規尺作圖（教學資源）

看到香港奧數在年前引入「規尺作圖」的題目，心裡倒是高興，因為能「做到」這類題目給予很大的滿足吧（也可能自己對這類題目因見識少而有新鮮感，那些年還未掌握箇中技巧而多花好些精力）。

「規尺作圖」的玩法

• 直尺只能用來畫直線（不是用間尺，作圖時不會用上刻度）
• 圓規只能用來畫圓或弧線
• 所有的曲線都要用直尺及圓規畫出
• 規定做圖都要在有限步驟內完成

倘若閣下在初中幾何學裡有一課從角平分線、垂直平分線等引伸，而堂內又無法完成的話，不妨參考下列教材（多以英文為主）。
Bisecting an angle（作「角平分線」之法，初級技巧）
Copy an angle（也是初級技巧）
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle（也是作等邊三角形之應用技巧）
Construct a 45° angle（先作直角後作平分，算是進階技巧吧？雖然也很淺...）
Construct a 30° angle

上面是關於「角（Angle）」，以下則是與「線（Lines）」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)

一般而言，只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量，都可以用規尺作出來，我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。（但那如何對一般的中二生說得明白？記住這段，待他日再深思吧）

怎樣才是一份好的筆記？(version 1.0)

從事教育事業已有好些年日，不喜歡因循，

於是我重新思考這個問題，反正未有定論，

於是我用「平時分」要求全體學生由零開始交出一手筆記。

首先，我訂了一些「可計分準則」

1. 準時交筆記（因為我會悉數Scan落電腦，那是為行政上的節省時間）
2. 用指定單行紙（試過用其他紙而令Scanner食紙，也是為行政上的節省時間）
3. 完整個人資料，包括著作人、班別班號、日期、學科
4. 在當眼處清晰顯示該課「主題」及「副題」
5. 充足的個案例題（有感這一代不多能夠由「定義」或「公式」去演譯）
6. 清楚標示「technical term(s)」，必要時附加註解或圖解
7. 能有效運用顏色作不同用途
8. 驟眼望去，字體端正（最低限度要清楚，可能受個人閱卷的經驗所限，對傾向使用斜體字的學生，我會較花精力評卷）
9. 個人心得（可以是「學生自問自答的問題」、「技巧上的步驟」、「給自己的貼士」等）
10. 令人意外的驚喜（我相信天外有天，我上述設計的原則總會有未能欣賞到的好處，就用這個作加分）

是故每項 0 或 10 分，一份「十全筆記」這樣就有初型。

執行上不都是無「挑戰」的，

有學生直接了當問：「筆記不是給自己看嗎？」

（印象中是在我闡述第八項後馬上在座位發問）

我個人是同意！他/她說對了事實的一部份。只不過，

風格可以保留，但不會完全不變。尤其是「字體」，

在考試主導，答卷上的字體凌亂，分明跟閱卷員對著幹。

如果有相關行動研究，可訪談大量閱卷員（不論校外校內），

「斜體字或正體字，閱卷時哪個較花精力？」、

「怎樣的書寫字體較為順眼？」等等。

風格可以保留，但不會完全不變。

可以是透過互相模仿而改進的。

合用的筆記就是好的筆記，

因人而異，因時而異。（所以沒有最好）

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除以上十項「可計分準則」，

還有更加多是「不可量度的變數」，

那可以是受限於我用的例子、重點位，

何時引入哪些重點等，還是果句，

教學是一門藝術，你我可以有無限的可能性，

在漫長的數學學習路上，有如進行藝術創作，

沒有完全相同的法則。

歡迎同工賜教。

何謂「屈指一算」？

計算啫，點解要屈指？大家都知古代無計算機，
那時的計算，不是用算籌或算珠的嗎？

「指算」就是利用左手五指的伸、屈動作進行運算。
下圖所示的10個數，可有發現0和5、1和6、2和7、3和8、4和9
的指法完全相反？（而且，每數數剛好相差5哩...）

在指算法中，由１變６或２變７等，
這伸、屈互變的動作稱為「反手」。
以下我試試介紹一些較易明的運算法則

個位數加法

(1)五指全伸腦「進1」（任何數，加到10就進位囉）
(2)反手時，食指由伸變屈「進1」(6至9的數，加上5時就進位囉)

例如：７＋５＋５＋５＋５
手指由打出7，每次加5做一次「反手」（即７），
腦就記住「進位」（即２），故答案為２７。

個位數乘法

(1)伸指相加(作進位)，屈指相乘
(2)上面兩個答案相加

以６乘７為例，利用上圖的指法，
總共有１＋２＝３隻伸手指，代表３０，
屈手指３ｘ４＝１２，
３０＋１２即４２！嘿嘿嘿嘿~

歡迎留言查詢，你的回覆是我發帖的最大動力！

延伸：９的乘法手指算（昌爸工作坊）

淺談「負負得正」（下）

前言：錯過了黃毅英老師主講的機會，幸好有人替我取了教育局「數學百子櫃系列（十四）」，那是關於中小學數學教師的所需數學知識。面剛好提及負負得正，今日只是重新探討。

「點解『負負得正』既？」（一個來自小五生的問題）
「你玩過UNO嗎？」（嗯！）
「若你同時出兩隻 Reverse，接下來會怎樣？」（繼續不變囉）
「即下一個出牌啦，對不對？」（嗯！）

在等巴士的時間，
在沒有知悉對方先備知識的情況下，
這樣無咩學術味道，他看來似明非明，
至少他的好奇心暫時被滿足了...

