話說前年公司建議員工積極進修有關 e-Learning 的工作坊，小弟早年也去了也撰文，過去一年也抽空給自己見識見識，由數理科到人文學科，總之有空就報，老細批准就去......
本身已學用QR Code，如何使用不是困難，關鍵是如何改善教學，例如我把短片或工作紙答案透過快速碼放在學生工作紙上，在這工作坊上我有幸知多點背後原理，得個知都無壞。
太遲喇！業界對手早已站穩住腳，一來微軟未算易上手，即使你為用戶提供 1TB，你大部份用得上的功能，Android 或iOS 已經好夠用加易上手。三星同蘋果好似有變相送Tablet PC的計劃（只要你用佢的APPS），有得揀我會用 Google for Education 配 Chromebook（可惜香港無貨）。
工作坊裡先介紹一些少用的 Google 搜尋技巧，不只是打Keyword，不只是圖像文檔搜尋，頗為實用；至於如何管理學習資源，當然由自己做起啦，例如你已慣性放在就手的位置，同事次次用都要問番你，咁就唔妥當啦！當然科主任夠霸氣且個分類系統夠好，那又另作別論，即使有問題都係果位仁兄要再培訓而已；最後到 Arthur 出場，當然不是傳授怎麼樣的教學技巧，只是分享他本身喜好，詳見於此。
本來部長唔批，不過我都係用放工時間去，係現場見到副部長，會上幾個資深老師輪流分享，算很實用，起碼我半年內已即時在教學實踐（可惜做考績果個睇唔到...灰），無論是否跟自己本科或工作有關。（iPad 的用法真係多到你估唔到）
今次是觀摩數理科外的同工怎樣實踐電子學習，特別是用平板電腦啦！其中移動學堂的確好用，例如家長帶小朋友去濕地公園都可以有學習活動，會上也提到不少技術操作的問題，例如現場自備流動無線路由器的好處，「課當應幾人一機」、「iPad 好定 Samsung好」等問題，算係很到地的分享。
當歐美講緊 SMILE（Social Media In Learning & Education），香港不少校長或老師仍覺得 Facebook 或 Minecraft 純粹娛樂？筆記在此，當中講者分享這幅圖，試問大家曾用過幾多？會上我也初次感受到 Pinterest ，即係把你的喜好 （interest） 釘（pin）住，完全把你的園片庫雲端化！
會上先由位於赤柱聖士提反中學的老師現身說法，準備充足，也因有學生寄宿，連學生私下裝APPs都可以 20 分鐘內上房發警告，之後由 eSchoodPad 的 CEO 黎介紹佢地的各項功能，他聲稱已跟本地最大網絡供應商合作，公司位於數碼港......自己不是 IT 組，至於公司最後用什麼 MDM......
2015/09/18
2015/07/17
等差數列
（前言）我打從心裡感到很頭痛，印象中這課題不易上手。
皆因題型及問法多變，不擅變通，且文字理解欠佳的同學更見拙劣。
不過，感恩眼前的學生已經習慣從失敗中學習，
也有不少具有幾乎無堅不摧的意志，
給予充足的時間，應該可以摸索到自己的方法。
個人認為，大部份題目均離不開「first term」和「common difference」，
事故我準備少許graphics，希望大家做得有心機，期間也乘機問他們怎樣找
... 第 20 個項？
... 第 50 個項？
... 第 100 個項？
... 第 N 個項？
如有時間，或許我在引入公式 a+(n-1)d 之前，
可以給他們自己「設計」一些方法，
雖則有些同學好期望我直接交代公式（然後不停操練至熟習）...
