規尺作圖（理論）

前言：找回 5 年前曾撰寫的文章，希望做一些較詳細的紀錄。

「規尺作圖」的每一步驟，只可做以下事情：

(1)兩點間聯一直線；
(2)以一點為圓心，已知長為半徑作圓；
(3)取得兩直線、兩圓或一線一圓的交點。

對於用圓規及直尺的經驗，相信很多同學都曾嘗試繪製等邊三角形或正六邊形吧？Cleave Book裡有好些圖案可供喜歡的朋友發揮創意。如果加埋量角器，要畫出任意正多邊形可謂毫無難度（對n邊形，每隻外角必定是360^o/n吧）。但是在古希臘時代，作圖只使用沒有刻度的直尺（unmarked ruler）和圓規（compass）。目前為止，邊數小於100，可以尺規作圖的正多邊形如下：

3、4、5、6、8、10、12、15、16、17
20、24、30、32、34、40、48、51、60、64
68、80、85、96

亞基米德正是用此幾何技巧，
繪製圓內接和外切正96邊形，
藉其周界的上下限確定圓周長度，
進而得到圓周率介於3.14163及3.14286之間
（準確至小數點後 2 位，都算厲害吧？）

一般而言，只要是有理數，
甚至經過有限次四則運算以及開方得出的數量，
都可以用規尺繪製出來，如 2 的開方，
你可以畫一等腰直角三角形（腰長為1），
斜邊的長度必定是 2 的開方（1.414...）。

我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。


希臘人強調作圖只能用直尺圓規，
為什麼要這樣限制呢？有下列三點原因：

1.希臘數學的基本精神，期望用最少假定（定義、公理、公設）演繹最多的定理。對工具上自然也應限制最少的程度。

2.根據＜幾何原本＞對作圖做的公設（1.任何兩點之間可聯一直線；2.直線可任意延長；3.以任何中心任何半徑可作一圓），作圖工具就只能用尺規。而畢氏學派主張圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學中最基本的研究對象，有了尺規，圓和直線已經能夠作出，這些都促使尺規作圖成為金科玉律，流傳至今。

3.柏拉圖主張通過幾何學習達致邏輯思維的訓練，正如體育鍛練體格，運動須受各種規則器械等限制，同樣訓練思維的幾何學也應該對作圖工具有所限制。

訓練邏輯思維為什麼不直接學習邏輯規律而要借助幾何學呢？理由是幾何學能給予人強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中，邏輯的推理和結論還可以通過實際的觀測來驗證，使抽象規律和感性認識結合起來，收到相得益彰之效。兩千多年來的實踐證明，通過幾何學習來培養邏輯思維能力，的確是行之有效的方法。［來源：梁宗巨著，數學歷史典故，九章］

有些問題好像很簡單，但做起來卻很困難，直到一千多年之後才證實無解。最有名要數以下幾何三大難題：

化圓為方：求作一正方形使其面積等於一已知圓
三等分角：把任意角分三等份
倍立方：求作一立方體是其體積是一已知立方體的兩倍

以下軟件可給大家作熱身之用，讀者可直接下載，一試身手。且看能否破解下列問題：


1. 如何繪製45^o、60^o及75^o的銳角？
2. 給予A, B, C 三點（他們不在同一條直線上），
(a) 如何作一直線，使得三點至該直線的距離相等？
(b) 如何作一圓形，使該圓通過該三點？
(c) 如何作一點，使該點與該三點的總距離為最小值？
3. 如何作一三角形ABC，AB = 5，AC = 4，且通過A點之中線等於3？
4. 如何作一三角形ABC，AB = 6，angleACB = 60^o，且通過C點之中線等於5？
5. 給予已知三角形ABC，如何作線段 AB 及 AC 上之兩點 E 及 F，使 EF//BC 且 AE CF？
6. 給予已知一線段，如何平均分三等份？
7. 給予已知一四邊形，如何作一面積相等之三角形？
8. 給予平面上三個圓，如何作一圓與這三圓相切？

Q8 是很有名的「阿波羅尼斯問題」，該3個圖形可以是點、直線或圓

相關書籍推介


相關網站推介
幾何作圖（Lii & Hjr）
http://163.30.150.88/lii/flashMath/diaGraph.htm
這是專為中小學老師設計，我個人最愛它無文字，夠簡潔，教學動畫之中是我至今較喜歡的。

大哉言數（李柏良的網頁）
http://www.mathsgreat.com/const.html
李柏良先生從事教師培訓、視學和課程發展多年，不知他仍否在EDB的數學教育組工作，但毫無疑問，裡面的內容也夠豐富。

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html
拜讀曹老師的「阿草的XXXX」天下文化出品，是我云云數學書中保留較長的系列。撰文時他任教台大數學系，現在應該正享受退休生活。

規尺作圖（教學資源）

看到香港奧數在年前引入「規尺作圖」的題目，心裡倒是高興，因為能「做到」這類題目給予很大的滿足吧（也可能自己對這類題目因見識少而有新鮮感，那些年還未掌握箇中技巧而多花好些精力）。

「規尺作圖」的玩法

• 直尺只能用來畫直線（不是用間尺，作圖時不會用上刻度）
• 圓規只能用來畫圓或弧線
• 所有的曲線都要用直尺及圓規畫出
• 規定做圖都要在有限步驟內完成

倘若閣下在初中幾何學裡有一課從角平分線、垂直平分線等引伸，而堂內又無法完成的話，不妨參考下列教材（多以英文為主）。
Bisecting an angle（作「角平分線」之法，初級技巧）
Copy an angle（也是初級技巧）
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle（也是作等邊三角形之應用技巧）
Construct a 45° angle（先作直角後作平分，算是進階技巧吧？雖然也很淺...）
Construct a 30° angle