如果你是數學老師，
有志在數學堂大展拳腳（好暴力~），
這個課題值得你再三反思。

若你問我，在接觸「負負得正」以先，
我會花些時間建立學生對「相反數」的認識。
若 $k$ 和 $+1$ 彼此是相反數，

即 $k+1=0$，

好比太極的陰和陽
，其中「陰」代表黑暗、寒冷，有「負」的味道！
陰和陽合起來則表示調和、圓滿。

再利用任何數乘以 $0$ 的想法，
即 $k(k+1)=k(0)=0$，再利用乘法分配性質，

現在$(k)(k)+ k=0$，

且看學生是否接受$(k)(k)$ 和 $k$ 彼此也是「相反數」，
也就是說 $(k)(k)= 1$。
倘若我們以 $-1$ 表示 $k$，

那麼，$(-1)(-1) = +1$

口訣：同號相乘變正數！

以上的演譯只用上 $0, 1, k$，
數學味道豐富，如果有學生問起，
不妨創意地發揮這個，至少對方似乎有一絲好奇心。
不然，用得上的口誦已經令人得意地全盤接收了...


歷史又怎麼說？
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在《算學啟蒙》（1299）中，朱世傑提出：「明乘除法，同名相乘得正，異名相乘得負。」（作為炎黃子孫的我，用番中國的文獻咁啦，印度數學也有題及）。當然，更早《九章算術》中的《方程》也有引入了負數的「概念」和正負數加減法的運算法則。至於「符號」，我推介這個教材（也是歌頌強國人的好）。

若厭倦花精神看官方示例，其實維基百科的寫法已經可以接受：

在某些問題中，以賣出的數目為正（因是收入），買入的數目為負（因是付款）；餘錢為正，不足錢為負。在關於糧谷計算中，則以加進去的為正，減掉的為負。「正」、「負」這一對術語從這時起一直沿用到現在。

其實官方示例第 15 頁正正用這模式去探索，
對不知如如何入手就要頂硬上兼教的同工，
可考慮使用~
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如果下次來個小四或以下的學生問及這個，
我或會參考黃毅英老師介紹的「故事模型」...

好人(+)壞人(-)、進城(+)出城(-)、好事(+)壞事(-)

所以，
好人(+)入城(+) = 好事(+)
壞人(-)出城(-) = 好事(-)

口訣：同號相乘變正數！

如果對方年紀再細一點，
可考慮把好人改做這個：

當然，一切以全圖畫方式演譯啦
老師！你在講故事哩，
記得保持童心喔。（笑！）

印度數學 Vedic Math

幾年前遊台北，隨手買了本【印度數學】，其實坊間已有很多討論速算的課外閱讀，甚至中學數學科網頁也不難找到，只是技巧說得太多，卻鮮有提及速算的典故。

印度數學的心算解題方式與概念相當簡單，
即便是沒有數學基礎，也能快樂學習輕鬆掌握！

20 以內的乘法
例題：$17\times18 = ? $
步驟一：$(17+8)\times10=250$
步驟二：$7\times8=56$
步驟三：$250+56=306$
所以 $17\times18 =306 $

文字說明：
1. 把「被乘數」跟「乘數」的個位數字相加後乘以10
2. 把「被乘數」及「乘數」的個位數字相乘
3. 把第 1 步及第 2 步的答案相加就行了
（記得以前中大黃毅英老師笑稱這個方法做「你加乘」）

單用這個技巧，有說法指印度兒童能學習 $20\times20$ 以內的乘法。
中國人用的九因歌則是用唱遊方式，性質不一樣，
數學味道少一點，但對初學者而言較易上手。

有意深究的同工，在搜尋器宜輸入吠陀數學 Vedic mathematics，
Vedic Math 是啟發自印度經文 Vedas，
由學者Sri Bharati Krsna Tirthaji (1844-1960)重新編撰而成，
「聞說」大部份仍然丟失，
Vedic Math 是坊間唯一流傳的作品。
(書介在此，如有更新消息，歡迎同工指正)

令我驚訝的是，這些自小在課外書找到的技巧，
今日竟然可變成須付費的課程，
明顯是看準很怕數學的家長。
個人認為，能熟習並恒常使用所有乘法內容，
已經對鍛鍊腦筋很有益。培養閱讀習慣才是根本！

中學實用課堂資源（不定期更新）

前言
(其實我 2 年前應該發佈此文...)
無論你是否數學老師，無論做教學或是匯報，
希望以下免費工具能令你教學更加如魚得水。

http://www.screenmarker.com/
有了 ScreenMarker，你可以在電腦螢幕上任意畫圖，
如同 PowerPoint 的螢光筆標重點功能，
絕對令課室多了個電子白板！（只怪自己相逢恨晚）
無論標重點、解釋幾何題目，好用程度無用置疑！

