩個點 A(-2, 2) 及 B(3, 2)，
試寫出 C 點令三角形 ABC 成一等腰三角形。

這裡，我先容許學生以距離公式等運算方式（verification）作驗證，然後鼓勵學生能用幾何思維（geometrical thinking）去解釋答案。

題外話：曾經收到有一位學生問到：「其實畫圖就可以解決的數學問題，何必要牽涉座標去處理？」或許同工可能有不同看法，不過筆者很慶幸有學生願意提問，是故也點到即止分享自己對這課題典故的小小認識。

若你問我，在數學世界有什麼劃時代的知識（若以 Dark Ages 作分水嶺的話），可能大多數人會答「微積分」，其實「坐標幾何」也在當時同樣重要，就好似「鎢絲燈炮」的發明改變世界一樣。有興趣的話，我推薦項教授的網上筆記。