2014/05/05
讓人抓狂的投票 Election in sane
有一日，老師跟班上同學講以下處境故事。
有 15 位同學負責籌辦一次旅行日，當討論去哪裡，則有三種意見僵持不下：香港仔、舊咖啡灣沙灘還是長洲。（為方便閱讀，這三個地點我們以 A、B及C 表示）
於是他們決定要用「最民主」的方式解決紛爭：不記名投票。大家不假思索地舉行了最常見的選舉模式：一人一票、投給自己認為最適當的地點、以獲得最高票數的地點獲勝。
開票的結果是 A : B : C = 6 : 5 : 4，「香港仔」獲勝。
原以為那個籌備會議可以繼續進行下一項討論吧，但是，某人開始咕噥，另一個人聽到了就大聲一點兒附和，第三個人也開始咕噥，一股情緒突然就爆發了。
投票給「香港仔」的人要其他人表現民主風度：「少數服從多數嘛」。卻有人說：「畢竟有 9 個人不喜歡『香港仔』啊」。在騷動中，情緒似乎有點失控，許多人七嘴八舌地嚷嚷著，說他們最不喜歡「香港仔」。
好吧，大家都是同窗好朋友嘛，別為這小事傷和氣。有人提議說他聽說過另一種投票方法，比較『公平』，那就是所謂的「兩輪制」：把第一輪投票結果中最好的兩名取出來，所有人對這兩個候選飲料再投一次票。如果能夠幫助大家和和氣氣地達成共識，再投一次票也無妨，於是他們就做了。
第二輪的投票結果，竟然就是 A : B = 6 : 9，「舊咖啡灣沙灘」獲勝。
這樣的結果真的解決歧見了嗎？不幸地，他們之間變得更針鋒相對！看起來，喜歡去「香港仔」的人一票也沒有動搖，但是那些失去了「長洲」選項的人全部改去支持「舊咖啡灣沙灘」了。贊成去「香港仔」的人難掩氣憤之情，說你們這些想要出海的人聯合起來欺負我們。剛才他們還會熱烈爭辯，現在情況更不妙：他們彼此不說話了。
為了打破沉默的氛圍，又有一個人小心奕奕地提議：「不如大家拋棄成見，再來一次。」這次他提議一個「最科學」的作法：請每位同學給每個地點一個分數，最喜歡的給2分，次喜歡的給1分，不喜歡的給0分。然後計算每個選擇的總得分，最高分的旅行地點獲勝。這聽起來畢竟是一個新奇的作法，所以大家雖然意興闌珊，還是勉強同意了。15 個人也十分小心地在選票上填寫了分數，
計算的結果是 A : B : C = 12 : 14 : 19，「長洲」獲勝。
有位同學在坐位大叫：「怎麼會3次結果都不一樣？」，有另一個人大叫「我不去啦了」。為何3次投票得到3種結果？是有人攪鬼嗎？有人經常改變主意做牆頭草嗎？總歸來說，是這 15 個人不夠理性或是民主素養不足嗎？
選舉理論想要闡述的是：可能這並不是那 15 個人的錯，而是不同的選舉程序會造成不同的結果。
「故事講完了。」老師叫醒那些睡著的同學。
「我們今天正正要決定畢業旅行的地點…」老師接著說。
「我們是否應決定怎樣的投票方式？」平時很留心老師講話的男班長說。
「那我們又怎樣決定『怎樣的投票方式？』？」女班長說。
老師聽著，昏了過去。
====================
近日，香港的政方案剛完成了第一階段諮詢，有網友傳來這個，
香港的朋友不妨做個選擇，看看哪個才是大家心目中理想的特首選舉方式。
http://election-reform.thehousenews.com/
有 15 位同學負責籌辦一次旅行日，當討論去哪裡，則有三種意見僵持不下：香港仔、舊咖啡灣沙灘還是長洲。（為方便閱讀，這三個地點我們以 A、B及C 表示）
於是他們決定要用「最民主」的方式解決紛爭：不記名投票。大家不假思索地舉行了最常見的選舉模式：一人一票、投給自己認為最適當的地點、以獲得最高票數的地點獲勝。
開票的結果是 A : B : C = 6 : 5 : 4，「香港仔」獲勝。
原以為那個籌備會議可以繼續進行下一項討論吧，但是，某人開始咕噥，另一個人聽到了就大聲一點兒附和，第三個人也開始咕噥，一股情緒突然就爆發了。
投票給「香港仔」的人要其他人表現民主風度：「少數服從多數嘛」。卻有人說：「畢竟有 9 個人不喜歡『香港仔』啊」。在騷動中，情緒似乎有點失控，許多人七嘴八舌地嚷嚷著，說他們最不喜歡「香港仔」。
好吧，大家都是同窗好朋友嘛，別為這小事傷和氣。有人提議說他聽說過另一種投票方法，比較『公平』，那就是所謂的「兩輪制」：把第一輪投票結果中最好的兩名取出來，所有人對這兩個候選飲料再投一次票。如果能夠幫助大家和和氣氣地達成共識，再投一次票也無妨，於是他們就做了。
第二輪的投票結果，竟然就是 A : B = 6 : 9，「舊咖啡灣沙灘」獲勝。
這樣的結果真的解決歧見了嗎？不幸地，他們之間變得更針鋒相對！看起來，喜歡去「香港仔」的人一票也沒有動搖，但是那些失去了「長洲」選項的人全部改去支持「舊咖啡灣沙灘」了。贊成去「香港仔」的人難掩氣憤之情，說你們這些想要出海的人聯合起來欺負我們。剛才他們還會熱烈爭辯，現在情況更不妙：他們彼此不說話了。