再者，使用舊式電子白板，

你眼晴受得了投影機的強光嗎？

執行 ScreenMarker 之後，螢幕上會出現一個工具區。
工具區的介面很像小畫家，所以很容易上手。
若想用個更專業的，我推薦 PointToFix 的免安裝版。
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https://www.desmos.com/calculator
進入 Desmos，介面感覺很像在使用 I-pad，
如果有用 Graphmatica，我會鼓勵你今天起改用 Desmos，
平心而論，兩者功能不相伯仲，
但 Desmos 介面看起來較簡單易用，
而且能顯示多個方程及其圖像
加上無需安裝，只要電腦能上網便何使用！
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http://www.online-stopwatch.com/
顧名思義，即網上計時器啦，
內裡有很多計時模方式，
進行討論用作計時，相當方便！
在禮堂監考時使用，效果一流！
若是小學老師，我推薦用炸彈計時，
而我個人較喜歡沙漏計時（網主說是學生提出的構思），
不過請預先調校 Speaker 音量。
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http://www.geogebratube.org/student/m2461
此乃互動量角器，方便老師示範有關動作。
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http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=4
先旨聲明，教授全等三角形的條件時，
我主張使用實物（尤其是說明 SSA 並非合理理由），
好使學生有所發現，但有時手裡沒有道具，
這個就好作應急吧，當然也不要為用而用。
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http://www.peda.com/download/
Poly 軟件能模擬立體旋轉，
且能展示摺紙圖樣，是不錯的選擇。
特別是你教員室的座位
已無多餘空間再存放大量實物模型......
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http://numeracyworks.com/tabula/release/
這是 Tabula 的試用版，介面易用，
平移反射旋轉各個功能寫得一清二楚，
易上手且無須下載，我特別喜歡「摺紙功能」
每次限用 30 分鐘，除非你要用足一整課啦！
關於規尺作圖，其實我以前是用 Compass and Ruler，
但不知何故全世界突然轉用 Geogebra，
而我有好幾次因 java 問題令電腦死機，
理性上知道好用，但感性上我又想鬥氣唔用...
另覓出路...
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http://nrich.maths.org/6717
Dice & Spinners Interactive 是我教初中概率的常用工具，
互動性夠強，且能選擇以列表或棒形圖顯示結果，
由此引入實驗概率非常方便！
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Interactive Number Patterns
單看網址就知 Nrich Maths 裡還有其他很正的互動資源，
這是讓學生探究數列的特性。
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All programs > Accessories > Snipping Tool
有時我都好奇想知網友怎樣把電視畫面擷取成圖片，
秘訣在於使用Window Vista 的剪取工具 (Snipping Tool)，
不用上網或下載，用法見有關連結。
我相信對通識老師更加有用，
大家以後不必只用 PrintScreen 啦。
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學與教資源庫
這裡是官方有關數學教育的專業發展網頁，
定期瀏覽對兼教數學科的老師都是不錯的選擇。
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其實我相信每位同工對每個課題，
本身也有自己的心頭好，以上都只是工具，
更重要是怎樣反思教學，例如怎樣做好知識管理，
能養成累積經驗的習慣，那已算是以身作側的榜樣啦~

培育幾何思維：從一節座標幾何課說起

筆者近日有幸出席教育局數學教育組的「數學課程學與教策略系列 - (2) 推展創造力」工作坊，當中提到「雞兔同籠」、「一題多解」等推展創造力的手法，獲益不需要多，能帶走一兩個，滲入自己的課堂，對學生多少總會有裨益。

這陣子正教授中三級的座標幾何，學生本身剛剛學會四邊形的特性、中點定理及截線定理等，我嘗試利用工作坊所示範的技巧，設計了一道題，歡迎同工下載及不吝賜教。題目如下：

給已知的兩個點 A(-2, 2) 及 B(3, 2)，
試寫出 C 點令三角形 ABC 成一等腰三角形。

這裡，我先容許學生以距離公式等運算方式（verification）作驗證，然後鼓勵學生能用幾何思維（geometrical thinking）去解釋答案。

題外話：曾經收到有一位學生問到：「其實畫圖就可以解決的數學問題，何必要牽涉座標去處理？」或許同工可能有不同看法，不過筆者很慶幸有學生願意提問，是故也點到即止分享自己對這課題典故的小小認識。

若你問我，在數學世界有什麼劃時代的知識（若以 Dark Ages 作分水嶺的話），可能大多數人會答「微積分」，其實「坐標幾何」也在當時同樣重要，就好似「鎢絲燈炮」的發明改變世界一樣。有興趣的話，我推薦項教授的網上筆記。

月份的由來 History of Months

大家可曾想過：
「Octopus、Octagon、Octahedron 等都和數字 8 有關，為何 October 譯作十月？」
「二月份日子哪麼短？」（早點出糧不好嗎？）
「七月和八月為何都有 31 日？」

網絡文章已出現無數版本，但進入正文前，容我整理少許意大利的歷史資料。

背景資料1：其實今日十二個月的名稱多數來自拉丁文，多是古希臘羅馬神話中的神名。

背景資料2：古羅馬曆法裡面，一年只有十個月，October 原為第八個月，第一個月原本是March，最後一個月是December，即拉丁文「10」的意思。

背景資料3：July 及 August 是把原有的 Quintilis 及 Sextilis 改名而成（但有說法指 July 本來就有，但我未找到可靠出處），新加的是 January 及 February（由第二任的羅馬領袖 Numa Pompilius 倡議，起初排在最頭及最尾，後來在 Quintilis 及 Sextilis 改名時一併放在第一及第二個月）。按我認知，增加月份及把月份改名都是經元老院通過了法案才成事。之所以選擇 Quintilis 及 Sextilis 改名，因為這兩個月分別是凱撒大帝及其養子屋大維的出生月。


一月（January）：取自古羅馬的門神Janus，他的兩張臉能同時看前看後，負責日出和日落（象徵「開始」和「結束」之神）。作為新曆法第一個月的名稱，有著「回望過去，展望將來」的意思。

二月（February）：取自羅馬一個潔淨的節日Februa，作為新曆法第二個月的名稱，代表贖罪和淨化之意，也因漫長冬季在這時結束，人們要身心靈來個大掃除，以待春天來臨。

