[夢遊mode] 2013 HKDSE 數學科試題

打開試卷，首先是 Section A1 部份
Q1. 指數定律，Q2. 主項變換，Q3. 因式分解（不錯不錯）
Q4. 百分率，Q5.  二次方程 ，Q6. 三角函數（咁又做完兩頁）
Q7. 不等式，Q8. 平面／圓形幾何，Q9. 求積法（唷！輕鬆過關，估不到會有第９題）

其實 A1 部份佔 35 分，
諗 8-9 個題目應該唔難估，
這裡 35 分我全取啦~

伸展懶腰，接著是 Section A2 部份
Q10. 變分法，Q11. 多項式因式定理（同校內試一樣既？）
Q12. 二次方程的圖像，Q13. 線性圖像（最怕睇圖了...嗚嗚）Q14. 統計
（甚麼？要人把中一學的幹葉圖重畫成中五學的箱形圖？）
（仲要問埋標準差會點變？只怪自己沒留心上堂 ...嗚嗚嗚）

看看手錶，時間尚餘一小時？
靠，怎麼我這麼慢？

「阿美，你怎麼啦？...甚麼？現在考試中，你竟睡起來？」

糟糕！原剛才是發夢，
看到眼前的 Probability 同 Linear Programming竟睡起來...
後面的是...3-dimensional Problem 同 Geometric Progression？甚麼東東？

[問題] Why $101| 100^{2N} - 1$，$N\in\mathbb{Z^{+}}$?

Why [100^2N - 1] (where N is positive integer) is divisible by 101?
這裡示範「一題多解」技巧

數學歸納法 Mathematics Induction

當 $n=1,2$，命題成立。考慮 $n=k-1,k$，$k\in\mathbb{Z^{+}}$
則 $100^{2k} - 1=101D$，$D\in\mathbb{Z}$
及 $100^{2(k-1)} - 1=101E$，$E\in\mathbb{Z}$

由於
$100^{2(k+1)} - 1$
$=(100^{2k} - 1)(100^{2} + 1) -100^{2k}+ 100^{2}$
$=10001(101D)-100^{2}(100^{2(k-1)}-1)$
$=10001(101D)-10000(101E)$
$=101(10001D-10000E)$
$=101F$，$F=10001D-10000E\in\mathbb{Z}$
（證畢）

二項式定理 Binomial Theorem

考慮 $100=101-1$
所以，
$100^{2N} - 1$
$=(101-1)^{2N} - 1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}+(-1)^{2N}-1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}$
$=101[101^{2N-1}+\binom{2N}{1}101^{2N-2}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}(-1)^{2N-1}]$
（證畢）

和差公式 Summation of Difference

$100^{2N}-1$
$=10000^{N}-1$
$=(10000^{N}-10000^{N-1})+(10000^{N-1}-10000^{N-2})+...+(10000^{1}-1)$
$=\sum (10000^{n}-10000^{n-1})$
$=\sum [10000^{n-1}(10000-1)]$
$=9999\sum 10000^{n-1}$
$=101(99\sum 10000^{n-1})$
（證畢）

其實，數學老師會否接受學生這樣解釋：

這個數的數值必定由 4 的倍數的 9 所組成（例如　9999、99999999、999999999999、...），因此必定是 9999 的倍數（即 $101\times99$ 的倍數）。

[挑戰]還有其他方法嗎？有沒有無言證明（proof without word）？

HKDSE Practice Paper

觀乎今日的數學科練習卷 (Practice Paper)，
我嘗試總結一下（當中我嘗試記下一些問法較特別的題目）。

Section A(1)，35 分
Q1 指數定律（3 分）
Q2 主項變換（3 分）
Q3 因式分解（3 分）
Q4 (中一百分率)成本 $360，標價八折後仍賺 30%，求標價。（4 分）
Q5 樽和杯的容量比為 4 : 3，若7個樽及9個杯的總容量為11升，求樽的容量。（4 分）
Q6  已知 A(13,157^o)、B (14,247^o) 及 C(15,337^o) 為極座標上的點。
       (a) 若 O 為原點，A、O、C 是否共線？試解釋說明。
       (b) 求三角形 ABC 的面積。
Q7 圓的幾何特性（4 分）
Q8 直角座標上的點的反射、旋轉及軌跡（5 分）
Q9 (幾盞鬼的一題) 關於 IRQ 最小值及最大值的估算（5 分）

Sect A(2)，35 分
Q10 續多項式（3+3 分）
Q11 變分法（4+2 分）
Q12 D-t Graph 的應用（2+3+2 分）
Q13 統計圖的應用（3+4 分）
Q14 圓的幾何特性 + 座標幾何（2+7 分） <--- 這以往都在會考乙部才出現的。


Sect B，35 分
Q15 標準分的應用（2+2 分）
Q16 排列與組合在概率的應用（2+2 分）
Q17 複數的應用（2+5 分）
Q18 立體圖形的三角學（2+4+2 分）
Q19 G.P （2+10 分）


總結：
Sect B 較以往略淺，Sect A(2) 較以往略深。
單靠以往應付會考數學的策略需稍作調整（例如：時間分配）。
我會於稍後時間在此分享心得。


以下則透露一下首 10 條多項選擇題，
即使今年諗中四，不妨一試身手。

Q1 x³(2x+x) = __________. (展開多項式)
Q2 If 3a + 1 = 3(b-2), then b = __________. (主項變換)
Q3 Factorize p² - q² - p - q. (恒等式 + 併項法)
Q4 If m(x-3)² + n(x+1)² is identical to x² -38x + 41, then m = __________. (代入法)
Q5 If x⁴ - x³ + x² - x + 1 is divided by (x + 2), find the remainder. (餘式定理)

Q6 If the equation 3x²+2kx-k=0 has equal roots, then k = __________. (判別式的應用)
Q7 Find the slope/equation of lines with a given figure...
Q8 Given the graph of y=ax²-2x+b (open downwards, vertex @ 2nd quadrant, -ve y-intercept),
which of the followings is/are true? I. a > 0  II. b<0  III. ab<1
Q9 Solve 4x>x-3 or 3-x<x+7. (聯立不等式)
Q10 John buys a vase for $1600.
He then sells the vase to Susan at a profit of 20%.
At what price should Susan sell the vase to have a profit of 20%? (中一百分率的應用)