[問題] Why $101| 100^{2N} - 1$，$N\in\mathbb{Z^{+}}$?

Why [100^2N - 1] (where N is positive integer) is divisible by 101?
這裡示範「一題多解」技巧

數學歸納法 Mathematics Induction

當 $n=1,2$，命題成立。考慮 $n=k-1,k$，$k\in\mathbb{Z^{+}}$
則 $100^{2k} - 1=101D$，$D\in\mathbb{Z}$
及 $100^{2(k-1)} - 1=101E$，$E\in\mathbb{Z}$

由於
$100^{2(k+1)} - 1$
$=(100^{2k} - 1)(100^{2} + 1) -100^{2k}+ 100^{2}$
$=10001(101D)-100^{2}(100^{2(k-1)}-1)$
$=10001(101D)-10000(101E)$
$=101(10001D-10000E)$
$=101F$，$F=10001D-10000E\in\mathbb{Z}$
（證畢）

二項式定理 Binomial Theorem

考慮 $100=101-1$
所以，
$100^{2N} - 1$
$=(101-1)^{2N} - 1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}+(-1)^{2N}-1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}$
$=101[101^{2N-1}+\binom{2N}{1}101^{2N-2}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}(-1)^{2N-1}]$
（證畢）

和差公式 Summation of Difference

$100^{2N}-1$
$=10000^{N}-1$
$=(10000^{N}-10000^{N-1})+(10000^{N-1}-10000^{N-2})+...+(10000^{1}-1)$
$=\sum (10000^{n}-10000^{n-1})$
$=\sum [10000^{n-1}(10000-1)]$
$=9999\sum 10000^{n-1}$
$=101(99\sum 10000^{n-1})$
（證畢）

其實，數學老師會否接受學生這樣解釋：

這個數的數值必定由 4 的倍數的 9 所組成（例如　9999、99999999、999999999999、...），因此必定是 9999 的倍數（即 $101\times99$ 的倍數）。

[挑戰]還有其他方法嗎？有沒有無言證明（proof without word）？

組合問題 Combination

若 $a+b+c=10$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為正整數，求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$, $b$ and $c$ if $a+b+c=10$.

[挑戰]
若 $a+b+c=N>3$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為正整數，求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$ and $b$ if $a+b+c=N$ where $N>3$.

[再挑戰]
若 $a+b+c=10$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為非負整數，求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$, $b$ and $c$ if $a+b+c=10$.

上述問題，除了答案，且看如何用圖像解釋說明。一週後開估~

排列與組合中的分類法（加法法則）

「排列與組合（Permutation & Combination）」乃新高中數學科新加的課題，網上教材可謂多不勝數，但也有些共通的注意事項。本文希望留下參考資料，讓包括自己在內的教育同工或莘莘學子作預習及溫故知新。

首先，在數學化（Mathematising）的過程中，鼓勵教師依據學生的「經驗」選用相關事例。

例題：

某調查中訪問了 200 人，他們均擁有數碼相機或電子手帳。若有 168 人擁有數碼相機， 97 人擁有電子手帳，該調查有多少名受訪者既擁有數碼相機又擁有電子手帳？

A survey was conducted and 200 people who had digital cameras or PDAs were interviewed. If 168 of them had digital cameras and 97 of them had PDAs, how many interviewees in the survey had both digital cameras and PDAs?

猶記得向學生展示題目，只有少數人很快指出答案，多數同學卻無從入手……我在想，今時今日的電子手帳會否也有攝影功能？雖則今日的學生大多有手機；而且選取的數字也稍為大了些。於是，我改用了以下校園味較重的例子：

中五ｘ班38名學生均有學習小提琴或結他，若有25人學習小提琴，22人學習結他，問中五丁班有多少名學生同時學習小提琴及結他？

All 32 students in S.5A played either violin or guitar. If 25 of them play violin and 15 of them play guitar, how many students play both violin and guitar?

首先，我任教的該班的確有38人，雖不知他們是否喜歡小提琴或結他，但感覺會較埋身而不至於脫離群眾。然後就是拿出耐心和誠意，把他們的方法加以引導和整理，最後畫上兩個部份重疊的圓圈（即venn diagram，不必交代太多，學生好不容易產生內在的思考）作解說，使其掌握「分類法」中涉及的「加法定律（Addition rule）」，以下附上一些簡單例子，相信即是小學生也不難掌握。

某快餐店提供 6款漢堡包和 4 款甜品，問有多少款食物可供選購？【答案：10款】

由灣仔修頓遊樂場往中環皇后像廣場可乘電車（藍線、紫線、綠線及橙線）、港鐵（港島線）、城巴（1、5、11、25、75、97），問有多少種交通工具可供選擇？【答案：10款】

整數1至30裡面，共合有多少個3或4的倍數？（提提同學，整數1至30裡面，3的倍數及4的倍數分別有10個及7個）【答案：15種】

預告：排列與組合中的分步法（乘法法則）