2012/01/30

[問題] Why $101| 100^{2N} - 1$,$N\in\mathbb{Z^{+}}$?

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Why [100^2N - 1] (where N is positive integer) is divisible by 101?
這裡示範「一題多解」技巧

數學歸納法 Mathematics Induction

當 $n=1,2$,命題成立。考慮 $n=k-1,k$,$k\in\mathbb{Z^{+}}$
則 $100^{2k} - 1=101D$,$D\in\mathbb{Z}$
及 $100^{2(k-1)} - 1=101E$,$E\in\mathbb{Z}$

由於
$100^{2(k+1)} - 1$
$=(100^{2k} - 1)(100^{2} + 1) -100^{2k}+ 100^{2}$
$=10001(101D)-100^{2}(100^{2(k-1)}-1)$
$=10001(101D)-10000(101E)$
$=101(10001D-10000E)$
$=101F$,$F=10001D-10000E\in\mathbb{Z}$
(證畢)

二項式定理 Binomial Theorem

考慮 $100=101-1$
所以,
$100^{2N} - 1$
$=(101-1)^{2N} - 1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}+(-1)^{2N}-1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}$
$=101[101^{2N-1}+\binom{2N}{1}101^{2N-2}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}(-1)^{2N-1}]$
(證畢)

和差公式 Summation of Difference

$100^{2N}-1$
$=10000^{N}-1$
$=(10000^{N}-10000^{N-1})+(10000^{N-1}-10000^{N-2})+...+(10000^{1}-1)$
$=\sum (10000^{n}-10000^{n-1})$
$=\sum [10000^{n-1}(10000-1)]$
$=9999\sum 10000^{n-1}$
$=101(99\sum 10000^{n-1})$
(證畢)

其實,數學老師會否接受學生這樣解釋:
這個數的數值必定由 4 的倍數的 9 所組成(例如 9999、99999999、999999999999、...),因此必定是 9999 的倍數(即 $101\times99$ 的倍數)。

[挑戰]還有其他方法嗎?有沒有無言證明(proof without word)?

2012/01/24

數字人生 Diary of Numbers

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孩子出世了,相片是太太小妹加工後的傑作。




「填滿一生,全是數字。誰會真正知是何用意?」---林子祥【數字人生】

趁機考考大家的「數字感(number)」,
幾年前曾以此作為假期家課,
著學生做數字札記,記錄一段時間所接觸的數字。
下列的數字關於孩子出世 2 週後的點滴,
大家猜猜是什麼意思?

0115, K9S, 26B,
0117, K9N, 6A, 55, 100/150,
1740, 1804, 3.35, 9(1)10(5)(10), 1813, 38w3d,
K6S, B5, 111005A, 350+,
S5, -9.1%, 326, K10S, 23A, R10L5R8L5R3
263, 311, 24A, -5.8%, 231,
R15L12R8, 8-10, >10, 3.38, 37cm, 183,
480904337, 3.61, 131


2012/01/15

組合問題 Combination

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若 $a+b+c=10$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為正整數,求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$, $b$ and $c$ if $a+b+c=10$.

[挑戰]
若 $a+b+c=N>3$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為正整數,求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$ and $b$ if $a+b+c=N$ where $N>3$.

[再挑戰]
若 $a+b+c=10$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為非負整數,求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$, $b$ and $c$ if $a+b+c=10$.

上述問題,除了答案,且看如何用圖像解釋說明。一週後開估~

2012/01/14

$LaTeX$ + Blogspot

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記得開這個部落,曾為如何撰寫數學符號相當頭痛。
授課員John曾推薦在下轉用Wordpress,
其實我在 wordpress 也開了地盤,不過我仍偏好用blogspot(情意結?)。
熱愛數學的 Bloggers 有福了,因為這裡可打數學符號。
今次我嘗試介紹好些級數和公式的證明。

首先是有關正整數和($\sum \displaystyle n$,即 $1+2+3+...+(n-1)+n=?$)的證明,
且看以下動畫:

[來源]

接著是正整數平方和的證明。
(方法一,那是我在中學時用的另一證明)
由於,
$(n+1)^{3}\equiv n^{3}+3n^{2}+3n+1$
$3n^{2}+3n+1=(n+1)^{3}-n^{3}$

所以,
$3\sum n^{2}+3\sum n+\sum 1$
$=\sum (n+1)^{3}-\sum n^{3}$
$=(2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+\dots+(n+1)^{3})-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\dots+n^{3})$
$=(n+1)^{3}-1$    (為什麼?)
$=n^{3}+3n^{2}+3n$
$=n(n^{2}+3n+3)$

$\therefore 3\sum n^{2}+3\times\frac{\textstyle n(n+1)}{\textstyle 2}+ n=n(n^{2}+3n+3)$    ($\because \sum n=\frac{\textstyle n(n+1)}{\textstyle 2}$)

利用主項變換,
$\sum n^{2}$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n^{2}+3n+3)- n-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n^{2}+3n+2)-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n+1)(n+2)-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)[\frac{\textstyle 2n+4}{\textstyle 2}-\frac{\textstyle 3}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 6}n(n+1)(2n+1)$    (證畢)

(方法二,是近日在教育局工作坊看到的)
$\sum n^{2}+\sum n$
$=\sum n(n+1)$
$=\sum [\frac{\textstyle n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{\textstyle 3}]$ ($\because\frac{\textstyle A(n+2)-A(n-1)}{\textstyle 3}=A$)
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[\sum n(n+1)(n+2)-\sum (n-1)n(n+1)]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)$

所以,
$\sum \displaystyle n^{2}$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)-\sum n$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)-\frac{1}{2}n(n+1)$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 6}n(n+1)(2n+1)$    (證畢)


個人覺得,方法一略欠美感,
但卻還可以推廣到立方和及其他級數和的公式。
在此留給各位同學作練習啦。
(提示:考慮 $(n+1)^{4}\equiv n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1$)



如何在 Blogspot 輸入數學符號?
================
步驟(1):[版面配置] > [新增小工具] > [HTML/Javascript]
步驟(2):漏空標題,內容則貼上以下訊息,完成後按「儲存」

<script src="http://www.watchmath.com/cgi-bin/mathtex3.js" type="text/javascript"></script> <script type="text/javascript"> replaceMath( document.body );</script>
步驟(3):每次撰文,用以下符號
$\LaTeX\$

延伸閱讀:數學排版大家來學 $LaTeX$$LaTeX$ 符號一覽(pdf)

