整除性的檢定 Divisibility Tests

「2的倍數有何規律？」
「最後個位數字必然是2的倍數囉。」
「咁...4的倍數呢？」
「最後2位數字必然是4的倍數囉。」
「咁...8的倍數呢？」
「最後3位數字必然是3的倍數囉。」
「5的倍數呢？」
「個位數字必然是5或0囉。」

「那麼，7的倍數又有何規律？」
記得我在初中時用的是「截尾法」。對任何數，
(1)先把最尾的個位數字捨去；
(2)將捨去後的數减該數字的兩倍。
重複(1)及(2)，直至你看出它是7的倍数為止。

(截尾法來源：《數：上帝的寵物》，談祥柏著。ISBN：7-5320-4801-2，上海教育出版社，1988，頁4)

以 674253 為例，
把 3 捨去後得 67425 ，減 3 的兩倍後得 67419，
把 9 捨去後得 6742，減 9 的兩倍後得 6724，
把 4 捨去後得 672，減 4 的兩倍後得 664，
把 4 捨去後得 66， 減 4 的兩倍後得 58（不是 7 的倍數），
故 674253 不能被 7 整除。

若果該數是1000以下，直接驗算當然較好啦～

分析:
設原數為 A = 10x + y，
截尾後的數為 B = x − 2y。
故此 A - 3B = 7x + 7y，即 A = 7(x+y) + 3B
（若 B 能被 7 整除，則 A 亦能被 7 整除，反之亦然）
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。
至於 11 及 13 的的整除性，
「截尾法」其實也適用（只是尾數分別乘以1及4而已）。

挑戰：
1. 你可以用相同方法（尾數乘以2），來判定其他數字的整除性嗎？
2. 你可以用類似方法，來判定其他數字的整除性嗎？
當然你也可問我「117的倍數有何規律？」，
但「截尾法」恐怕比用正常的除法好不了多少。

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以下談的是其他方法。

「1000以下且是7的倍數有何規律？」

我這裡利用數論的「同餘（congruences）」的引理（lemma）：
(1)若A為7的倍數，則將A加或減7的倍數後，仍為7的倍數。
(2)若A除以7的餘數為k，則將A加或減7的倍數後，則餘數仍為k。

分析:
設原數為 A = 100x + 10y + z，
考慮 B = 2x + 3y + z（即百位乘2，十位乘3，個位乘1，然後相加）
故此 A - B = 98x + 7y，即 A = 7(14x+y) + B
（若 B 能被 7 整除，則 A 亦能被 7 整除，反之亦然）
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。

以 253 為例，
百位乘2，十位乘3，個位乘1，相加後得 22（不是 7 的倍數），
故 253 不能被 7 整除。

根據引理(2)，253及22除以7的餘數也相同！


「1000以上且是7的倍數有何規律？」

將此數由右而左，每三位數字一組，拆成多個三位數，
再梅花間竹給予正號、負號、正號、負號、...
然後將這三組數相加，如為7的倍數，則原數必為七的倍數。

以 39247852 為例，
考慮 +852-247+039 = 644，
再用上面的方法或直接除 7，禮成！

練習：
546、5934516、3451459802384，哪些是7的倍數？
挑戰：
同學能否模仿上述的方式來找一找：13倍數的判別法？

李柏良先生就整除性於今年八月上載 J.L.Lagrange 的判別法，
我個人覺得有趣，不失作為教師參考。
（但方法容易記錯，老師需要稍加備課，不能隨口就講得流暢）

後記：重新執筆，事緣一次跟小學老師的交流會中，駭然發現連老師也不知道（即不會主動學數也不會做網上搜尋），也在一次聖誕聯歡會跟學生玩「拍７遊戲」（玩法：輪流報數，碰到 7 的倍數或者含 7 的數字就拍手，犯錯者受罰……）時感到懊惱，感覺應有很多人對數學不是望而生畏（那也許是結果），而是不知如何入手，久而久之就敬而遠之。