為了打破沉默的氛圍，又有一個人小心奕奕地提議：「不如大家拋棄成見，再來一次。」這次他提議一個「最科學」的作法：請每位同學給每個地點一個分數，最喜歡的給2分，次喜歡的給1分，不喜歡的給0分。然後計算每個選擇的總得分，最高分的旅行地點獲勝。這聽起來畢竟是一個新奇的作法，所以大家雖然意興闌珊，還是勉強同意了。15 個人也十分小心地在選票上填寫了分數，
計算的結果是 A : B : C = 12 : 14 : 19，「長洲」獲勝。
有位同學在坐位大叫：「怎麼會3次結果都不一樣？」，有另一個人大叫「我不去啦了」。為何3次投票得到3種結果？是有人攪鬼嗎？有人經常改變主意做牆頭草嗎？總歸來說，是這 15 個人不夠理性或是民主素養不足嗎？
選舉理論想要闡述的是：可能這並不是那 15 個人的錯，而是不同的選舉程序會造成不同的結果。
「故事講完了。」老師叫醒那些睡著的同學。
「我們今天正正要決定畢業旅行的地點…」老師接著說。
「我們是否應決定怎樣的投票方式？」平時很留心老師講話的男班長說。
「那我們又怎樣決定『怎樣的投票方式？』？」女班長說。
老師聽著，昏了過去。
====================
近日，香港的政方案剛完成了第一階段諮詢，有網友傳來這個，
香港的朋友不妨做個選擇，看看哪個才是大家心目中理想的特首選舉方式。
http://election-reform.thehousenews.com/
2014/04/14
咁多，點背啊？
有學生看到以下 Trigo. Identities，開口問以上問題。
老師：「試吓抄10次先啦」（唔係卦？真係要咁先記到？）
相信大家學數也曾遇到類似經驗。
求個明白，大家都想。但課時所限，
當你身邊的朋友都找到法子又做對了習題，
壓力便漸漸累積起來。死記爛記也不得其法。
「我由小學計算面積題都係背公式架啦！背唔到就背唔到啦！」
這是我家老媽子的例牌答案。
孰能生巧，功多藝熟的道理無人不知，
但放在自己身上為何卻舉步為艱？
這裡我當然假設你有心想試，
也努力了好一陣子，不然你大可不必看下去，
只需做好考試肥佬的覺悟另謀出路。（被毆中）
言歸正傳，要處理以上問題。大家先認清一些事實：
$\theta$ 當作銳角。（acute angle，即不大於$90^{\circ}$）
positive angle 以及 negative angle 均以 positive x-axis 作分界線。
$90^{\circ}+\theta$ 看作屬於第二象限。（2nd quadrant）
$180^{\circ}+\theta$ 看作屬於第三象限。
$270^{\circ}+\theta$ 看作屬於第四象限。
$360^{\circ}-\theta$ 也看作屬於第四象限。
法則一：A-S-T-C 原則
網上的背誦方法：Add-Sugar-To-Coffee、All-Students-Talk-Cantonese(事關我以前本教科書係用CAST呢個詞彙，EMI學校就會知)
A-S-T-C 的意思指，
屬於第一象限裡的角，無論 Sine、Cosine、Tangent，其對應值均為正數（All）
屬於第二象限裡的角，只有 Sine 才是正數（Sine），其他用負號表示。
屬於第三象限裡的角，只有 Cosine 才是正數（Cosine），其他用負號表示。
屬於第四象限裡的角，只有 Tangent 才是正數（Tangent），其他用負號表示。
(見圖解)
法則二：只考慮 $(180^{\circ}\pm\theta)$ 及 $(360^{\circ}\pm\theta)$ 的情況（即連結的紅色部份）
其實除了「正負號」可能不同，個答案同題目一樣。
例：
$sin(180^{\circ}+\theta)=-sin\theta$
$cos(180^{\circ}+\theta)=-cos\theta$
$tan(180^{\circ}+\theta)=+tan\theta$
（題目用sin，答案都用sin，如此類推。至於正定負，就觀察左方括號內的角屬於哪個象限，再用 A-S-T-C 原則）
（總結）
老師：「試吓抄10次先啦」（唔係卦？真係要咁先記到？）
相信大家學數也曾遇到類似經驗。
求個明白，大家都想。但課時所限，
當你身邊的朋友都找到法子又做對了習題，
壓力便漸漸累積起來。死記爛記也不得其法。
「我由小學計算面積題都係背公式架啦！背唔到就背唔到啦！」
這是我家老媽子的例牌答案。
孰能生巧，功多藝熟的道理無人不知，
但放在自己身上為何卻舉步為艱？
這裡我當然假設你有心想試，
也努力了好一陣子，不然你大可不必看下去，