2012/01/13

數學常用辭彙 Glossary of Maths terms

早於2007年,教育局己做了這個數學科常用英漢辭彙
若字典裡找不到令你滿意的翻譯,不妨在本網誌輸入「Ctrl + F」以搜尋相關詞彙。


abbreviation 簡寫符號,簡寫
abscissa 橫坐標
absolute complement 絕對補集
absolute error 絕對誤差
absolute inequality 絕對不等式
absolute maximum 絕對極大值
absolute minimum 絕對極小值
absolute monotonic 絕對單調
absolute value 絕對值
accumulation 累積
accumulative 累積的
accuracy 準確度
acute angle 銳角
acute triangle 銳角三角形
add 加
addition 加法
addition formula 加法公式
addition law 加法定律
additive inverse 加法逆元,加法反元
adjacent angle 鄰角
adjacent side 鄰邊
adjoint matrix 伴隨矩陣
algebra 代數(學)
algebraic 代數的
algebraic equation 代數方程(式)
algebraic expression 代數式
algebraic fraction 代數分式,代數分數式
algebraic inequality 代數不等式
algebraic number 代數數
algebraic operation 代數運算
algebraically closed 代數封閉
algorithm 算法,規則系統
alternate angle (交)錯角
alternate segment 內錯弓形,交錯弓形
alternating series 交錯級數
alternative hypothesis 擇一假設,備擇假設,另一假設
alternate exterior angle 外錯角
alternate interior angle 內錯角
altitude 高(度),頂垂線,高線
ambiguous case 二義情況
amplitude (1) 幅度;(2) 輻角;(3) 振幅
analysis 分析,解析
analytic geometry 解析幾何
angle 角
angle at the centre 圓心角
angle at the circumference 圓周角
angle between a line and a plane 直線與平面的交角
angle between two planes 兩平面的交角
angle bisection 角平分
angle bisector 角平分線,分角線
angle of depression 俯角
angle of elevation 仰角
angle of greatest slope 最大斜率的角
angle of inclination 傾斜角
angle of intersection 相交角,交角
angle of projection 投射角
angle of rotation 旋轉角
angle sum of a triangle 三角形內角和
angles at a point 同頂角
angles in the alternate segment 內錯弓形的圓周角,交錯弓形的圓周角
angles in the same segment 同一弓形的圓周角
angular 角度的,角的
angular bisector 角平分線,分角線
anticlockwise direction 逆時針方向,反時針方向
anti-cosecant 反餘割
anti-cosine 反餘弦
anti-cotangent 反餘切
antiderivative 反導數,逆導數,反微商,逆微商
antilogarithm 逆對數,反對數
anti-secant 反正割
anti-sine 反正弦
anti-symmetric 反對稱
anti-tangent 反正切
apex 頂點
approach 接近,趨近
approximate value 近似值
approximation 近似,略計,逼近
Arabic numerals 阿拉伯數字,阿剌伯數字,阿拉伯數碼,阿剌伯數碼
Arabic system of notation 阿拉伯數字系統,阿剌伯數字系統
arbitrary 任意
arbitrary constant 任意常數
arc 弧
arc cosecant 反餘割
arc cosine 反餘弦
arc cotangent 反餘切
arc length 弧長
arc secant 反正割
arc sine 反正弦
arc tangent 反正切
Archimedean Solid 阿基米德(立)體
area 面積
Argand diagram 阿根圖,阿氏圖
argument (1)論證;(2) 輻角
argument of a complex number 複數的輻角
argument of a function 函數的自變數
arithmetic 算術
arithmetic mean (1)算術平均數;(2)等差中項,算術中項
arithmetic progression (1)等差數列,算術數列;(2)等差級數,算術級數
arithmetic sequence 等差數列,算術數列
arithmetic series 等差級數,算術級數
array 陣列,數組
ascending order 遞升序
ascending powers of x x 的升冪
assertion 斷言,斷定
associative law 結合律
assumption 假定,假設
asymmetrical 非對稱
asymptote 漸近線
asymptotic error constant 漸近誤差常數
augmented matrix 增廣矩陣
auxiliary angle 輔助角
auxiliary circle 輔助圓
auxiliary equation 輔助方程(式)
average 平均,平均數,平均值
average speed 平均速率
axiom 公理,公設
axis 軸
axis of reflectional symmetry 反射對稱軸
axis of reflective symmetry 反射對稱軸
axis of revolution 旋轉軸
axis of rotation 旋轉軸
axis of rotational symmetry 旋轉對稱軸
axis of symmetry 對稱軸

back substitution 回代
bar chart 棒形圖,長條圖
base (1) 底;(2) 基,基數
base angle 底角
base area 底面積
base line 底線
base number 底數,基數
base of a logarithm 對數的底
basis 基,基底
Bayes theorem, Bayes’ theorem 貝葉斯定理
bearing 方位,方向
bell-shaped curve 鐘形圖
Bernoulli distribution 伯努利分佈,伯努利分布
Bernoulli trials 伯努利試驗
bias 偏差,偏倚
biconditional 雙條件式,雙條件句
bijection 一一映射,雙射,對射
bijective function 雙射函數,對射函數
bimodal distribution 雙峰分佈,雙峰分布
binary number 二進制數,二進位數
binary operation 二元運算
binomial 二項式
binomial distribution 二項分佈,二項分布
binomial expression 二項式
binomial series 二項級數
binomial theorem 二項式定理
bisect 平分,等分
bisector 等分線,平分線
Boolean algebra 布爾代數
boundary condition 邊界條件
boundary line 界(線),邊界
bounded 有界(的)
bounded above 有上界(的),上有界(的)
bounded below 有下界(的),下有界(的)
bounded function 有界函數
bounded sequence 有界數列,有界序列
box plot 箱形圖,框線圖
box-and-whisker diagram 箱形圖,框線圖
breadth 闊(度),寬(度)
broken line graph 折線圖

calculate 計算
calculator 計算機,計算器
calculus (1) 微積分(學);(2) 演算
cancel (1)消去;(2)約
cancellation law 消去律
canonical 典型,標準
capacity 容量
Cartesian coordinates 笛卡兒坐標
Cartesian equation 笛卡兒方程(式)
Cartesian product 笛卡兒積
categorical data 分類數據
category 類型,範疇
catenary 懸鏈線
Cauchy sequence 柯西序列
Cauchy’s principal value 柯西主值
Cauchy-Schwarz inequality 柯西-許瓦爾茲不等式
ceiling function 上取整函數
centimetre (cm) 厘米,公分
central limit theorem 中心極限定理
central line 中線
central tendency 集中趨勢
centre 中心,心
centre of a circle 圓心
centre of gravity 重心
centre of mass 質量中心
centroid 形心,距心
certain event 必然事件
Ceva Theorem, Ceva's Theorem 塞瓦定理
chain rule 鏈式法則
chance 機會
change of axes 坐標軸的變換
change of base 基變換
change of subject 主項變換
change of variable 變量變換,換元
characteristic equation 特徵方程(式)
characteristic function 特徵函數
characteristic of logarithm 對數的首數,對數的定位部
characteristic root 特徵根
chart 圖,圖表
check digit 校驗位
checking computations 驗算
chord 弦
chord at contact 切點弦
circle 圓
circular 圓形,圓的
circular function 圓函數,三角函數
circular measure 弧度法
circular permutation 環形排列,圓形排列,循環排列
circumcentre 外心,外接圓心
circumcircle 外接圓
circumference 圓周
circumradius 外接圓半徑
circumscribed circle 外接圓
class (1)組;(2)類
class boundary 組界
class interval 組區間,組距
class limit 組限
class mark 組中點,組標
classical theory of probability 古典概率論
classify (1)分類;(2)分組
clinometer 測斜儀
clockwise direction 順時針方向
closed convex region 閉凸區域
closed interval 閉區間
closed sentence 閉(合)(語)句,封閉語句
coaxial 共軸
coaxial circles 共軸圓
coaxial system 共軸系
coding 編碼
co-domain 上域
coefficient 係數
coefficient of variation 變異係數,變差係數
cofactor 餘因子,餘因式
cofactor matrix 餘因子矩陣,餘因式矩陣
coincide 疊合,重合
collection of terms 併項
collinear 共線
collinear planes 共線面
column 列
column matrix 列矩陣
column vector 列向量,列矢量
combination 組合
common chord 公弦
common denominator 同分母,公分母
common difference 公差
common divisor 公約(數)
common factor 公因數,公因子
common logarithm 常用對數
common multiple 公倍(數)
common ratio 公比
common tangent 公切線
commutative 交換的
commutative law 交換律
commutative property 交換性(質)
comparable 可比較(的)
compass (1)圓規;(2)指南針,羅盤
compasses 圓規
compatible 相容(的)
complement (1)餘,補,補餘;(2)餘集,補集
complementary angle 餘角
complementary equation 補餘方程(式)
complementary event 互補事件
complementary events 對立事件
complementary function 餘函數
complementary law 互餘律,互補律,補餘律
complementary set 餘集,補集
completing the square 配方
complex conjugate 複共軛(的)
complex fraction 繁分數
complex number 複數
complex number plane 複數平面
complex root 複數根
component 分量
composite function 複合函數,合成函數
composite mapping 複合映射,合成映射
composite number (複)合數,合成數
composition of functions 函數的複合,函數的合成
composition of mappings 映射的複合,映射的合成
compound angle 複角
compound angle formula 複角公式
compound bar chart 複合棒形圖
compound statement 複合命題,複合敍述
computation 計算
computer 電腦,電子計算機
concave 凹
concave downward 凹向下的
concave upward 凹向上的
concentric circles 同心圓
concept 概念
conclusion 結論
concurrent 共點
concyclic points 共圓點
condition 條件
conditional 條件句,條件式
conditional identity 條件恆等式
conditional inequality 條件不等式
conditional probability 條件概率
cone 錐,圓錐(體)
confidence coefficient 置信係數
confidence interval 置信區間
confidence level 置信水平
confidence limit 置信極限
confocal section 共焦圓錐曲線
congruence (1)全等;(2)同餘
congruence class 同餘類
congruent triangles 全等三角形
conic 二次曲線,圓錐曲線
conic section 二次曲線,圓錐曲線
conical pendulum 圓錐擺
conjecture 猜想
conjugate 共軛
conjugate axis 共軛軸
conjugate complex number 共軛複數
conjugate diameter 共軛(直)徑
conjugate hyperbola 共軛雙曲線
conjugate imaginary number 共軛虛數
conjugate radical 共軛根式
conjugate surd 共軛根式,共軛不盡根
conjunction 合取
connective 連詞
consecutive integers 連續整數
consecutive numbers 連續數,相鄰數
consequence 結論,推論
consequent 條件,後項
consistency condition 相容條件
consistent 一致的,一貫的,相容的
consistent estimator 相容估計量
constant 常數
constant of integration 積分常數
constraint 約束,約束條件
construction 作圖
construction of equation 方程(式)的設立
continued proportion 連比例
continued ratio 連比
continuity 連續性
continuity correction 連續校正
continuous 連續的
continuous data 連續數據
continuous function 連續函數
continuous random variable 連續隨機變量
contraction 收縮,短縮,縮小
contradiction 矛盾
contrapositive 逆反命題
converge 收斂
convergence 收斂性
convergent 收斂的
convergent iteration 收斂的迭代
convergent sequence 收斂序列
convergent series 收斂級數
converse 逆(定理)
converse of a relation 逆關係
converse theorem 逆定理
conversion 轉換
convex 凸
convex polygon 凸多邊形
convexity 凸性
coordinate 坐標
coordinate geometry 解析幾何,坐標幾何
coordinate system 坐標系
coplanar 共面
coplanar lines 共面線
co-prime 互質,互素
corollary 系定理,系,推論
correct to 準確至,取值至
correlation 相關
correlation coefficient 相關係數
corresponding angles (1)同位角;(2)對應角
corresponding element 對應元
corresponding sides 對應邊
cosecant 餘割
cosine 餘弦
cosine formula 餘弦公式
cotangent 餘切
countable 可數(的)
countable set 可數集
countably infinite 可數無限
counter clockwise direction 逆時針方向,反時針方向
counter example 反例
counting 數數,計數
Cramer’s rule 克萊瑪法則
critical point 臨界點
critical region 臨界域
critical value 臨界值
cross product 叉積,向量積,矢量積
cross-method 十字相乘法
cross-multiplication 交叉相乘
cross-section 橫切面,橫截面,截痕
cryptography 密碼學
cube 正方體,立方,立方體
cube root 立方根
cubic 三次方,立方,三次(的)
cubic equation 三次方程(式)
cubic roots of unity 單位的立方根
cuboid 長方體,矩體
cumulative 累積的
cumulative distribution function 累積分佈函數,累積分布函數
cumulative error 累積誤差
cumulative frequency 累積頻數,累積頻率
cumulative frequency curve 累積頻數曲線
cumulative frequency distribution 累積頻數分佈,累積頻數分布
cumulative frequency polygon 累積頻數多邊形,累積頻率直方圖
curvature of a curve 曲線的曲率
curve 曲線
curve sketching 曲線描繪(法)
curve tracing 曲線描跡(法)
curved surface 曲面
curved surface area 曲面面積
cyclic expression 輪換式
cyclic permutation 圓形排列
cyclic quadrilateral 圓內接四邊形
cycloid 旋輪線,擺線
cylinder 柱(體),圓柱(體)
cylindrical 圓柱形的