上面是關於「角（Angle）」，以下則是與「線（Lines）」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)

一般而言，只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量，都可以用規尺作出來，我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。（但那如何對一般的中二生說得明白？記住這段，待他日再深思吧）

培育幾何思維：從一節座標幾何課說起

筆者近日有幸出席教育局數學教育組的「數學課程學與教策略系列 - (2) 推展創造力」工作坊，當中提到「雞兔同籠」、「一題多解」等推展創造力的手法，獲益不需要多，能帶走一兩個，滲入自己的課堂，對學生多少總會有裨益。

這陣子正教授中三級的座標幾何，學生本身剛剛學會四邊形的特性、中點定理及截線定理等，我嘗試利用工作坊所示範的技巧，設計了一道題，歡迎同工下載及不吝賜教。題目如下：

給已知的兩個點 A(-2, 2) 及 B(3, 2)，
試寫出 C 點令三角形 ABC 成一等腰三角形。

這裡，我先容許學生以距離公式等運算方式（verification）作驗證，然後鼓勵學生能用幾何思維（geometrical thinking）去解釋答案。

題外話：曾經收到有一位學生問到：「其實畫圖就可以解決的數學問題，何必要牽涉座標去處理？」或許同工可能有不同看法，不過筆者很慶幸有學生願意提問，是故也點到即止分享自己對這課題典故的小小認識。

若你問我，在數學世界有什麼劃時代的知識（若以 Dark Ages 作分水嶺的話），可能大多數人會答「微積分」，其實「坐標幾何」也在當時同樣重要，就好似「鎢絲燈炮」的發明改變世界一樣。有興趣的話，我推薦項教授的網上筆記。

三角形的心、歐拉線、歐拉圓、費馬點

看本文前，先到此連結玩玩啦~

以下是我很喜歡的自學教材(一)、教材(二)，若在課室使用投影機，請確保房間夠暗唷。

此外，對任意三角形，
「三邊的中點」、「三條高線的垂足」及「垂心和三頂點連線的中點」，這九點共圓，這個圓稱為 "九點圓" ，且其半徑為 ½ R (R 為三角形外接圓的半徑)。九點圓亦叫做 :
歐拉圓 (Euler Circle) < 我較喜歡的稱呼~ 龐斯萊圓 (Poncelet Circle) 費爾巴哈圓 (Feuerbach Circle)

此外，不得不提的還有費瑪點(Fermat Point)，費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)本身是一名律師，數學是其業餘的嗜好，話雖如此，他在數學上的成就不比職業數學家差，雖則無「發表」論文，但是他幾乎與同期所有歐洲大數學家保持通信。話說他收到一個問題：

要找出三角形裡最小點的位置，
這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短。

套用今日的情況，如果 M 記要開分店，讓這分店到這三個屋苑(A,B,C)的距離總和是最短，那麼這個位置(F)就叫做費馬點。它的「作圖法」及「幾何證明」是吸引我的地方。

幾何證明本身分2個情況：
(1)三角形全部內角內角都小於120^o　
(2)三角形其中一隻內角不小於120^o
記得以前初初接觸該題目，我竟意想不到情況(2)的出現...Orz

根據情況(1)，用規尺作圖的技巧，
按三角形的邊長作三個等邊三角形。
連接 CC'、BB'、AA'，
則三條線段的交點就是所求的點。

證明步驟
(1)證明 CC'、BB'、AA'三線共點(collinearity)
(2)證明P點的唯一性(uniqueness)
可惜的是，我所用的步驟涉及圓形的定理，若以初中生作對象，使其明白三線共點的證明應十分費時。課時內不易處理（外心、內心、垂心、重心其實也涉及三線共點，但在下即使任教「精英班」，觀其反應，都只能輕輕帶過 Orz），諸位若有什麼更好的視覺證明(visual proof)，請不吝賜教。

教師延伸閱讀：尋找費馬點：從一道數學應用問題談起

內接、外接、外切、內切

翻看讀書時的筆記，發現自己所畫的內心及外心，
當然也包括圓外接三角形，以及圓內切三角形等...
大家當時怎樣區分「內接」、「外接」、「外切」、「內切」等字眼呢？

這都要由《幾何原本》第IV卷中的定義入手：
1.當一個直線形的各角的頂點分別在另一個直線形的各邊上時，這個直線形叫做「內接」於另一直線形。
2.類似地，當一個圖形的各邊分別經過另一圖形的各角的頂點時，前一個圖形叫做「外接」於後一個圖形。
3.當一個直線形的各角的頂點都在一個圓周上時，這個直線形叫做「內接」於圓。
4.當一個直線形的各邊都切於一個圓時，這個直線形叫做「外切」於圓。
5.類似地，當一個圓在一個圖形內，切於這個圖形的每一邊時，稱這個圓「內切」於這個圖形。
6.當一個圓經過一個圖形的每個角的頂點時，稱這個圓「外接」於這個圖形。
7.當一條線段的兩個端點在圓周上時，則稱這條線段「擬合」於圓。
[來源]

[動手做]
若只能用(無刻度的)直尺及圆規，
1. 如何在一個已知圓內作一個與已知三角形等角的內接三角形？
2. 在一個已知圓外作一個與已知三角形等角的外切三角形。
3. 如何作已知三角形的內切圓？
4. 如何作已知三角形的外接圓？
5. 如何作已知圓的內接正方形？
6. 如何作已知圓的外切正方形？
7. 如何作已知正方形的內切圓？
8. 如何作已知正方形的外接圓？