何謂「屈指一算」？

計算啫，點解要屈指？大家都知古代無計算機，
那時的計算，不是用算籌或算珠的嗎？

「指算」就是利用左手五指的伸、屈動作進行運算。
下圖所示的10個數，可有發現0和5、1和6、2和7、3和8、4和9
的指法完全相反？（而且，每數數剛好相差5哩...）

在指算法中，由１變６或２變７等，
這伸、屈互變的動作稱為「反手」。
以下我試試介紹一些較易明的運算法則

個位數加法

(1)五指全伸腦「進1」（任何數，加到10就進位囉）
(2)反手時，食指由伸變屈「進1」(6至9的數，加上5時就進位囉)

例如：７＋５＋５＋５＋５
手指由打出7，每次加5做一次「反手」（即７），
腦就記住「進位」（即２），故答案為２７。

個位數乘法

(1)伸指相加(作進位)，屈指相乘
(2)上面兩個答案相加

以６乘７為例，利用上圖的指法，
總共有１＋２＝３隻伸手指，代表３０，
屈手指３ｘ４＝１２，
３０＋１２即４２！嘿嘿嘿嘿~

歡迎留言查詢，你的回覆是我發帖的最大動力！

延伸：９的乘法手指算（昌爸工作坊）

淺談「負負得正」（下）

前言：錯過了黃毅英老師主講的機會，幸好有人替我取了教育局「數學百子櫃系列（十四）」，那是關於中小學數學教師的所需數學知識。面剛好提及負負得正，今日只是重新探討。

「點解『負負得正』既？」（一個來自小五生的問題）
「你玩過UNO嗎？」（嗯！）
「若你同時出兩隻 Reverse，接下來會怎樣？」（繼續不變囉）
「即下一個出牌啦，對不對？」（嗯！）

在等巴士的時間，
在沒有知悉對方先備知識的情況下，
這樣無咩學術味道，他看來似明非明，
至少他的好奇心暫時被滿足了...

如果你是數學老師，
有志在數學堂大展拳腳（好暴力~），
這個課題值得你再三反思。

若你問我，在接觸「負負得正」以先，
我會花些時間建立學生對「相反數」的認識。
若 $k$ 和 $+1$ 彼此是相反數，

即 $k+1=0$，

好比太極的陰和陽
，其中「陰」代表黑暗、寒冷，有「負」的味道！
陰和陽合起來則表示調和、圓滿。

再利用任何數乘以 $0$ 的想法，
即 $k(k+1)=k(0)=0$，再利用乘法分配性質，

現在$(k)(k)+ k=0$，

且看學生是否接受$(k)(k)$ 和 $k$ 彼此也是「相反數」，
也就是說 $(k)(k)= 1$。
倘若我們以 $-1$ 表示 $k$，

那麼，$(-1)(-1) = +1$

口訣：同號相乘變正數！

以上的演譯只用上 $0, 1, k$，
數學味道豐富，如果有學生問起，
不妨創意地發揮這個，至少對方似乎有一絲好奇心。
不然，用得上的口誦已經令人得意地全盤接收了...


歷史又怎麼說？
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在《算學啟蒙》（1299）中，朱世傑提出：「明乘除法，同名相乘得正，異名相乘得負。」（作為炎黃子孫的我，用番中國的文獻咁啦，印度數學也有題及）。當然，更早《九章算術》中的《方程》也有引入了負數的「概念」和正負數加減法的運算法則。至於「符號」，我推介這個教材（也是歌頌強國人的好）。

若厭倦花精神看官方示例，其實維基百科的寫法已經可以接受：

在某些問題中，以賣出的數目為正（因是收入），買入的數目為負（因是付款）；餘錢為正，不足錢為負。在關於糧谷計算中，則以加進去的為正，減掉的為負。「正」、「負」這一對術語從這時起一直沿用到現在。

其實官方示例第 15 頁正正用這模式去探索，
對不知如如何入手就要頂硬上兼教的同工，
可考慮使用~
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如果下次來個小四或以下的學生問及這個，
我或會參考黃毅英老師介紹的「故事模型」...