datum﹝data﹞ 數據
De Moivre’s theorem 棣美弗定理
De Morgan’s law 德摩根律
decagon 十邊形
decile 十分位數
decimal 小數
decimal part 小數部分
decimal place 小數位
decimal point 小數點
decoding 譯碼
decrease 遞減
decreasing function 遞減函數,下降函數
decreasing sequence 遞減序列,下降序列,遞減數列,下降數列
decreasing series 遞減級數,下降級數
decrement 減量
deduce 演繹
deduction 推論
deductive reasoning 演繹推理
definite 確定的,定的
definite integral 定積分
definition 定義
degenerated conic section 降級圓錐曲線
degree (1) 度;(2) 次
degree of a polynomial 多項式的次數
degree of accuracy 準確度
degree of confidence 置信度
degree of freedom 自由度
degree of ordinary differential equation 常微分方程(式)次數
degree of precision 精確度
denary number 十進數
denominator 分母
dependence (1)相關;(2)應變
dependent event 相關事件,相依事件,從屬事件
dependent variable 應變量,應變數
derivable 可導
derivative 導數,微商
derived curve 導函數曲線
derived function 導函數
derived statistics 推算統計資料,派生統計資料
descending order 遞降序
descending powers of x x 的降冪
descriptive statistics 描述(性)統計(學)
detached coefficients 分離係數(法)
determinant 行列式
deviation 偏差,變差
deviation from the mean 離均差
diagonal 對角線
diagonal matrix 對角矩陣
diagram 圖,圖表
diameter 直徑
diameter of a conic 二次曲線的直徑
difference 差
difference equation 差分方程(式)
difference of sets 差集
differentiable 可微
differential 微分
differential coefficient 微商,微分係數
differential equation 微分方程(式)
differential mean value theorem 微分中值定理
differentiate 求… … 的導數
differentiate from first principle 從基本原理求導數
differentiation 微分法
digit 數字
dilation 伸縮,擴大
dimension (1)維(數),度;(2)大小,尺寸;(3)因次,量網
direct proportion 正比(例)
direct variation 正變(分)
directed angle 有向角
directed line 有向(直)線
directed line segment 有向線段
directed number 有向數
direction 方向,方位
direction angle 方向角
direction cosine 方向餘弦
direction number 方向數
direction ratio 方向比
directrix 準線
Dirichlet function 狄利克雷函數
disc method 圓盤法
discontinuity 不連續性
discontinuous 間斷(的),非連續(的),不連續(的)
discontinuous point 不連續點
discrete 離散(的)
discrete data 離散數據
discrete probability distribution 離散概率分佈,離散概率分布
discrete random variable 離散隨機變量,離散隨機變數
discrete uniform distribution 離散均勻分佈,離散均勻分布
discriminant 判別式
disjoint 不相交的
disjoint sets 不相交的集
disjunction 析取
dispersion 離差
displacement 位移
disprove 反證
distance 距離
distance formula 距離公式
distinct roots 相異根
distinct solution 相異解
distribution 分佈,分布
distributive law 分配律
diverge 發散
divergence 發散(性)
divergent 發散的
divergent iteration 發散性迭代
divergent sequence 發散序列
divergent series 發散級數
divide 除
dividend (1) 被除數,被除式;(2) 股息
divisible 可整除
division 除法
division algorithm 除法算式
divisor 除數,除式,因子
divisor of zero 零因子
dodecagon 十二邊形
dodecahedron 十二面體
domain 定義域
dot 點
dot product 點積
double angle 二倍角
double angle formula 二倍角公式
double root 二重根
dual 對偶(的)
duality 對偶性
dummy variable 啞變量,假變量

eccentric angle 離心角
eccentric circles 離心圓
eccentricity 離心率
echelon form 梯陣式
echelon matrix 梯矩陣
edge 稜,棱,邊
efficient estimator 有效估計量
eigenvalue 本徵值
eigenvector 本徵向量
element 元(素)
elementary event 基本事件
elementary function 初等函數
elementary row operation 基本行運算
elimination (1)消去;(2)消元法
ellipse 橢圓
ellipsoid 橢球體
empirical data 經驗數據,實驗數據
empirical formula 經驗公式,實驗公式
empirical probability 經驗概率,實驗概率
empty set 空集
enclosure 界限
encoding 編碼
end point, endpoint 端點
entire surd 整方根
epicycloid 外擺線
equal 相等(的),等於
equal roots 等根
equal sets 等集
equality 等(式)
equality sign 等號
equally likely event 等可能事件
equation 方程(式)
equation of a straight line 直線方程(式)
equation of locus 軌跡方程(式)
equiangular 等角(的)
equidistant 等距(的)
equilateral 等邊(的)
equilateral triangle 等邊三角形
equiprobable 等概率的
equiprobable space 等概率空間
equivalent 等價(的)
error 誤差
error estimate 誤差估計
error term 誤差項
estimate 估計,估計量
estimator 估計量
Euclidean algorithm 歐幾里得算法
Euclidean geometry 歐幾里得幾何
Euler’s formula 歐拉公式,尤拉公式
evaluate 計值
even function 偶函數
even number 偶數,雙數
evenly distributed 均勻分佈的,均勻分布的
event 事件
exact differential form 恰當微分形式
exact solution 準確解,精確解,真確解
exact value 準確值,精確值,真確值
exclusive 不包含
exclusive disjunction 不包含性析取
exclusive events 互斥事件
exhaustive event 窮舉事件
existential quantifier 存在量詞
expand 展開
expansion 展式
expectation 期望
expectation value, expected value 期望值,預期值
experimental design 試驗設計,實驗設計
explicit function 顯函數
exponent 指數
exponential function 指數函數
exponential order 指數階,指數級
express ... in terms of... 以… … 表達
expression 式,數式
extension 外延,延長,擴張,擴充
extension of a function 函數的擴張
exterior angle 外角
external bisector 外(平)分角線,外(角)平分線
external division 外分
external point of division 外分點
extreme point 極值點
extreme value 極值
extremum 極值