只需做好考試肥佬的覺悟另謀出路。（被毆中）
言歸正傳，要處理以上問題。大家先認清一些事實：
$\theta$ 當作銳角。（acute angle，即不大於$90^{\circ}$）
positive angle 以及 negative angle 均以 positive x-axis 作分界線。
$90^{\circ}+\theta$ 看作屬於第二象限。（2nd quadrant）
$180^{\circ}+\theta$ 看作屬於第三象限。
$270^{\circ}+\theta$ 看作屬於第四象限。
$360^{\circ}-\theta$ 也看作屬於第四象限。
法則一：A-S-T-C 原則
網上的背誦方法：Add-Sugar-To-Coffee、All-Students-Talk-Cantonese(事關我以前本教科書係用CAST呢個詞彙，EMI學校就會知)
A-S-T-C 的意思指，
屬於第一象限裡的角，無論 Sine、Cosine、Tangent，其對應值均為正數（All）
屬於第二象限裡的角，只有 Sine 才是正數（Sine），其他用負號表示。
屬於第三象限裡的角，只有 Cosine 才是正數（Cosine），其他用負號表示。
屬於第四象限裡的角，只有 Tangent 才是正數（Tangent），其他用負號表示。
(見圖解)
法則二：只考慮 $(180^{\circ}\pm\theta)$ 及 $(360^{\circ}\pm\theta)$ 的情況（即連結的紅色部份）
其實除了「正負號」可能不同，個答案同題目一樣。
例：
$sin(180^{\circ}+\theta)=-sin\theta$
$cos(180^{\circ}+\theta)=-cos\theta$
$tan(180^{\circ}+\theta)=+tan\theta$
（題目用sin，答案都用sin，如此類推。至於正定負，就觀察左方括號內的角屬於哪個象限，再用 A-S-T-C 原則）
（總結）
2014/02/11
規尺作圖（理論）
前言：找回 5 年前曾撰寫的文章，希望做一些較詳細的紀錄。
「規尺作圖」的每一步驟，只可做以下事情：
(1)兩點間聯一直線；
(2)以一點為圓心，已知長為半徑作圓；
(3)取得兩直線、兩圓或一線一圓的交點。
對於用圓規及直尺的經驗，相信很多同學都曾嘗試繪製等邊三角形或正六邊形吧？Cleave Book裡有好些圖案可供喜歡的朋友發揮創意。如果加埋量角器，要畫出任意正多邊形可謂毫無難度（對n邊形，每隻外角必定是360o/n吧）。但是在古希臘時代，作圖只使用沒有刻度的直尺（unmarked ruler）和圓規（compass）。目前為止，邊數小於100，可以尺規作圖的正多邊形如下：
3、4、5、6、8、10、12、15、16、17
20、24、30、32、34、40、48、51、60、64
68、80、85、96
亞基米德正是用此幾何技巧，
繪製圓內接和外切正96邊形，
藉其周界的上下限確定圓周長度，
進而得到圓周率介於3.14163及3.14286之間
（準確至小數點後 2 位，都算厲害吧？）
一般而言，只要是有理數，
甚至經過有限次四則運算以及開方得出的數量，
都可以用規尺繪製出來，如 2 的開方，
你可以畫一等腰直角三角形（腰長為1），
斜邊的長度必定是 2 的開方（1.414...）。
我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。
希臘人強調作圖只能用直尺圓規，
為什麼要這樣限制呢？有下列三點原因：
1.希臘數學的基本精神，期望用最少假定（定義、公理、公設）演繹最多的定理。對工具上自然也應限制最少的程度。
2.根據＜幾何原本＞對作圖做的公設（1.任何兩點之間可聯一直線；2.直線可任意延長；3.以任何中心任何半徑可作一圓），作圖工具就只能用尺規。而畢氏學派主張圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學中最基本的研究對象，有了尺規，圓和直線已經能夠作出，這些都促使尺規作圖成為金科玉律，流傳至今。
3.柏拉圖主張通過幾何學習達致邏輯思維的訓練，正如體育鍛練體格，運動須受各種規則器械等限制，同樣訓練思維的幾何學也應該對作圖工具有所限制。
訓練邏輯思維為什麼不直接學習邏輯規律而要借助幾何學呢？理由是幾何學能給予人強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中，邏輯的推理和結論還可以通過實際的觀測來驗證，使抽象規律和感性認識結合起來，收到相得益彰之效。兩千多年來的實踐證明，通過幾何學習來培養邏輯思維能力，的確是行之有效的方法。［來源：梁宗巨著，數學歷史典故，九章］