至於二月為何特別短？事原新曆法規定，大月 31 日小月 30 日，但這樣計算一年就變成 366 日（多了 1 天？），而那時死囚均在二月行刑（大掃除？），因此人們認為二月是不吉利的月分，要扣就由二月份扣，讓不吉利的日子減少 1 日。

且慢！二月份不是共扣 2 日嗎？原來屋大維接受封號為奧古斯都Augustus（意謂「至尊」）之後，因為他和他的乾爹凱撒Julius Caesar，都因開疆闢土及勤政愛民而受愛戴，有說法是指負責拍馬屁的元老院因此便通過了法案，將兩父子的出生月分別以其命名「July」及「August」。又因七月是大月八月是小月，為了表示屋大維也偉大，也把八月改為大月。又多了 1 天？嘩哈哈，要扣就由二月份扣，讓不吉利的日子再減少1日！結果二月只有 28 日。

三月（March）：取名自羅馬戰神Mars，在羅馬人眼中是一個很雄偉無敵的神，Marching就是行軍的意思，羅馬人經常把Mars跟雷和閃電聯想在一起，因三月時值春天，風很強，時有雷雨，大地鼓動，如同英文spring（彈簧、泉、跳躍）的意象，故作為古羅馬曆法第一個月的名稱。

四月（April）：取名自拉丁文Aprilis，代表「打開」，因四月天雨水足，樹木欣欣向榮，百花盛放咁上下啦！另一說法是四月取名自希臘女神Aphrodite。

五月（May）：取名自田野女神美雅Maia，在羅馬人眼中，Maia 是一個年輕貌美，職掌生物繁殖和生長的女神，取其繁延不斷，生生不息之意。

六月（June）：取名自宙斯Zeus的皇后 Juno（警告：下次別跟我說 Juno 是指麥浚龍！），代表古羅馬曆法的第四個月。是婚姻的保護神，專門保護結婚的婦女，是已婚婦女求助的對象，古羅馬人因此認為六月是結婚最好的月分。也有學者認為，Junius可能是個代拉丁家族中一個顯赫貴族的姓氏。

之後的 6 個月份 Quintilis、Sextilis、September、October、November、December，都取名自五至十的拉丁文（septem、Octo、Novem、Decem），代表古羅馬曆法的第五至第十個月。


參考資料：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%85%E9%A6%AC%E6%9B%86

http://tw.myblog.yahoo.com/bangquey/article?mid=684&next=679&l=f&fid=39

http://tw.myblog.yahoo.com/kevin-ceo/article?mid=219&next=72&l=f&fid=23

http://www.crowl.org/lawrence/time/months.html

DSE 摘星奇緣：常犯錯誤篇（序）

前言：曾有段時間，自己很厭倦批改家課，
尤其發現很多同學得個「抄」字！
「阿Sir，我好用心去做架！」
「你應該高興我肯交功課！」
趁我仲未看化之前，很想分享一些「心得」。
不，應該是昔日自己的「教訓」才對．．．

• 錯解題目

不只錯解，不理解甚至答題欄留白，
這都令人惋惜，甚至擔心（合格率）。

• 公式混淆

就好似事前無充份認識一件工具的
正確用法及可用之處，這都是低級錯誤

• 抄錯題目

衰在不上心，與人無尤。
也是我近年睡眠匱乏下的副產品！

• 運算出錯

忘記先乘除後加減，
或是開方後無考慮正負值
甚或無習慣驗算答案

• 單位錯誤

因寫錯或漏寫（甚至寫多）
而扣一分，可免則免啦

• 時間錯配

平日操數 Hea 住咁做又無計時，
在香港考試都係輸蝕！

總結：
以上都是老生正常談，最好是先知先覺，
但更多學生往往是得到足夠的教訓
才能汲取丁點的經驗......

「保要保守你心，勝過保守一切！」（聖經）

後話：難得失眠，好想在此整理一些常犯錯誤，
好給自己提醒，也為他日重看舊文，有所反思．．．

三門問題 Monty Hall Problem 2012

假設你參加這樣一個猜獎遊戲：眼前有三扇關上的門（且叫Ａ、Ｂ、Ｃ啦），其中一扇門後面藏著大獎，另外兩扇門後面空空如也。玩法是，當你選好一扇門後（假設是Ａ），主持人打開Ｃ門，裡面是空的。現在他給你一次換選Ｂ門的機會，那麼你是否「應該」換呢？（順帶一提，主持人是知道真正答案，倘若玩家最初選對了，主持人則隨意開一扇門，當然這點也不會讓玩家知道）


或者用比較數學的講法，在主持人提示了一個無獎的門之後，換門的得獎機率是否大於不換？

正向中三及中五教授「機率論」，我心想好否在堂上引入上述的「三門問題」，問題本身簡單、易懂，答案也很簡單、但卻有點反直覺。（答案在最下面，你可以自行核對。）不過今次想介紹一些網上相關的片。

如果學生想睇片的可考慮這個，適用於以英語作授課語言。


最近見到有補習社拍了一個全新版本，夠噱頭！（先旨聲明，本人及本網誌對有關機構並無瓜葛，個人頗欣賞明仔，但對有關導師甚無好感亦無惡意。）


喜歡看連續劇的我推薦「Numb3r」（中譯：數字搜查線，但我仲未找到 DVD >_<）

喜歡電影的我推薦這齣（中文片名：決勝２１點），真人真事改編，故事描述任教於麻省理工學院的數學教授米基解開撲克牌21點的必勝程式後，決定延攬6位天才學生加入團隊並前往賭城大試手氣。幾個人憑著破解程式在賭城大賺一筆，不過，贏得的巨額賭金和偽造身分，卻讓他們成為賭場盯稍對象，引來重重危險殺機．．．


還有無什麼好例子？來個午間數學活動，從做中學，效果又如何？

答案：換門的得獎機率是 2/3，不換是 1/3，所以你應該要換。
我試用歸納法解釋一下，舉個例子：如果有十扇門，你選好後主持人打開八個無獎的門，那麼換門的得獎機率是 9/10，不換是 1/10。規則不變，轉換某些參數，事情就清楚得多，明白嗎？

[問題] Why $101| 100^{2N} - 1$，$N\in\mathbb{Z^{+}}$?