face 面
factor 因式,因子,因數
factor theorem 因式定理,因子定理
factorial 階乘
factorization 因式分解,因子分解,因數分解
factorization of polynomial 多項式因式分解,多項式因子分解
fallacy 謬誤
false 假(的)
falsehood 假值
family 族
family of circles 圓族
family of concentric circles 同心圓族
family of straight lines 直線族
feasible solution 可行解,容許解
Fibonacci number 斐波那契數,黃金分割數
Fibonacci sequence 斐波那契數列,斐波那契序列
figure (1) 圖(形); (2)數字;(3)(數)位
finite 有限(的),有窮(的)
finite population 有限總體
finite probability space 有限概率空間
finite sequence 有限數列,有限序列
finite series 有限級數
finite set 有限集
first approximation 首近似值
first derivative 一階導數
first order differential equation 一階微分方程(式)
first quadrant 第一象限
first quartile 第一四分位數
first term 首項
fixed point 不動點,(固)定點
fixed point iteration method 定點迭代法
floor function 下取整函數
focal axis 焦軸
focal chord 焦弦
focal length 焦距
focus ﹝foci﹞ 焦點
folium of Descartes 笛卡兒葉形線
foot of perpendicular 垂足
for all x 對所有 x
for any x 對任一 x
for each x , for every x 對每一 x
formal proof 形式證明
formula ﹝formulae﹞ 公式
four fundamental operations of arithmetic 算術(基本)四則運算
four-figure table 四位數表
fourth quadrant 第四象限
fraction 分數,分式
fraction in lowest term 最簡分數
fractional index 分數指數
fractional inequality 分式不等式
free vector 自由向量,自由矢量
frequency 頻數,頻率
frequency distribution 頻數分佈,頻數分布,頻率分佈,頻率分布
frequency polygon 頻數多邊形,頻率多邊形
frustum 平截頭體,平截頭台,平截頭墩
function 函數
function of function 函數的函數,複合函數,疊函數
functional notation 函數記號
fundamental theorem of algebra 代數基本定理
fundamental theorem of calculus 微積分基本定理

Gaussian distribution 高斯分佈,高斯分布
Gaussian elimination 高斯消去法
general form 一般式
general solution 通解,一般解
general term 通項
geoboard 幾何板
geometric distribution 幾何分佈,幾何分布
geometric mean (1)幾何平均數;(2)等比中項
geometric progression (1)等比數列,幾何數列;(2)等比級數,幾何級數
geometric sequence 等比數列,幾何數列
geometric series 等比級數,幾何級數
geometry 幾何(學)
global maximum 全局極大(值),總體極大(值),整體極大(值)
global minimum 全局極小(值),總體極小(值),整體極小(值)
golden ratio 黃金(分割)比
golden section 黃金分割
Gougu theorem 勾股定理
gradient 斜率,傾斜量
gram (g) 克
graph 圖,圖形,圖像
graph paper 圖表紙
graphical method 圖解法
graphical representation 圖示,以圖像表達
graphical solution 圖解
greatest common divisor (gcd) 最大公因數,最大公因子
greatest term 最大項
greatest value 最大值
grid lines 網格線
grouped data 分組數據,分類數據
grouping terms 併項

half angle 半角
half-angle formula 半角公式
half-closed interval 半閉區間
half-open interval 半開區間
head (錢幣的)正面
height 高(度)
helix 螺旋線
hemisphere 半球體,半球
hendecagon 十一邊形
heptadecagon 十七邊形
heptagon 七邊形
Heron formula, Heron’s formula 希羅公式,海倫公式
heterogeneous 非齊次的
hexadecimal number 十六進制數,十六進位數
hexagon 六邊形
hexahedron 六面體
higher order derivative 高階導數
highest common factor (H.C.F.) 最高公因式,最高公因子,最大公因數
Hindu-Arabic numerals 印度─阿拉伯數字,印度─阿剌伯數字,
印度─阿拉伯數碼,印度─阿剌伯數碼
histogram 組織圖,直方圖,矩形圖
homogeneous 齊次的
horizontal 水平(的)
horizontal asymptote 水平漸近線
horizontal component 水平分量
hour (h) 小時
hyperbola 雙曲線
hyperbolic function 雙曲函數
hypotenuse 斜邊
hypothesis 假設
hypothesis testing 假設檢驗

icosahedron 二十面體
identical 恆等(的)
identity (1)恆等(式);(2)單位元
identity element 單位元(素)
identity law 同一律
identity mapping 恆等映射,恆同映射
identity matrix 單位矩陣
identity relation 恆等關係(式)
if and only if (iff) 當且僅當
image (1)象;(2)像(點)
imaginary axis 虛軸
imaginary circle 虛圓
imaginary number 虛數
imaginary part 虛部
imaginary root 虛根
imaginary unit 虛數單位
implication 蘊涵(式),蘊含(式)
implicit definition 隱定義
implicit function 隱函數
imply 蘊涵,蘊含
impossible event 不可能事件
improper fraction 假分數
incentre 內心
incircle 內切圓
inclination 傾角,斜角
inclined plane 斜面
included angle 夾角
inclusion mapping 包含映射
inclusive 包含的,可兼的
inclusive disjunction 包含性析取,可兼析取
inconsistent 不相容(的),不一致(的)
increasing function 遞增函數
increasing sequence 遞增數列,遞增序列
increasing series 遞增級數
increment 增量
indefinite integral 不定積分
indefinite integration 不定積分法
independence (1)獨立;(2)自變
independent equations 獨立方程(式)
independent events 獨立事件
independent variable 自變量,自變數,獨立變數,獨立變量
indeterminate (1) 不定的;(2) 不定元,未定元
indeterminate coefficient 不定係數,未定係數
indeterminate form 不定(形)式,未定(形)式
index﹝indices﹞ 指數,指標
induction hypothesis 歸納(法)假設
inequality (1)不等式;(2)不等
inequality sign 不等號
infer 推斷
inference 推論
inferential statistics 推論(性)統計(學)
infinite 無窮(的),無限(的)
infinite decimal 無盡小數,不盡小數,無窮小數,無限小數
infinite population 無窮總體,無限總體,無窮母體,無限母體
infinite sequence 無窮序列,無限序列,無窮數列,無限數列
infinite series 無窮級數,無限級數
infinite set 無窮集,無限集
infinitely many 無窮多,無限多
infinitesimal 無窮小(的),無限小(的)
infinity 無窮(大),無限(大)
inflection point 拐點,反曲點
inflexion point 拐點,反曲點
inherent error 固有誤差
initial approximation 初始近似值
initial condition 原始條件,初值條件
initial point 起點,始點
initial side 始邊
initial value 初值,始值
initial-value problem 初值問題
injection 單射,內射
injective function 單射函數,內射函數
inner product 內積
inscribed circle 內切圓
integer 整數
integrable 可積(的)
integrable function 可積函數
integral 積分
integral index 整數指數
integral mean value theorem 積分中值定理
integral part 整數部分
integral solution 整數解
integral value 整數值
integrand 被積函數
integrate 積,積分,求……的積分
integrating factor 積分因子
integration 積分法
integration by parts 分部積分法
integration by substitution 代換積分法,換元積分法
integration constant 積分常數
intercept (1)截距;(2)截段
intercept form 截距式
intercept theorem 截線定理
interior angle 內角
interior angles on the same side 同傍內角
interior opposite angle 內對角
intermediate value theorem 介值定理
internal bisector 內分角線,(內)角平分線
internal division 內分
internal point of division 內分點
interpolating polynomial 插值多項式
interpolation 插值(法),內插(法)
interquartile range 四分位數間距,內四分位距
intersection (1) 交集;(2) (相)交;(3) 交點
interval 區間
interval estimation 區間估計,區域估計
invalid argument 不對確論證
invariance 不變性
invariant (1) 不變的;(2) 不變量,不變式
inverse 逆(的),反(的)
inverse circular function 反圓函數,反三角函數
inverse cosecant 反餘割
inverse cosine 反餘弦
inverse cotangent 反餘切
inverse function 逆函數,反函數
inverse mapping 逆映射,反向映射
inverse matrix 逆矩陣
inverse proportion 反比(例)
inverse relation 逆關係
inverse secant 反正割
inverse sine 反正弦
inverse tangent 反正切
inverse trigonometric function 反三角函數
inverse variation 反變(分),逆變(分)
invertible 可逆的
invertible matrix 可逆矩陣
irrational number 無理數,不可比數
irregular 不規則
isosceles triangle 等腰三角形
iterate 迭代
iteration 迭代
iteration form 迭代形
iterative function 迭代函數
iterative method 迭代法

joint variation 聯變(分),連變(分)