有些問題好像很簡單，但做起來卻很困難，直到一千多年之後才證實無解。最有名要數以下幾何三大難題：
化圓為方：求作一正方形使其面積等於一已知圓
三等分角：把任意角分三等份
倍立方：求作一立方體是其體積是一已知立方體的兩倍
以下軟件可給大家作熱身之用，讀者可直接下載，一試身手。且看能否破解下列問題：
1. 如何繪製45o、60o及75o的銳角？
2. 給予A, B, C 三點（他們不在同一條直線上），
(a) 如何作一直線，使得三點至該直線的距離相等？
(b) 如何作一圓形，使該圓通過該三點？
(c) 如何作一點，使該點與該三點的總距離為最小值？
3. 如何作一三角形ABC，AB = 5，AC = 4，且通過A點之中線等於3？
4. 如何作一三角形ABC，AB = 6，angleACB = 60o，且通過C點之中線等於5？
5. 給予已知三角形ABC，如何作線段 AB 及 AC 上之兩點 E 及 F，使 EF//BC 且 AE CF？
6. 給予已知一線段，如何平均分三等份？
7. 給予已知一四邊形，如何作一面積相等之三角形？
8. 給予平面上三個圓，如何作一圓與這三圓相切？
Q8 是很有名的「阿波羅尼斯問題」，該3個圖形可以是點、直線或圓
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幾何作圖（Lii & Hjr）
http://163.30.150.88/lii/flashMath/diaGraph.htm
這是專為中小學老師設計，我個人最愛它無文字，夠簡潔，教學動畫之中是我至今較喜歡的。
大哉言數（李柏良的網頁）
http://www.mathsgreat.com/const.html
李柏良先生從事教師培訓、視學和課程發展多年，不知他仍否在EDB的數學教育組工作，但毫無疑問，裡面的內容也夠豐富。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html
拜讀曹老師的「阿草的XXXX」天下文化出品，是我云云數學書中保留較長的系列。撰文時他任教台大數學系，現在應該正享受退休生活。
規尺作圖（教學資源）
看到香港奧數在年前引入「規尺作圖」的題目，心裡倒是高興，因為能「做到」這類題目給予很大的滿足吧（也可能自己對這類題目因見識少而有新鮮感，那些年還未掌握箇中技巧而多花好些精力）。
「規尺作圖」的玩法
Bisecting an angle（作「角平分線」之法，初級技巧）
Copy an angle（也是初級技巧）
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle（也是作等邊三角形之應用技巧）
Construct a 45° angle（先作直角後作平分，算是進階技巧吧？雖然也很淺...）
Construct a 30° angle
上面是關於「角（Angle）」，以下則是與「線（Lines）」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)
一般而言，只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量，都可以用規尺作出來，我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。（但那如何對一般的中二生說得明白？記住這段，待他日再深思吧）
「規尺作圖」的玩法
- 直尺只能用來畫直線（不是用間尺，作圖時不會用上刻度）
- 圓規只能用來畫圓或弧線
- 所有的曲線都要用直尺及圓規畫出
- 規定做圖都要在有限步驟內完成
Bisecting an angle（作「角平分線」之法，初級技巧）
Copy an angle（也是初級技巧）
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle（也是作等邊三角形之應用技巧）
Construct a 45° angle（先作直角後作平分，算是進階技巧吧？雖然也很淺...）
Construct a 30° angle
上面是關於「角（Angle）」，以下則是與「線（Lines）」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)
一般而言，只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量，都可以用規尺作出來，我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。（但那如何對一般的中二生說得明白？記住這段，待他日再深思吧）