Why [100^2N - 1] (where N is positive integer) is divisible by 101?
這裡示範「一題多解」技巧

數學歸納法 Mathematics Induction

當 $n=1,2$，命題成立。考慮 $n=k-1,k$，$k\in\mathbb{Z^{+}}$
則 $100^{2k} - 1=101D$，$D\in\mathbb{Z}$
及 $100^{2(k-1)} - 1=101E$，$E\in\mathbb{Z}$

由於
$100^{2(k+1)} - 1$
$=(100^{2k} - 1)(100^{2} + 1) -100^{2k}+ 100^{2}$
$=10001(101D)-100^{2}(100^{2(k-1)}-1)$
$=10001(101D)-10000(101E)$
$=101(10001D-10000E)$
$=101F$，$F=10001D-10000E\in\mathbb{Z}$
（證畢）

二項式定理 Binomial Theorem

考慮 $100=101-1$
所以，
$100^{2N} - 1$
$=(101-1)^{2N} - 1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}+(-1)^{2N}-1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}$
$=101[101^{2N-1}+\binom{2N}{1}101^{2N-2}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}(-1)^{2N-1}]$
（證畢）

和差公式 Summation of Difference

$100^{2N}-1$
$=10000^{N}-1$
$=(10000^{N}-10000^{N-1})+(10000^{N-1}-10000^{N-2})+...+(10000^{1}-1)$
$=\sum (10000^{n}-10000^{n-1})$
$=\sum [10000^{n-1}(10000-1)]$
$=9999\sum 10000^{n-1}$
$=101(99\sum 10000^{n-1})$
（證畢）

其實，數學老師會否接受學生這樣解釋：

這個數的數值必定由 4 的倍數的 9 所組成（例如　9999、99999999、999999999999、...），因此必定是 9999 的倍數（即 $101\times99$ 的倍數）。

[挑戰]還有其他方法嗎？有沒有無言證明（proof without word）？

HKDSE Practice Paper

觀乎今日的數學科練習卷 (Practice Paper)，
我嘗試總結一下（當中我嘗試記下一些問法較特別的題目）。

Section A(1)，35 分
Q1 指數定律（3 分）
Q2 主項變換（3 分）
Q3 因式分解（3 分）
Q4 (中一百分率)成本 $360，標價八折後仍賺 30%，求標價。（4 分）
Q5 樽和杯的容量比為 4 : 3，若7個樽及9個杯的總容量為11升，求樽的容量。（4 分）
Q6  已知 A(13,157^o)、B (14,247^o) 及 C(15,337^o) 為極座標上的點。
       (a) 若 O 為原點，A、O、C 是否共線？試解釋說明。
       (b) 求三角形 ABC 的面積。
Q7 圓的幾何特性（4 分）
Q8 直角座標上的點的反射、旋轉及軌跡（5 分）
Q9 (幾盞鬼的一題) 關於 IRQ 最小值及最大值的估算（5 分）

Sect A(2)，35 分
Q10 續多項式（3+3 分）
Q11 變分法（4+2 分）
Q12 D-t Graph 的應用（2+3+2 分）
Q13 統計圖的應用（3+4 分）
Q14 圓的幾何特性 + 座標幾何（2+7 分） <--- 這以往都在會考乙部才出現的。


Sect B，35 分
Q15 標準分的應用（2+2 分）
Q16 排列與組合在概率的應用（2+2 分）
Q17 複數的應用（2+5 分）
Q18 立體圖形的三角學（2+4+2 分）
Q19 G.P （2+10 分）


總結：
Sect B 較以往略淺，Sect A(2) 較以往略深。
單靠以往應付會考數學的策略需稍作調整（例如：時間分配）。
我會於稍後時間在此分享心得。


以下則透露一下首 10 條多項選擇題，
即使今年諗中四，不妨一試身手。

Q1 x³(2x+x) = __________. (展開多項式)
Q2 If 3a + 1 = 3(b-2), then b = __________. (主項變換)
Q3 Factorize p² - q² - p - q. (恒等式 + 併項法)
Q4 If m(x-3)² + n(x+1)² is identical to x² -38x + 41, then m = __________. (代入法)
Q5 If x⁴ - x³ + x² - x + 1 is divided by (x + 2), find the remainder. (餘式定理)

Q6 If the equation 3x²+2kx-k=0 has equal roots, then k = __________. (判別式的應用)
Q7 Find the slope/equation of lines with a given figure...
Q8 Given the graph of y=ax²-2x+b (open downwards, vertex @ 2nd quadrant, -ve y-intercept),
which of the followings is/are true? I. a > 0  II. b<0  III. ab<1
Q9 Solve 4x>x-3 or 3-x<x+7. (聯立不等式)
Q10 John buys a vase for $1600.
He then sells the vase to Susan at a profit of 20%.
At what price should Susan sell the vase to have a profit of 20%? (中一百分率的應用)