kilogram (kg) 千克,公斤
kilometre (km) 千米,公里
kite 鳶形,鷂形

L’Hospital’s rule 洛必達法則
Lagrange interpolating polynomial 拉格朗日插值多項式
Lagrange theorem 拉格朗日定理
last term 末項
latent root 本徵根,特徵根
lattice point 格點
law of indices 指數(定)律
law of trichotomy 三分律
leading coefficient 首項係數
leading diagonal 主對角線
least common multiple (L.C.M.) 最小公倍數,最低公倍式
least value 最小值
left-hand limit 左方極限
Leibniz’s rule for differentiation 萊布尼茲法則
lemma 引理
length 長(度)
level of significance 顯著(性)水平
like surds 同類根式
like terms 同類項
limit 極限
limit of sequence 序列的極限,數列的極限
limiting case 極限情況
limiting position 極限位置
line 線
line of greatest slope 最大傾斜線,最大斜率的直線
line segment 線段
linear 線性(的),一次(的)
linear differential equation 線性微分方程(式)
linear equation 線性方程(式),一次方程(式)
linear equation in two unknowns 二元一次方程(式),二元線性方程(式)
linear inequality 一次不等式,線性不等式
linear interpolation 線性插值(法),線性內插(法)
linear programming 線性規畫
linearly dependent 線性相關(的)
linearly independent 線性無關(的)
literal coefficient 文字係數
literal equation 文字方程(式)
litre (L)(l) 升,公升
local maximum 局部極大(值)
local minimum 局部極小(值)
locus﹝loci﹞ 軌跡
logarithm 對數
logarithmic function 對數函數
logic 邏輯
long division method 長除法
lower bound 下界
lower boundary 下邊界
lower limit 下限
lower quartile 下四分位數
lower sum 下和
lower triangular matrix 下三角形矩陣
lowest common multiple (L.C.M.) 最小公倍數,最低公倍式

Maclaurin expansion, Maclaurin's expansion 麥克勞林展開式
Maclaurin series, Maclaurin's series 麥克勞林級數
magnitude (1)量;(2)數量;(3)長度;(4)大小
main diagonal 主對角線
major arc 優弧,大弧
major axis 長軸
major sector 優扇形,大扇形
major segment 優弓形,大弓形
mantissa of logarithm 對數的尾數,對數的定值部
many-sided figure 多邊形
many-to-one 多對一(的)
many-valued 多值的
map into 映入
map onto 映上
mapping 映射
mathematical analysis 數學分析
mathematical induction 數學歸納法
mathematics 數學
matrix 矩陣
matrix operation 矩陣運算
maximise 極大化
maximum point 極大點
maximum value 極大值
mean 平均數,平均值,均值
mean deviation 平均偏差
mean value theorem 中值定理
measure (1)度量;(2)測度
measurement 量度,測量
median (1) 中位數;(2) 中線
meet 相交
mensuration 測量法,求積法
method of completing the square 配方法
method of elimination (1)消元法;(2)加減(消元)法
method of interpolation 插值法,內插法
method of substitution (1)代換法,換元法,置換法;(2)代入(消元)法
method of successive substitution 逐次代換法
metre (m) 米,公尺
metric system 公制,十進制
midpoint, mid-point 中點
millilitre (mL)( ml) 毫升
millimetre (mm) 毫米
minimise 極小化
minimum point 極小點
minimum value 極小值
minor (1)子行列式;(2)劣(的),小(的)
minor arc 劣弧,小弧
minor axis 短軸
minor of a determinant 子行列式
minor sector 劣扇形,小扇形
minor segment 劣弓形,小弓形
minus 減
minute 分
mixed fraction 帶分數
mixed number 帶分數
modal class 眾數組
mode 眾數
modelling 建模
modulus 模,模數
monomial 單項式
monotone 單調(的)
monotonic convergence 單調收斂
monotonic decreasing 單調遞減(的)
monotonic function 單調函數
monotonic increasing 單調遞增(的)
multinomial 多項式
multiple (1)倍數;(2)倍式;(3)多重
multiple angle 倍角
multiple root (多)重根
multiple-angle formula 倍角公式
multiplicand 被乘數
multiplication 乘法
multiplication law 乘法定律
multiplicative inverse 乘法逆元(素),乘法反元(素)
multiplicity 重數
multiplier 乘數,乘式
multiply 乘
multi-valued 多值的
mutually disjoint 互不相交(的)
mutually exclusive events 互斥事件,不相容事件
mutually perpendicular lines 互相垂直線

n factorial n 階乘
Napierian logarithm 納皮爾對數,自然對數
natural logarithm 自然對數
natural number 自然數
necessary and sufficient condition 充要條件,必要且充分的條件
necessary condition 必要條件
negation 否定式
negative 負(的)
negative angle 負角
negative index 負指數
negative integer 負整數
negative number 負數
neighbourhood 鄰域
net (1)淨(值);(2)網(格);(3)摺紙圖樣,展開圖
Newton method, Newton’s method 牛頓方法
Newton-Raphson method 牛頓-拉弗森方法
n -gon n 邊形
nonagon 九邊形
non-collinear 不共線(的),非共線(的)
non-commutative 非交換的
non-linear 非線性(的)
non-negative 非負的
non-reflexive 非自反的
non-singular 滿秩的,非奇(異)的
non-singular matrix 滿秩矩陣,非奇異矩陣
non-transitive 非可遞的
non-trivial 非平凡的
non-zero 非零
norm (1)範(數);(2)模方
normal (1) 法線;(2)垂直的,正交的;(3) 正態的,常態的;(4) 正常的,正規的
normal curve 正態分佈曲線,正態分布曲線,常態分佈曲線,常態分布曲線,正規曲線
normal distribution 正態分佈,正態分布,常態分佈,常態分布
normal form (1)法線式;(2)範式,正規形式
normal vector 法向量,法矢量
normalise 正規化,常態化
notation 記法,記號
n th derivative n 階導數
n th root n 次根
n th root of unity 單位的 n 次根
null 零(的),空(的)
null hypothesis 原假設,零假設,虛假設
null set 空集,零集
null vector 零向量,零矢量
number 數
number line 數線
number pattern 數型
number system 數系
numeral 數字,數碼
numeral system 記數系統
numerator 分子
numerical 數值的,數字的
numerical analysis 數值分析
numerical integration 數值積分(法)
numerical method 數值方法

objective function 目標函數
oblique 斜的
oblique asymptote 斜漸近線
oblique cone 斜圓錐
oblong 長方形(的)
obtuse angle 鈍角
obtuse triangle 鈍角三角形
octagon 八邊形
octahedron 八面體
octal number 八進制數,八進位數
octant 卦限
odd function 奇函數
odd number 奇數,單數
one-one correspondence 一一對應
one-one mapping 一一映射
one-tailed test 單尾檢驗(法),單側檢驗(法)
one-to-many 一對多(的)
one-to-one 一對一(的)
only if 僅當
onto mapping 滿射
open interval 開區間
open sentence 開(放)(語)句
operation 運算
opposite angle 對角
opposite interior angle 內對角
optimal solution 最優解
order (1) 次;(2)(次)序;(3) 階,級;(4)重,折
order of a matrix 矩陣的階
ordered n -tuples 有序 n 元(組)
ordered pair 序偶,序對
ordered relation 有序關係
ordered set 有序集
ordered triples 有序三元(組)
ordinary differential equation 常微分方程(式)
ordinate 縱坐標
origin 原點
orthocentre 垂心
orthogonal 正交(的)
orthogonal circles 正交圓
orthogonal projection 正(交)投影
orthogonality 正交性
outcome 結果

