培正數學邀請賽 2012：初賽題目及答案

今日帶班黃毛小子去參加「第11屆培正數學邀請賽」，
心裡頗感到惋惜......大好的天賦，
那麼晚才告知我做領隊的事，
早知道的話，恨不得跟他們來個特訓！
（下次應該一報名就做 training）



事後，我當然不放過機會，跟他們即場討論解題方法。
希望今年有半數同學殺入決賽啦~
中一組、中二組、中三組、中四組、高中組
答案

高中組我當下的做法
（3分題）
Q1 各項之間的差分別是5、3、4，故16應改為15，使之為等差數列。
Q2 事關$2012=4\times503$ 且503是質數（如何證明？），故無兩位正整數是 2012 的因數。
Q3 （送分題？）$n=3^5+1=244$
Q4 考慮 $x=2.5$，則$2.5^2-5\times2.5+k=2012$，故 $k=2018.25$
Q5 考慮「圓內接四邊形對角互補」，x 必須是 130^o或120^o。
Q6 每D四次個函數的正負值均相等，故答案是 $2^{12} =4096$

（4分題）
Q7 馬上分解1888（$1888=32\times59$），由於比正確答案大，故正確答案是 $23\times59$ 而不會是 $32\times95$。
Q8 把裡面的六邊形「一開六」（變成六個等邊三角形），再把每個三角形由重心「一開三」，故答案是 $\frac{18}{24}$=75%。
Q9 （腦海諗著 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1）
$2.012^6$
$=(2+0.012)^6=64+6(32)(0.012)+15(16)(0.000144)+...$(應該可省略)
$=64+2.304+...=66.304...$

（5分題）
Q10
Q11 要做到「數字之積是0」，四個數字之中最少要有一個0（別忘記千位不可以是0），諗清楚思路，答案顯然就是 $9\times10\times10\times10-9\times9\times9\times9=2439$

（6分題）
Q12 （大膽假設） $n+3210<4000$，那麼 n 必然是三位數而個位數字等於3（故百位數字同樣是3），$n+3210=3553$，$n=343$（感覺呢條數幾好玩）。
Q13
Q14 方程可簡化成 $s^2-2sc-c^2=0$

（7分題）
Q15 （又大膽假設） $BO_1$的延線與$CO_2$的延線相交於兩圓的另一交點，利用cosine law，考慮兩員直徑及120^o夾角，計算 $BC$ 的長度。
Q16 （那是我最唔喜歡玩的算食蟲題目，謝謝智軒出手）
ＡＢＣ
ｘ　　ＣＢＡ
－－－－－－
ＧＪＧＣ
ＧＨＩＦ
ＤＥＢＦ
－－－－－－
ＧＢＧＧＢＦ

從下邊加數Ｂ＋Ｆ＝Ｂ，可以推出Ｆ必然為０，
從而ＡＢＣｘＢ與ＡＢＣｘＡ的個位值＝０
當個位值＝０，乘式為（偶數ｘ５）或（任意數ｘ０）的組合，
由於０已經使用，只剩下（偶數ｘ５）的組合。
然後觀察Ａ和Ｂ不能同時為５，因此Ｃ為５。

觀察ＡＢＣｘＣ＝ＧＪＧＣ
已知Ｃ＝５，Ａ、Ｂ為偶數，因此Ｇ只能是２。
要使ＡＢ５ｘ５的千位為２，Ａ只能為４或５，而５已被使用，Ａ只能為４

現在：

４Ｂ５
ｘ　　５Ｂ４
－－－－－－
２Ｊ２５
２ＨＩ０
ＤＥＢ０
－－－－－－
２Ｂ２２Ｂ０

在Ｂ是偶數的條件中，只剩下Ｂ＝６和Ｂ＝８的可能
經驗算ＡＢＣ＝４６５是唯一可能解

Q17 「最多有多少交點？」掉翻轉諗，任何交點都由兩條線段相交而成，即兩條線段對應的四個在圓周上的點，故考慮「20個點任選4個點」的組合，答案是$\frac{20!}{4!(20-4)!}=4845$
Q18
Q19
Q20

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暫時有60分咁上下啦...夠入決賽先