數學教師文摘 Maths Teachers' Digest

故名思義，筆者希望在此收集一些華語的數學教育文章，促進知識的分享及交流，
無論你是數學主修生，有意投身有關數學教育的人、數學教師、數學書編輯、數學教授，
歡迎來郵至 sk2@alumni.cuhk.net。

• 3 solutions (without word) to a single question

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v12/v12_p58to60.pdf
學術成份不高，但卻是我第一次投稿獲刊登的愉快經驗。
關於無言證明（Proof without word），這裡及那裡都有相當好的例子。
讀者不妨多加發掘。

• Chan Yip-Cheung, A geometry problem with different solutions

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v14/16ChanYC.pdf
承上所述，這是用不同方法去處理一道具幾何題目。
我鼓勵投身數學教育的同工嘗試發掘更多「一題多解」的例子。
這麼，你才會不斷發現，數學看上來總可以不一樣。

• 蕭文強著，「三心兩意」的數學教師

http://hkumath.hku.hk/~mks/09MathsTeacher3h2m.pdf
一位我相當敬佩的數學老師、數學教授，為推動數學及數學教育不遺餘力。

• 蕭文強著，數學史和數學教育：個人的經驗和看法

http://hkumath.hku.hk/~mks/shortmathhistory_chinese.pdf
節錄自《數學傳播》，原文刊於第16卷第3期（1992），23-29頁。

• 蕭文強著，概率萬花筒

http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4957/cabinet%208.pdf
是我當年學概率，令我樂在其中的好好讀物~

• 黃兆麟著，聽覺學習「不等式」

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v20/10WongSL_hearing.pdf
筆者是我一位大學同學，
由教學實習至入職以來多作嘗試，
我相信同一課題的教學千變萬化，
但不多年輕同工會嘗試分享投稿，
祝願他的教學熱誠與日俱增。

• 梁子傑著，米凱爾點與垂心

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v20/15LeungCK_miquel.pdf
在數學教育界十分活躍，算得上是多產的寫手。
正在教授初中關於「垂心」卻不知所為何事的同工，不妨細看。
（恐怕連教科書的編輯們也未必知為何要教）

• 梁子傑著，談天說地話數學

http://www.edb.gov.hk/FileManager/SC/Content_4957/cabinet%204.pdf
多產的寫手，其文筆對有恴從事數學教育工作的朋友，相當合脾胃。

• 張小平，未進過學校的數學天才巴斯卡

數學傳播 32卷2期, pp. 54-61
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d322/32206.pdf

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以下都是我個人好建議有心人定期瀏覽，
持之以恆，你的心性和學養才有進境。

• 數學教育(EduMath)

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/
此乃香港數學教育學會出版的刊物，
旨在提供不同崗位數學教育工作者討論的園地，
讓學會內外的資訊得以交流，
數學教育之理念與經驗得以分享。

• 數學傳播

http://w3.math.sinica.edu.tw/media/default.jsp
此乃台灣中央研究院數學研究所發行出版的刊物，
旨在傳播數學知識，促進數學教育，
內裡也有好多高質素的文章。

• 數學知識

http://episte.math.ntu.edu.tw/index.htm
中央研究院數學所及台大數學系的合作成果，
媲美香港學生開發的「數學資料庫」。

我的閱讀手記

評分以☆☆☆為中等，最少為1☆，最多為5☆。

• J. L. Lagrange, "Lectures on elementary mathematics (1901)"

網上閱讀：http://www.archive.org/stream/lectureselementa00lagriala#page/n7/mode/2up
正在閱讀中...稍後再寫書評
程度：☆☆☆
趣味性：☆☆
可讀性：☆☆
學術地位：☆☆☆☆
新老師必讀：☆☆☆
隨便問下你：如何判斷7的倍數？

• George Pólya, "How to Solve It"

中譯本：G．波利亞，《怎樣解題》
書介(中文)：http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/25.jsp?page=3&id=25
維基簡介(英文)http://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It
我所持的是九章的版本，不過事後也在維基也找到相關重點。
有段日子，我嘗試在課堂鍛鍊某幾個題問技巧，發現相當有用。
至少對自己協助學生審題也頗有幫助。
程度：☆☆☆
趣味性：☆☆
可讀性：☆☆☆
學術地位：☆☆☆☆
新老師必讀：☆☆☆☆☆
隨便問下你：

• 曹亮吉著，《阿草的數學聖杯：探尋無所不在的胚騰》

天下文化(2003)
http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/39.jsp?page=4&id=39
在大三的時候，受到家鳴教授的推薦而買的，
是其中一本令我喜歡阿草及天下文化的出品。
程度：☆☆
趣味性：☆☆☆☆
可讀性：☆☆☆☆
學術地位：☆☆☆
新老師必讀：☆☆☆☆
隨便問下你：彈琴時兩音合奏，為何有時悅耳，有時卻格格不入？

• 曹亮吉著，《阿草的歷史故事》

天下文化(2002)
http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/40.jsp?page=5&id=40
趁太太做facial而留在書局看的，
因本身的數學內容在其他地方也讀過，
只用上個半小時便看畢，但過程相當愉快。
程度：☆☆☆
趣味性：☆☆☆☆
可讀性：☆☆☆
學術地位：☆☆☆
新老師必讀：☆☆☆
隨便問下你：為何每年的復活節不在同一天？閏年及閏月等是如何安排的？

• C. Adams，J. Hass，A. Thompson, "How to Ace Calculus: the Streetwise Guide"