pairwise disjoint 兩兩不相交(的)
pairwise mutually exclusive events 兩兩互斥事件
parabola 抛物線
paradox 悖論
parallel 平行(的)
parallel lines 平行線
parallelepiped 平行六面體
parallelogram 平行四邊形
parallelogram law of addition 平行四邊形加法
parallelogram method 平行四邊形法
parameter 參數,參變量
parametric equation 參數方程(式)
parametric form 參數式
partial fraction 部分分式,部分分數
partial sum 部分和
partial variation 部分變(分)
particular solution 特解
partition 分割,劃分
Pascal’s triangle 帕斯卡三角形,巴斯卡三角形
pattern 規律,模型
pegboard 有孔板
pencil of lines 線束
pentagon 五邊形
percent 百分率,百分數,百分比
percentage 百分法,百分數
percentage error 百分誤差
percentage point 百分(比)點
percentile 百分位數(值)
perfect number 完全數
perfect square 完全平方
perimeter 周界,周長
period 週期
periodic function 週期函數
permutation 排列
permutation with repetition 有重排列
permutation without repetition 無重排列
perpendicular (1)垂線;(2)垂直(於)
perpendicular bisector 垂直平分線,中垂線
perpendicular line 垂(直)線
pictogram 象形圖
pie chart 圓形圖,圓瓣圖
pinboard 釘板
place value 位值
plan 平面圖
plane 平面
plane figure 平面圖形
Platonic Solid 柏拉圖立體
plot 作… … (圖)
plus 加
point 點
point circle 點圓
point estimation 點估計
point of contact 切(觸)點
point of division 分點
point of inflection 拐點,反曲點
point of inflexion 拐點,反曲點
point of intersection 交點
point-slope form 點斜式
Poisson distribution 泊松分佈,泊松分布,卜瓦松分佈,卜瓦松分布
polar coordinates 極坐標
polar equation 極方程(式)
polar form 極形式
polygon 多邊形
polygon law of addition 多邊形加法
polygon method 多邊形法
polyhedron﹝polyhedra﹞ 多面體
polynomial 多項式
polynomial equation 多項式方程(式)
population 總體,母體
population mean 總體平均(值)
position vector 位置向量,位置矢量
positive 正
positive index 正指數
positive integer 正整數
positive number 正數
posterior probability 後驗概率
postulate 公設
power (1) 冪,乘方;(2) 檢定力
power function 冪函數
power series 冪級數
power set 冪集,勢集
precision 精確度
prime number 質數,素數
primitive function 原函數
principal angle 主角
principal axis 主軸
principal value 主值
principal value interval 主值區間
principle of mathematical induction 數學歸納法原理
principle of superposition 疊合原理,重疊原理
prior probability 先驗概率,事先概率
prism 稜柱(體),棱柱(體),角柱(體)
prismoid 平截頭稜錐體,平截頭棱錐體
probability 概率,或然率,機率
probability density function 概率密度函數
probability distribution 概率分佈,概率分布
probability generating function 概率母函數
problem 應用題
produce 延長
product 積,乘積
product and sum formula 和積互變公式
product rule 積法則
product sample space 積樣本空間
product set 積集
product to sum formula 積化和差公式
progression (1)數列;(2)級數
projecting lines 投影線,投映線
projecting plane 投影平面,投映平面
projection 投影,投映,射影,射映
proof 證(明)
proof by contradiction 反證法,歸謬法
proof by contrapositive 反證法
proper fraction 真分數
proper integral 正常積分
proper subset 真子集
property 性質
proportion 比例
proportional 成比例的
proposition 命題
propositional calculus 命題演算
propositional inference 命題推演
protractor 量角器
prove 證(明)
Ptolemy Theorem, Ptolemy's Theorem 托勒密定理
purely imaginary number 純虛數
pyramid 稜錐(體),棱錐(體),角錐(體)
Pythagoras’ theorem, Pythagorean theorem 畢達哥拉斯定理,畢氏定理
Pythagorean triplet 畢達哥拉斯三元數組,畢氏三元數組

quadrant 象限
quadratic equation 二次方程(式)
quadratic function 二次函數
quadratic inequality 二次不等式
quadrilateral 四邊形
quantifier 量詞
quartic equation 四次方程(式)
quartile 四分位數
quintic equation 五次方程(式)
quotient 商(式)
quotient rule 商法則

radial component 徑向分量
radian 弧度
radian measure 弧度法
radical 根,根式,根號
radical axis 根軸,等冪軸
radical centre 根心,等冪心
radius﹝radii﹞ 半徑
random 隨機(的)
random experiment 隨機試驗
random number 隨機數
random sample 隨機樣本
random variable 隨機變量
range (1)值域;(2)區域,範圍;(3)極差,分佈域,分布域
rank 秩
rate (比)率
rate of change 變(化)率
ratio 比(率)
rational expression 有理式,有理表達式
rational function 有理函數
rational index 有理(數)指數
rational number 有理數,可比數
rationalisation 有理化
raw data 原始數據
raw score 原始分(數)
real axis 實軸
real number 實數
real part 實部
real root 實根
reciprocal (1)倒數(的);(2)互反(的),互逆(的)
rectangle 矩形,長方形
rectangular coordinates 直角坐標
rectangular distribution 矩形分佈,矩形分布
rectangular formula 矩形公式
rectangular hyperbola 等軸雙曲線,直角雙曲線
rectangular number 矩形數
rectangular prism 矩形稜柱(體),矩形棱柱(體)
rectilinear figure 直線圖形
recurrence formula 遞推公式
recurrent 循環的,遞歸的
recurring decimal 循環小數
reduce 簡化
reducibility 可約性,可化簡性
reducible 可約的,可化簡的
reductio ad absurdum 反證法,歸謬法
reduction formula 歸約公式
reflection 反射,鏡射
reflex angle 優角,反角
reflexive 自反的
reflexive relation 自反關係
region 區域
region of acceptance 接受區域,接收區域
region of rejection 否定區域
regular cone 正則錐(體)
regular polygon 正多邊形
regular polyhedron﹝polyhedra﹞ 正多面體
regular prism 正稜柱(體),正棱柱(體)
regular pyramid 正稜錐(體),正棱錐(體)
relation 關係(式)
relative error 相對誤差
relative frequency 相對頻數
relative maximum 相對極大
relative minimum 相對極小
relatively prime 互質,互素
reliability (可)信度
remainder 餘數,餘式
remainder term 餘項
remainder theorem 餘式定理
repeated trials 重複試驗
resolution of vector 向量分解,矢量分解
resultant vector 合(成)向量,合(成)矢量
rhombus 菱形
right angle 直角
right circular cone 直(立)圓錐(體)
right circular cylinder 直(立)圓柱(體)
right prism 直(立)稜柱(體),直(立)棱柱(體)
right pyramid 直(立)稜錐(體),直(立)棱錐(體)
right-angled triangle 直角三角形
right-hand limit 右方極限
Rolle theorem, Rolle's theorem 洛爾定理,羅爾定理
root 根
root-mean-square 均方根
rotation 旋轉
round down 下捨入,不進位捨入
round off 捨入,四捨五入
round up 上捨入,進位捨入
row 行
row vector 行向量,行矢量
ruler 直尺

sample 樣本
sample mean 樣本平均數,樣本均值
sample space 樣本空間
sampling distribution 抽樣分佈,抽樣分布,樣本分佈,樣本分布
sampling technique 抽樣技術
sampling theory 抽樣(理)論
sandwich theorem 迫近定理
scalar 純量(的),無向量(的),標量(的)
scalar matrix 純量矩陣,標量矩陣
scalar multiplication 純量乘法,標量乘法
scalar product 純量積,點積
scalar triple product 純量三重積
scale 比例尺,標度,圖尺,尺度
scalene triangle 不等邊三角形,不規則三角形
scatter diagram 散點圖,散佈圖,散布圖
scientific notation 科學記數法
secant (1) 正割;(2) 割線
secant method 割線法,正割法
second (s) 秒
second derivative 二階導數,二次導數
second order ordinary differential equation 二階常微分方程(式)
second quadrant 第二象限
second quartile 第二四分位數
section (1) 截面;(2)截線;(3) 截點
section formula 截點公式
sector 扇形
segment of a circle 弓形
semicircle 半圓
semi-conjugate axis 半共軛軸
semi-major axis 半主軸,半長軸
semi-minor axis 半副軸,半短軸
semi-regular polyhedron 半正多面體
semi-transverse axis 半貫軸
semi-vertical angle 半頂角
sentence 句,語句
sequence 數列,序列
series 級數
set 集(合)
set square 三角尺,三角板
sexagesimal number 六十進制數,六十進位數
shape 形狀
shear 剪(切),剪力
shell method 外殼法
SI, Le Système international d'unités 國際單位制
side 邊,側
sign (1)符號,記號;(2)正負號
significance level 顯著性水平
significant digit 有效位
significant figure 有效數字
signum 正負號函數
similar figures 相似圖形
similar triangles 相似三角形
similarity 相似(性)
simple equation 簡易方程(式)
simple iteration method 簡單迭代法
simplify 簡化
Simpson integral, Simpson's integral 森遜積分,辛普森積分
Simpson rule, Simpson's rule 森遜法則,辛普森法則
simultaneous equations 聯立方程(式)
simultaneous inequalities 聯立不等式
sine 正弦
sine formula 正弦公式
singleton 單元集
single-valued function 單值函數
singular 奇(異)的
singular matrix 降秩矩陣,奇異矩陣
skew distribution 偏斜分佈,偏斜分布
slant edge 斜稜,斜棱
slant height 斜高
slide rule 計算尺
slope 斜率,斜度,傾斜,坡度
slope-intercept form 斜率截距式,斜截式
solid (1)立體;(2)固體
solid of revolution 旋轉體,迴旋體
solution 解,解法
solution of equation 方程(式)解
solution of triangle 解三角形,三角形解法
solution set 解集(合)
solve 解
Soma Cube 索馬立體
sound argument 真確論證
span 生成
special angle 特殊角,特別角
sphere (1)球形;(2)球面
spheroid (1)球體;(2)橢圓體,迴轉橢圓體
spiral 螺線
square (1) 平方,二次冪;(2) 正方形
square matrix 方(矩)陣
square number 正方形數,平方數
square root 平方根,二次根
squeeze theorem 迫近定理
standard deviation 標準差
standard equation 標準方程(式)
standard error 標準誤差
standard form 標準式,標準型
standard normal distribution 標準正態分佈,標準正態分布,標準常態分佈,標準常態分布
standard score 標準分
standard unit 標準單位
statement 陳述,述句,語句
stationary point 平穩點,駐點
stationary value 平穩值
statistic 統計量
statistical analysis 統計分析
statistical chart 統計圖表
statistical data 統計數據
statistical significance 統計顯著性
statistical test 統計檢驗,統計試驗
statistics (1)統計(學);(2)統計量
stem-and-leaf diagram 幹葉圖,莖葉圖
step function 階梯函數
straight line 直線
straight line graph 直線圖像
strictly monotonic 嚴格單調
strictly monotonic function 嚴格單調函數
subject 主項
submultiple angle formula 半角公式
subnormal 次法線
subsequence 子序列,子數列
subset 子集
subsidiary angle 輔助角
substitute 代入,代換
subtend 對向
subtract 減
subtraction 減法
successive approximation 逐次逼近,逐次近似
successive derivative 逐次導數,逐次微商
successive differentiation 逐次微分(法)
sufficiency 充分性
sufficient and necessary condition 充要條件
sufficient condition 充分條件
sum 和,總數
sum to infinity 無限項之和
sum to n terms n 項和
sum to product formula 和化積公式
summation 求和(法),總和
summation formula 求和公式,總和公式
superimposing 疊和,疊合
supplementary angle 補角
surd 根式,不盡根
surface 面,表面,曲面
surface area 表面面積,曲面面積
surface of revolution 旋轉曲面,迴轉曲面
surjection 滿射
surjective function 滿射函數,映成函數
syllogism 三段論
symbol 符號,記號
symmetric difference 對稱差
symmetric expression 對稱式
symmetric relation 對稱關係
symmetry 對稱(性)
synthetic division 綜合除法
system (1)系統,體系;(2)組,系
system of circles 圓系
system of numerals 記數系統
system of straight lines 直線系