2014/01/25
怎樣才是一份好的筆記？(version 1.0)
從事教育事業已有好些年日，不喜歡因循，
於是我重新思考這個問題，反正未有定論，
於是我用「平時分」要求全體學生由零開始交出一手筆記。
首先，我訂了一些「可計分準則」
- 準時交筆記（因為我會悉數Scan落電腦，那是為行政上的節省時間）
- 用指定單行紙（試過用其他紙而令Scanner食紙，也是為行政上的節省時間）
- 完整個人資料，包括著作人、班別班號、日期、學科
- 在當眼處清晰顯示該課「主題」及「副題」
- 充足的個案例題（有感這一代不多能夠由「定義」或「公式」去演譯）
- 清楚標示「technical term(s)」，必要時附加註解或圖解
- 能有效運用顏色作不同用途
- 驟眼望去，字體端正（最低限度要清楚，可能受個人閱卷的經驗所限，對傾向使用斜體字的學生，我會較花精力評卷）
- 個人心得（可以是「學生自問自答的問題」、「技巧上的步驟」、「給自己的貼士」等）
- 令人意外的驚喜（我相信天外有天，我上述設計的原則總會有未能欣賞到的好處，就用這個作加分）
是故每項 0 或 10 分，一份「十全筆記」這樣就有初型。
執行上不都是無「挑戰」的，
有學生直接了當問：「筆記不是給自己看嗎？」
（印象中是在我闡述第八項後馬上在座位發問）
我個人是同意！他/她說對了事實的一部份。只不過，
風格可以保留，但不會完全不變。尤其是「字體」，
在考試主導，答卷上的字體凌亂，分明跟閱卷員對著幹。
如果有相關行動研究，可訪談大量閱卷員（不論校外校內），
「斜體字或正體字，閱卷時哪個較花精力？」、
「怎樣的書寫字體較為順眼？」等等。
風格可以保留，但不會完全不變。
可以是透過互相模仿而改進的。
合用的筆記就是好的筆記，
因人而異，因時而異。（所以沒有最好）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
除以上十項「可計分準則」，
還有更加多是「不可量度的變數」，
那可以是受限於我用的例子、重點位，
何時引入哪些重點等，還是果句，
教學是一門藝術，你我可以有無限的可能性，
在漫長的數學學習路上，有如進行藝術創作，
沒有完全相同的法則。
歡迎同工賜教。
2014/01/07
何謂「屈指一算」？
計算啫，點解要屈指？大家都知古代無計算機，
那時的計算，不是用算籌或算珠的嗎？
「指算」就是利用左手五指的伸、屈動作進行運算。
下圖所示的10個數，可有發現0和5、1和6、2和7、3和8、4和9
的指法完全相反？（而且，每數數剛好相差5哩...）
在指算法中，由１變６或２變７等，
這伸、屈互變的動作稱為「反手」。
以下我試試介紹一些較易明的運算法則
個位數加法
個位數乘法
歡迎留言查詢，你的回覆是我發帖的最大動力！
延伸：９的乘法手指算（昌爸工作坊）
那時的計算，不是用算籌或算珠的嗎？
「指算」就是利用左手五指的伸、屈動作進行運算。
下圖所示的10個數，可有發現0和5、1和6、2和7、3和8、4和9
的指法完全相反？（而且，每數數剛好相差5哩...）
在指算法中，由１變６或２變７等，
這伸、屈互變的動作稱為「反手」。
以下我試試介紹一些較易明的運算法則
個位數加法
(1)五指全伸腦「進1」（任何數，加到10就進位囉）
(2)反手時，食指由伸變屈「進1」(6至9的數，加上5時就進位囉)
例如：７＋５＋５＋５＋５
手指由打出7，每次加5做一次「反手」（即７），
腦就記住「進位」（即２），故答案為２７。
個位數乘法
(1)伸指相加(作進位)，屈指相乘
(2)上面兩個答案相加
以６乘７為例，利用上圖的指法，
總共有１＋２＝３隻伸手指，代表３０，
屈手指３ｘ４＝１２，
３０＋１２即４２！嘿嘿嘿嘿~
歡迎留言查詢，你的回覆是我發帖的最大動力！
延伸：９的乘法手指算（昌爸工作坊）
2013/05/22
[轉載] 現代教師必備十式
[原文可按圖片，但我希望按本地情境去翻譯及補充]
前言：
早幾年還懷疑如何讓老師相信 Palm 怎樣走進課室，
豈料 angry bird、myTV.com、candy crush 等浪潮，
今時今日你看地鐵車廂有多少人手裡不在使用智能手機？
未來世界使用電子教學的效應值(effect size)，可謂相當具潛力。
- 開創自己的PLN（Personal learning network 或 Professional learning network 或其他？）：一不止於校內同儕協作，網絡令你有效求教，借橋又得，延伸課堂討論亦得，從今天起，習慣更新你的Facebook/Twitter/Google+/Learnist...