中譯本：師明睿譯，微積分之屠龍寶刀：笑傲極限、連續、導數、積分法
天下文化(2003)
書介(中文)：http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010214057
當年去台北影結婚相時經 www.books.com.tw 訂的，
連《微積分之倚天寶劍》共一書兩冊（價錢比香港書展價還理想），作者的文筆有別一般寫大眾數學書的人，市井之餘不失數學的味道，好適合作為初接觸（亦只限第一次）微分Differentiation的高中生（甚至自修生）。
程度：☆☆☆
趣味性：☆☆☆
可讀性：☆☆☆☆☆
學術地位：☆☆
新老師必讀：☆☆☆☆
隨便問下你：在大學選修數學，怎樣選你的任教老師？

• C. Adams，J. Hass，A. Thompson, "How to Ace the rest of Calculus: the Streetwise Guide"

中譯本：師明睿譯，微積分之倚天寶劍－打遍泰勒級數、多重積分、偏導數、向量微積分
天下文化(2003)
書介(中文)：http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010218232
這書是《微積分之屠龍寶刀》的續集，
內容問於大一下學期及大二上學期微積分的課題：
數（序）列與級數、收斂、極座標、向量、偏導數，及多重積分。
正因如此，對讀了好些微積分的朋友（尤其是non-major Maths的本科生），這本書的內容能令你重燃愛火，雖未必令你更上一層樓，但跟上冊都是很好的備課教材，對數學教育工作者，作者作了一個很好的示範，數學是可以包裝成為濃郁肉湯。[G. Pólya, Ten Commandments for teachers, J. Educ. Fac. & College of UBC. 3(1959), 61-69]
程度：☆☆☆☆
趣味性：☆☆
可讀性：☆☆☆☆
學術地位：☆☆
新老師必讀：☆☆☆☆
隨便問下你：在大學選修數學，期末考會考些什麼？

• 翁秉仁著，《沒有王者之路：幾何原本》

大塊文化
書介(中文)：http://classicsnow.net/events/n14_n19/n18.html
書名前半句來自所有數學人耳熟能詳的典故：

歐幾里德是古希臘的著名數學家，他編寫了幾何學中很重要的一本著作，書名「幾何原本」。當時的國王托勒密，也經常向他請教數學問題。有一次，國王做一道幾何證明題，接連幾天都沒有做出來，就問歐幾里得，能不能把幾何證明弄得簡單一點。歐幾里得認為國王想投機取巧，於是不客氣的回答說：「陛下，幾何學裡沒有王者之路。」這句話的意思是說，即使你貴為國王，你要學數學，還是得按部就班地來，沒有偷懶方法或是捷徑。

記得我大二已經買了九章出版社的《幾何原本》，
影畢業相也拿它作為手上的道具，話雖如此，
但畢竟自己未有耐性把它完整的讀完，
「知識上知道」它只利用幾條公理，
就能夠推導出好多好多的新定理，
直至有次接觸這書，那時我剛好重新摸熟規尺作圖的各種技巧，
上了年紀，多了些圖畫的表達，
令我較易重新了解《幾何原本》的寫作過程，
即使只是蜻蜓點水的示範，已令我感受到《幾何原本》的威力，
令我重拾動力去再了解好些新但學校不會教的幾何定理，
同時整理自己過往幾何課的教學手法，
無論是老師或學生及大眾都值得接觸的科普讀物。
程度：☆☆
趣味性：☆☆☆☆
可讀性：☆☆☆☆☆
學術地位：☆☆
新老師必讀：☆☆☆

• Euclid, "Elements"

中譯本：藍紀正、朱恩寬譯，《歐幾里得幾何原本》，九章出版社，台灣，1992。
網上閱讀（中譯本卷一）：http://www.archive.org/stream/06057513.cn#page/n8/mode/2up
書介(中文)：http://classicsnow.net/events/n14_n19/n18.html
《幾何原本》對數學發展的影響超過任何別的書，它最初是手抄本，以後譯成各種文字，
發行量僅次於《聖經》。中譯本是1607年義大利傳教士利瑪竇和徐光啟，
根據德國人克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾裡得原本》（15卷）合譯的，
定名《幾何原本》，幾何的中文名稱就是由此而得來的。
他們翻譯了前6卷，後9卷由英國人偉烈亞力和中國科學家李善蘭在1857年譯出。
理論上，今日大多數的數學教科書的內容以至演譯手法都依據該書。
不過，該書最初中譯本缺乏圖畫，我也是看九章的中譯本，
輔以英文原版作參詳，但數裡天地網站有很清晰方便的記錄。
參考：《幾何原本》內容簡介
延伸閱讀：康明昌，《「幾何原本」四百年》。數學傳播32卷4期, pp. 16-29。
程度：☆☆☆☆
趣味性：☆☆
可讀性：☆☆☆
學術地位：☆☆☆☆☆
新老師必讀：☆☆

排列與組合中的分類法（加法法則）

「排列與組合（Permutation & Combination）」乃新高中數學科新加的課題，網上教材可謂多不勝數，但也有些共通的注意事項。本文希望留下參考資料，讓包括自己在內的教育同工或莘莘學子作預習及溫故知新。

首先，在數學化（Mathematising）的過程中，鼓勵教師依據學生的「經驗」選用相關事例。

例題：

某調查中訪問了 200 人，他們均擁有數碼相機或電子手帳。若有 168 人擁有數碼相機， 97 人擁有電子手帳，該調查有多少名受訪者既擁有數碼相機又擁有電子手帳？

A survey was conducted and 200 people who had digital cameras or PDAs were interviewed. If 168 of them had digital cameras and 97 of them had PDAs, how many interviewees in the survey had both digital cameras and PDAs?