table 表
tabulate 製表
tabulation form 表列式
tabulation method 列表法
tail (1)(錢幣的)反面;(2)尾部
tangent (1) 正切;(2) 切線(的)
tautology 恆真命題,恆真式
Taylor expansion, Taylor’s expansion 泰勒展開式
Taylor series, Taylor’s series 泰勒級數
Taylor theorem, Taylor’s theorem 泰勒定理
term 項
terminal point 終點
terminal side 終邊
terminating decimal 有盡小數
tessellation 密鋪,鋪嵌,嵌圖
test 檢驗,試驗,測驗,檢定
test criterion 檢驗標準
test of significance 顯著性檢驗
tetrahedron 四面體
theorem 定理
theoretical probability 理論概率
theory (理)論
third quadrant 第三象限
third quartile 第三四分位數
three-dimensional space 三維空間
torus 環面
total probability 總概率,全概率
touch 切(觸)
trace 跡
transcendental function 超越函數
transcendental number 超越數
transform 變換,轉換
transformation 變換,轉換
transitive 可(傳)遞的,可遷的
transitive law 可遷律
transitive property 傳遞性
transitivity 傳遞性
translation 平移
transpose (1)移項;(2)轉置
transpose of matrix 倒置矩陣,轉置矩陣
transversal 截線,橫截的
transverse axis 貫軸,橫截軸
transverse component 橫截分量
trapezium 梯形
trapezoidal integral 梯形積分
trapezoidal rule 梯形法則
travel graph 行程圖
tree diagram 樹形圖
trial 試,試驗
triangle 三角形
triangle inequality 三角不等式
triangle law of addition 三角形加法
triangle method 三角形法
triangular matrix 三角(形)矩陣
triangular number 三角形數
triangular prism 三稜柱(體),三棱柱(體),三角柱(體)
trichotomy law 三分律
trigonometric equation 三角方程(式)
trigonometric function 三角函數,圓函數
trigonometric identity 三角恆等式
trigonometric ratio 三角比
trigonometric table 三角函數表
trigonometry 三角學
trinomial 三項式
triple (1)三倍(的);(2)三元組
triple angle 三倍角
triple product 三重積
trisect 三等分
trivial solution 平凡解
true 真(的)
truncation error 截斷誤差,截尾誤差,捨位誤差
truth table 真(假)值表
truth value 真(假)值
turning point 轉向點
two-dimensional space 二維空間
two-point form 兩點式
two-tailed test 雙尾檢驗,雙端檢驗
type I error 第一型誤差,第一類誤差
type II error 第二型誤差,第二類誤差

unary operation 一元運算
unbiased estimator 無偏估計量,不偏估計量
unbounded function 無界函數
undefined 未定義(的)
undetermined coefficient 待定係數
unequal 不等
ungrouped data 未分組數據,不分組數據
uniform (1)一致(的);(2)均勻(的)
uniform cross-section 均勻橫切面
uniform distribution 均勻分佈,均勻分布
unimodal distribution 單峰分佈,單峰分布
union 併集,和集
unique 唯一(的)
unique solution 唯一解
uniqueness 唯一性
unit 單位
unit area 單位面積
unit circle 單位圓
unit imaginary number 單位虛數
unit matrix 單位矩陣
unit vector 單位向量,單位矢量
unit volume 單位體積
universal quantifier 全稱量詞
universal set 全集,宇集,泛集
unknown 未知數,未知量
unlike terms 異類項
upper bound 上界
upper boundary 上邊界
upper limit 上限
upper quartile 上四分位數
upper sum 上和
upper triangular matrix 上三角形矩陣

valid argument 對確論證
validity (1)(有)效度;(2)對確性
value 值
variability 可變性,變異性
variable 變量,元,變元,變數
variance 方差,變異數
variation 變數,變分
vector 向量,矢量
vector product 向量積,矢量積,叉積
vector space 向量空間
vector triple product 向量三重積
Venn diagram 溫氏圖,范氏圖,文氏圖,維恩圖
verification 檢驗,驗證
verify 檢驗,驗證
vertex﹝vertices﹞ 頂(點)
vertical 垂直(的),鉛垂(的)
vertical angle 頂角
vertical asymptote 垂直漸近線
vertical component 垂直分量
vertically opposite angles 對頂角
volume 體積
volume of revolution 旋轉體的體積,迴轉體的體積

weighted average 加權平均數,加權平均值
weighted mean 加權平均數,加權平均值
whole number 整數
width 闊(度),寬(度)
without loss of generality 不失一般性,不失普遍性

x -axis x 軸
x -coordinate x 坐標
x -intercept x 軸截距

Yang Hui triangle 楊輝三角(形)
y -axis y 軸
y -coordinate y 坐標
y -intercept y 軸截距

zero (1)零;(2)零點
zero matrix 零矩陣
zero vector 零向量,零矢量

2012/01/11

HKDSE Practice Paper

觀乎今日的數學科練習卷 (Practice Paper),
我嘗試總結一下(當中我嘗試記下一些問法較特別的題目)。

Section A(1),35 分
Q1 指數定律(3 分)
Q2 主項變換(3 分)
Q3 因式分解(3 分)
Q4 (中一百分率)成本 $360,標價八折後仍賺 30%,求標價。(4 分)
Q5 樽和杯的容量比為 4 : 3,若7個樽及9個杯的總容量為11升,求樽的容量。(4 分)
Q6  已知 A(13,157o)、B (14,247o) 及 C(15,337o) 為極座標上的點。
       (a) 若 O 為原點,A、O、C 是否共線?試解釋說明。
       (b) 求三角形 ABC 的面積。
Q7 圓的幾何特性(4 分)
Q8 直角座標上的點的反射、旋轉及軌跡(5 分)
Q9 (幾盞鬼的一題) 關於 IRQ 最小值及最大值的估算(5 分)

Sect A(2),35 分
Q10 續多項式(3+3 分)
Q11 變分法(4+2 分)
Q12 D-t Graph 的應用(2+3+2 分)
Q13 統計圖的應用(3+4 分)
Q14 圓的幾何特性 + 座標幾何(2+7 分) <--- 這以往都在會考乙部才出現的。


Sect B,35 分
Q15 標準分的應用(2+2 分)
Q16 排列與組合在概率的應用(2+2 分)
Q17 複數的應用(2+5 分)
Q18 立體圖形的三角學(2+4+2 分)
Q19 G.P (2+10 分)