- 建立真實關係：除知道網名外多作進一步交流，或是借電郵仿傚 Fermat 和 Pascal 書信談論數學，在現實世界做你朋友的好朋友。
- 清楚哪裡用得著科技：給自己照肺，15 秒內想不到某科技怎麼幫助你，放手吧！
- 懂得找有用資源：本地除了數學真魅，還有這裡、這裡及這裡，你可以試試看 Google Reader 之類的社群資訊軟體。裡面未必以教育資訊為主，但這些工具能讓教師緊貼潮流。（編者按：其實我較喜歡看１００毛）
- 管理好你在網絡的名聲：別在不同地方留下你足跡。（編者按：早前我開了近十個不同的Blog 及 Album，現在保持更新的就只是這裡）
- 正確使用部落格：一言既出，幾乎不可能被刪掉，總之，文責自負。
- 慢下來：除了快思，多一些慢想，雖知學生的印象不是一時三刻才建構。
- 主導你的網上群組：別為上網而上網（除非你真的閒暇），時間用光了，得不嚐失。
- 別怕失敗：補充第三點，過程中難免有不完美的地方（譬如筆者今年大膽番新校內的工作紙及引入新的教學工具，也收到不少意見）嘗試，別怕你的學生挑剔，只消下次做得更好。
- 明白何時離線：別等精力耗盡才曉得關機，上述各點是學不完的功課。
原文在這裡
2013/05/13
2013/05/11
淺談「負負得正」（下）
前言：錯過了黃毅英老師主講的機會，幸好有人替我取了教育局「數學百子櫃系列（十四）」，那是關於中小學數學教師的所需數學知識。面剛好提及負負得正，今日只是重新探討。「點解『負負得正』既？」（一個來自小五生的問題）
「你玩過UNO嗎？」（嗯！）
「若你同時出兩隻 Reverse，接下來會怎樣？」（繼續不變囉）
「即下一個出牌啦，對不對？」（嗯！）
在等巴士的時間，
在沒有知悉對方先備知識的情況下，
這樣無咩學術味道，他看來似明非明，
至少他的好奇心暫時被滿足了...
如果你是數學老師，
有志在數學堂大展拳腳（好暴力~），
這個課題值得你再三反思。
若你問我，在接觸「負負得正」以先，
我會花些時間建立學生對「相反數」的認識。
若 $k$ 和 $+1$ 彼此是相反數，
即 $k+1=0$，
好比太極的陰和陽，其中「陰」代表黑暗、寒冷，有「負」的味道！
陰和陽合起來則表示調和、圓滿。
再利用任何數乘以 $0$ 的想法，
即 $k(k+1)=k(0)=0$，再利用乘法分配性質，
現在$(k)(k)+ k=0$，
且看學生是否接受$(k)(k)$ 和 $k$ 彼此也是「相反數」，也就是說 $(k)(k)= 1$。
倘若我們以 $-1$ 表示 $k$，
那麼，$(-1)(-1) = +1$
口訣：同號相乘變正數！
以上的演譯只用上 $0, 1, k$，
數學味道豐富，如果有學生問起，
不妨創意地發揮這個，至少對方似乎有一絲好奇心。
不然，用得上的口誦已經令人得意地全盤接收了...