猶記得向學生展示題目，只有少數人很快指出答案，多數同學卻無從入手……我在想，今時今日的電子手帳會否也有攝影功能？雖則今日的學生大多有手機；而且選取的數字也稍為大了些。於是，我改用了以下校園味較重的例子：

中五ｘ班38名學生均有學習小提琴或結他，若有25人學習小提琴，22人學習結他，問中五丁班有多少名學生同時學習小提琴及結他？

All 32 students in S.5A played either violin or guitar. If 25 of them play violin and 15 of them play guitar, how many students play both violin and guitar?

首先，我任教的該班的確有38人，雖不知他們是否喜歡小提琴或結他，但感覺會較埋身而不至於脫離群眾。然後就是拿出耐心和誠意，把他們的方法加以引導和整理，最後畫上兩個部份重疊的圓圈（即venn diagram，不必交代太多，學生好不容易產生內在的思考）作解說，使其掌握「分類法」中涉及的「加法定律（Addition rule）」，以下附上一些簡單例子，相信即是小學生也不難掌握。

某快餐店提供 6款漢堡包和 4 款甜品，問有多少款食物可供選購？【答案：10款】

由灣仔修頓遊樂場往中環皇后像廣場可乘電車（藍線、紫線、綠線及橙線）、港鐵（港島線）、城巴（1、5、11、25、75、97），問有多少種交通工具可供選擇？【答案：10款】

整數1至30裡面，共合有多少個3或4的倍數？（提提同學，整數1至30裡面，3的倍數及4的倍數分別有10個及7個）【答案：15種】

預告：排列與組合中的分步法（乘法法則）

蕭文強：三心兩意的數學教師

前言：有次星期日準備返教會之際，看到蕭文強教授在「香港公開大學數學教師素養講座」談及數學教師的素養，也應太太的要求，終於找到這條片~


第二部份(9m16s)／第三部份(9m02s)／第四部份(9m07s)／第五部份(9m08s)／第六部份(5m35s)


裡面一句很有意思：教(teach)與學(learn)是一體兩面的。
當然，我也順道找到文字版作為存檔！歡迎轉載。

〔香港公開大學其他短片〕

求積法複習 Revision on Measuration

正在學習利用 http://docs.google.com 將教學上用開的文件、試算表等放上網，看來效果不錯（犯不著要勞煩學校 IT 組同事要定期更新科組網頁），功能上自然沒有動畫、按鈕，但勝在是免費，不用向微軟繳付高昂的版權費。

因式分解 Factorization

R：「激氣啊！批改了 n 份家課，不少學生還是把 a² - b² 寫成(a - b)²...」
S：「你能收齊家課，實屬萬幸...」
R：「......」

一般中二時教授的因式分解（Factorization），
那時只感覺把累贅冗長的多項式逐步還原，
就像把以前「多項式乘法」個答案還原一樣。

R：「到底做這類題目有什麼要注意架？」
S：「嘿嘿，等我傳授你『因式分解三大絕招』啦！」

絕招一　簡易因式分解
　　　　　　即抽負號　(當所有項都是負 / 減數)　　　　　詳見：Q2,
　　　　　　　　數字　(即是最大公因數)　　　　　　　　詳見：Q1, 4
　　　　　　　　字母　(即是公因式，留心其指數)　　　　詳見：Q3, 4
　　　　　　　　括號　(括號是提示，不要立刻拆)　　　　詳見：Q5

絕招二　併項法　　　　(首先要做好配對，小心抽負步驟)　詳見：Q6,7

絕招三　利用恆等式　　(先做降冪序！頭尾都是括號完全平方) 　詳見：Q8,9.10

R：「抽負號...抽數字...抽字母...好複雜哩~」
S：「行動最實際，或許你試做下面的習題啦~」
R：「......好啦」

程度一（限時：20分鐘）
1.　6 + 15a
2.　-20w - 10
3.　m + 8m²
4.　8b²c + 16ab - 32ab²
5.　6d(e+f) - 3d(e+f)² + 9d²(e+f)
6.　2a + ac + 2b + bc （網上練習）
7.　2a³ - 3b²c + 2ab² - 3a²c
8.　1 - 4y²
9.　x² + 12xy + 36y²
10.　36m² - 60mn + 25n² 提示：36m² = (___)² / 25n² = (___)²

程度二（限時：10分鐘）
11.　2s² - 50t²
12.　16y² - 4 z²
13.　1 - (a-b)²
14.　(x-2y)²-(2x-2y)²
15.　(x²+2x+1)+xy+y

R：「利用恒等式...如果我班化骨龍肯背熟果三條恒等方式就好啦」
S：「且慢...如果見到像上面Q9, Q10的情況，看看下面的做法是否有用」

x² + 12xy + 36y²
= x² + 6xy + 6xy + 36y²
= x(x + 6y) + 6y(x + 6y)
=______

36m² - 60mn + 25n²
= 36m² - 30mn - 30mn + 25n²
= 6m(6m - 5n) - 5n(6m - 5n)
=______

R：「哦.....用併項法！好犀利啊 Orz」
(趁 R 想得入神，S 於是匆忙行開了)

學數心得（2010 年簡易版）

今個學年太忙了，「學數心得」系列暫時擱置。
（其實係我沒向學生要求去寫）

不過也從自己的資料庫中，找回一個很久寫落的簡易版。
（下面是大綱，不失為數學同工在開課日使用）

橙汁的故事

(那是半年多前的一則小事了...)

有次約母親食飯，餐飲點了杯橙汁。
橙汁來了，忘了對話如何引發，
母親除不自覺應用了「均衡橫切面」的特性，
但最後竟啟發我有以下的「守衡」發現。