總結:
Sect B 較以往略淺,Sect A(2) 較以往略深。
單靠以往應付會考數學的策略需稍作調整(例如:時間分配)。
我會於稍後時間在此分享心得。


以下則透露一下首 10 條多項選擇題,
即使今年諗中四,不妨一試身手。

Q1 x3(2x+x) = __________. (展開多項式)
Q2 If 3a + 1 = 3(b-2), then b = __________. (主項變換)
Q3 Factorize p2 - q2 - p - q. (恒等式 + 併項法)
Q4 If m(x-3)2 + n(x+1)2 is identical to x2 -38x + 41, then m = __________. (代入法)
Q5 If x4 - x3 + x2 - x + 1 is divided by (x + 2), find the remainder. (餘式定理)

Q6 If the equation 3x2+2kx-k=0 has equal roots, then k = __________. (判別式的應用)
Q7 Find the slope/equation of lines with a given figure...
Q8 Given the graph of y=ax2-2x+b (open downwards, vertex @ 2nd quadrant, -ve y-intercept),
which of the followings is/are true? I. a > 0  II. b<0  III. ab<1
Q9 Solve 4x>x-3 or 3-x<x+7. (聯立不等式)
Q10 John buys a vase for $1600.
He then sells the vase to Susan at a profit of 20%.
At what price should Susan sell the vase to have a profit of 20%? (中一百分率的應用)



2012/01/06

內接、外接、外切、內切

翻看讀書時的筆記,發現自己所畫的內心及外心,
當然也包括圓外接三角形,以及圓內切三角形等...
大家當時怎樣區分「內接」、「外接」、「外切」、「內切」等字眼呢?
這都要由《幾何原本》第IV卷中的定義入手:
1.當一個直線形的各角的頂點分別在另一個直線形的各邊上時,這個直線形叫做「內接」於另一直線形。
2.類似地,當一個圖形的各邊分別經過另一圖形的各角的頂點時,前一個圖形叫做「外接」於後一個圖形。
3.當一個直線形的各角的頂點都在一個圓周上時,這個直線形叫做「內接」於圓。
4.當一個直線形的各邊都切於一個圓時,這個直線形叫做「外切」於圓。
5.類似地,當一個圓在一個圖形內,切於這個圖形的每一邊時,稱這個圓「內切」於這個圖形。
6.當一個圓經過一個圖形的每個角的頂點時,稱這個圓「外接」於這個圖形。
7.當一條線段的兩個端點在圓周上時,則稱這條線段「擬合」於圓。
[來源]

[動手做]
若只能用(無刻度的)直尺及圆規,
1. 如何在一個已知圓內作一個與已知三角形等角的內接三角形?
2. 在一個已知圓外作一個與已知三角形等角的外切三角形。
3. 如何作已知三角形的內切圓?
4. 如何作已知三角形的外接圓?
5. 如何作已知圓的內接正方形?
6. 如何作已知圓的外切正方形?
7. 如何作已知正方形的內切圓?
8. 如何作已知正方形的外接圓?

2012/01/03

概率遊戲 Probability Games

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前言:我特別喜歡概率,可能我鍾意玩遊戲的原故。在已知的規則下,我會盡量掌握對自己有利的策略(好勝心?)。到長大後帶領遊戲,也喜歡因應玩家選取的策略臨場改變規則(話事人專利?),令遊戲的過程保持新鮮感及挑戰性。XD
課堂中教師總示範「擲銀(toss a coin)」、「擲骰(roll a dice)」的機會遊戲,
網上資源也倒豐富,向各位推薦這個
除了像真度不錯,還有往績統計,教師可稍後或順勢引入「期望值(expected value)」。
擲銀(基本玩法進階玩法
擲骰(可調較一至三粒骰子
抽幸運匙(7人輪流抽7條匙,先抽好定後抽好?

緊記,相關的次數未必跟期望值完全吻合,那只是概率的基本假設(即使你大量試驗)。

當然教師也可介紹一些如Monty Hall Problem的經典題目。如課堂時間許可,我推薦學生欣賞以下動畫,這動畫利用家傳戶曉的故事介紹中學概率,撰寫人之一正是開發小朋友齊打交的朋友。

概率論起源:1654年費馬和巴斯卡在書信中討論「賭局腰斬,如何瓜分賭金」的問題,有些數學史家就把這視作是概率基本原理的開始。例如:擲四個銅錢,出現0、1、2、3、4次正面的情況有多少種?【解:1、4、6、4、1 種(巴斯卡三角的第五列數字!)】

2012/01/02

校對問題 Proof-reading Mistakes

0 回應
前言:話說在下的姨婆託我批改其孫女上繳JUPAS的文章,我雖然不是教英文科,但其本的文法尚且可以,同時這類文章最重要是流暢,不宜冗長。於是我想起以下概率題目。

[問題]一篇文章,
經 A 校對後發現 a 個錯誤,
經 B 校對後發現 b 個錯誤,
當中有 c 個 A 也發現的錯誤(這裡假設 c < b),
問該篇文章尚有多少個未發現的錯誤?

[分析]
假設該篇文章共有 t 個錯誤,
故 A 應找到全部錯誤的 a/t,
而這個分數應大約等於 c/b。那麼,

a/t = c/b

t = ab/c

所以,尚未發現的錯誤等於 t-a-b+c=(a-c)(b-c)/c


[例]一篇學生文章,
經Miss沈校對後發現20個錯誤,
經李sir校對後發現10個錯誤,
當中有8個沈老師也發現的錯誤,
所以尚未發現的錯誤「應該」等於
(20-8)(10-8)/8 = 3 個
(如是者,應即帶李Sir去驗眼吧...XD)

[來源]
Pólya, G. "Probabilities in Proofreading." Amer. Math. Monthly, 83, 42, 1976.


2012/01/01

數學教師文摘 Maths Teachers' Digest

故名思義,筆者希望在此收集一些華語的數學教育文章,促進知識的分享及交流,
無論你是數學主修生,有意投身有關數學教育的人、數學教師、數學書編輯、數學教授,
歡迎來郵至 sk2@alumni.cuhk.net。

  • 3 solutions (without word) to a single question
http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v12/v12_p58to60.pdf
學術成份不高,但卻是我第一次投稿獲刊登的愉快經驗。
關於無言證明(Proof without word),這裡那裡都有相當好的例子。
讀者不妨多加發掘。
  • Chan Yip-Cheung, A geometry problem with different solutions
http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v14/16ChanYC.pdf
承上所述,這是用不同方法去處理一道具幾何題目。
我鼓勵投身數學教育的同工嘗試發掘更多「一題多解」的例子。
這麼,你才會不斷發現,數學看上來總可以不一樣。

  • 蕭文強著,「三心兩意」的數學教師
http://hkumath.hku.hk/~mks/09MathsTeacher3h2m.pdf
一位我相當敬佩的數學老師、數學教授,為推動數學及數學教育不遺餘力。

  • 蕭文強著,數學史和數學教育:個人的經驗和看法
http://hkumath.hku.hk/~mks/shortmathhistory_chinese.pdf
節錄自《數學傳播》,原文刊於第16卷第3期(1992),23-29頁。
  • 蕭文強著,概率萬花筒
http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4957/cabinet%208.pdf
是我當年學概率,令我樂在其中的好好讀物~
  • 黃兆麟著,聽覺學習「不等式」
http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v20/10WongSL_hearing.pdf
筆者是我一位大學同學,
由教學實習至入職以來多作嘗試,
我相信同一課題的教學千變萬化,
但不多年輕同工會嘗試分享投稿,
祝願他的教學熱誠與日俱增。
  • 梁子傑著,米凱爾點與垂心
http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v20/15LeungCK_miquel.pdf
在數學教育界十分活躍,算得上是多產的寫手。
正在教授初中關於「垂心」卻不知所為何事的同工,不妨細看。
(恐怕連教科書的編輯們也未必知為何要教)
  • 梁子傑著,談天說地話數學
http://www.edb.gov.hk/FileManager/SC/Content_4957/cabinet%204.pdf
多產的寫手,其文筆對有恴從事數學教育工作的朋友,相當合脾胃。



  • 張小平,未進過學校的數學天才巴斯卡

數學傳播 32卷2期, pp. 54-61
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d322/32206.pdf

===========================
以下都是我個人好建議有心人定期瀏覽,
持之以恆,你的心性和學養才有進境。

  • 數學教育(EduMath)
http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/
此乃香港數學教育學會出版的刊物,
旨在提供不同崗位數學教育工作者討論的園地,
讓學會內外的資訊得以交流,
數學教育之理念與經驗得以分享。

  • 數學傳播
http://w3.math.sinica.edu.tw/media/default.jsp
此乃台灣中央研究院數學研究所發行出版的刊物,
旨在傳播數學知識,促進數學教育,
內裡也有好多高質素的文章。


  • 數學知識

http://episte.math.ntu.edu.tw/index.htm
中央研究院數學所及台大數學系的合作成果,
媲美香港學生開發的「數學資料庫」。