好人(+)壞人(-)、進城(+)出城(-)、好事(+)壞事(-)

所以，
好人(+)入城(+) = 好事(+)
壞人(-)出城(-) = 好事(-)

口訣：同號相乘變正數！

如果對方年紀再細一點，
可考慮把好人改做這個：

當然，一切以全圖畫方式演譯啦
老師！你在講故事哩，
記得保持童心喔。（笑！）

淺談「負負得正」(上)

有次，同事甲向其兒子介紹我是一位數學老師。
兒子：「你是數學老師？我想問點解『負負得正』既？」

當下我覺得嘖嘖稱奇，以我所知，
對方是小五生，正規課程鮮有提及。
再者，筆者相信那是很多同工一個棘手的問題。

再要命的，是當日我的正副panel也在場，
panel當時正站在身後，像是不以為意，還是靜觀其變？

如果我說：「你身後也是一位數學老師，不如你問佢啦」
恐怕大家不會有機會看到這段文字。我也有「妙法」拆招。

那麼，何解「負負得正」呢？歡迎回應。
若是我校學生，如有獨到見解，
一經採用，小小紀念品一份，
名額２位，先到先得。

整除性的檢定 Divisibility Tests

「2的倍數有何規律？」
「最後個位數字必然是2的倍數囉。」
「咁...4的倍數呢？」
「最後2位數字必然是4的倍數囉。」
「咁...8的倍數呢？」
「最後3位數字必然是3的倍數囉。」
「5的倍數呢？」
「個位數字必然是5或0囉。」

「那麼，7的倍數又有何規律？」
記得我在初中時用的是「截尾法」。對任何數，
(1)先把最尾的個位數字捨去；
(2)將捨去後的數减該數字的兩倍。
重複(1)及(2)，直至你看出它是7的倍数為止。

(截尾法來源：《數：上帝的寵物》，談祥柏著。ISBN：7-5320-4801-2，上海教育出版社，1988，頁4)

以 674253 為例，
把 3 捨去後得 67425 ，減 3 的兩倍後得 67419，
把 9 捨去後得 6742，減 9 的兩倍後得 6724，
把 4 捨去後得 672，減 4 的兩倍後得 664，
把 4 捨去後得 66， 減 4 的兩倍後得 58（不是 7 的倍數），
故 674253 不能被 7 整除。

若果該數是1000以下，直接驗算當然較好啦～

分析:
設原數為 A = 10x + y，
截尾後的數為 B = x − 2y。
故此 A - 3B = 7x + 7y，即 A = 7(x+y) + 3B
（若 B 能被 7 整除，則 A 亦能被 7 整除，反之亦然）
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。
至於 11 及 13 的的整除性，
「截尾法」其實也適用（只是尾數分別乘以1及4而已）。

挑戰：
1. 你可以用相同方法（尾數乘以2），來判定其他數字的整除性嗎？
2. 你可以用類似方法，來判定其他數字的整除性嗎？
當然你也可問我「117的倍數有何規律？」，
但「截尾法」恐怕比用正常的除法好不了多少。

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以下談的是其他方法。

「1000以下且是7的倍數有何規律？」

我這裡利用數論的「同餘（congruences）」的引理（lemma）：
(1)若A為7的倍數，則將A加或減7的倍數後，仍為7的倍數。
(2)若A除以7的餘數為k，則將A加或減7的倍數後，則餘數仍為k。

分析:
設原數為 A = 100x + 10y + z，
考慮 B = 2x + 3y + z（即百位乘2，十位乘3，個位乘1，然後相加）
故此 A - B = 98x + 7y，即 A = 7(14x+y) + B
（若 B 能被 7 整除，則 A 亦能被 7 整除，反之亦然）
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。

以 253 為例，
百位乘2，十位乘3，個位乘1，相加後得 22（不是 7 的倍數），
故 253 不能被 7 整除。

根據引理(2)，253及22除以7的餘數也相同！


「1000以上且是7的倍數有何規律？」

將此數由右而左，每三位數字一組，拆成多個三位數，
再梅花間竹給予正號、負號、正號、負號、...
然後將這三組數相加，如為7的倍數，則原數必為七的倍數。

以 39247852 為例，
考慮 +852-247+039 = 644，
再用上面的方法或直接除 7，禮成！

練習：
546、5934516、3451459802384，哪些是7的倍數？
挑戰：
同學能否模仿上述的方式來找一找：13倍數的判別法？

李柏良先生就整除性於今年八月上載 J.L.Lagrange 的判別法，
我個人覺得有趣，不失作為教師參考。
（但方法容易記錯，老師需要稍加備課，不能隨口就講得流暢）

後記：重新執筆，事緣一次跟小學老師的交流會中，駭然發現連老師也不知道（即不會主動學數也不會做網上搜尋），也在一次聖誕聯歡會跟學生玩「拍７遊戲」（玩法：輪流報數，碰到 7 的倍數或者含 7 的數字就拍手，犯錯者受罰……）時感到懊惱，感覺應有很多人對數學不是望而生畏（那也許是結果），而是不知如何入手，久而久之就敬而遠之。