歷史又怎麼說？
========================
在《算學啟蒙》（1299）中，朱世傑提出：「明乘除法，同名相乘得正，異名相乘得負。」（作為炎黃子孫的我，用番中國的文獻咁啦，印度數學也有題及）。當然，更早《九章算術》中的《方程》也有引入了負數的「概念」和正負數加減法的運算法則。至於「符號」，我推介這個教材（也是歌頌強國人的好）。
若厭倦花精神看官方示例，其實維基百科的寫法已經可以接受：
在某些問題中，以賣出的數目為正（因是收入），買入的數目為負（因是付款）；餘錢為正，不足錢為負。在關於糧谷計算中，則以加進去的為正，減掉的為負。「正」、「負」這一對術語從這時起一直沿用到現在。其實官方示例第 15 頁正正用這模式去探索，
對不知如如何入手就要頂硬上兼教的同工，
可考慮使用~
========================
如果下次來個小四或以下的學生問及這個，
我或會參考黃毅英老師介紹的「故事模型」...
好人(+)壞人(-)、進城(+)出城(-)、好事(+)壞事(-)
所以，
好人(+)入城(+) = 好事(+)
壞人(-)出城(-) = 好事(-)
口訣：同號相乘變正數！
如果對方年紀再細一點，
可考慮把好人改做這個：
當然，一切以全圖畫方式演譯啦
老師！你在講故事哩，
記得保持童心喔。（笑！）
2013/05/10
2013/04/20
淺談「負負得正」（中）
前言：有幸能出席母校舉辦的「照顧學習差異與學校改進」中學分享會，也很驚訝學校多了很多美輪美奐的建築物，外表背後，我更喜歡周圍多了很多可以一家大小甚至孤家寡人打發時間打書釘的地方...
分享會中講者借「有向數運算」、「斐波那契數列」、「線性規劃」探討如何照顧學習差異。個人相信，令教育進步，普及知識是有效途徑。我來不及等講者回覆，便做了自己的有向數運算，另外我曾為斐波那契數列做了這個（我希望稍後再作更新）。歡迎數學教育同工下載及回饋。
若無記錯，講者提出可以發展的進路如下：
- 簡單應用：有向數乘除（有括號）
- 進階應用：有向數四則運算（無括號）
- 深入應用：有向數四則運算（有括號）
探討「負負得正」這些好似非死記不可的東東。
後記：筆者試打黃先生名字作關鍵字搜尋，
找到這個，裡面有好些圖表及心得，
跟週末分享會環節異曲同工，不妨細閱。
2013/04/07
淺談「負負得正」(上)
有次，同事甲向其兒子介紹我是一位數學老師。當下我覺得嘖嘖稱奇，以我所知，
兒子：「你是數學老師？我想問點解『負負得正』既？」
對方是小五生，正規課程鮮有提及。
再者，筆者相信那是很多同工一個棘手的問題。
再要命的，是當日我的正副panel也在場，
panel當時正站在身後，像是不以為意，還是靜觀其變？
如果我說：「你身後也是一位數學老師，不如你問佢啦」
恐怕大家不會有機會看到這段文字。我也有「妙法」拆招。
那麼，何解「負負得正」呢？歡迎回應。
若是我校學生，如有獨到見解，
一經採用，小小紀念品一份，
名額２位，先到先得。
2013/04/05
印度數學 Vedic Math
幾年前遊台北，隨手買了本【印度數學】，其實坊間已有很多討論速算的課外閱讀，甚至中學數學科網頁也不難找到，只是技巧說得太多，卻鮮有提及速算的典故。
印度數學的心算解題方式與概念相當簡單，
即便是沒有數學基礎，也能快樂學習輕鬆掌握！
20 以內的乘法
例題：$17\times18 = ? $
步驟一：$(17+8)\times10=250$
步驟二：$7\times8=56$
步驟三：$250+56=306$
所以 $17\times18 =306 $
單用這個技巧，有說法指印度兒童能學習 $20\times20$ 以內的乘法。
中國人用的九因歌則是用唱遊方式，性質不一樣，
數學味道少一點，但對初學者而言較易上手。
有意深究的同工，在搜尋器宜輸入吠陀數學 Vedic mathematics，
Vedic Math 是啟發自印度經文 Vedas，
由學者Sri Bharati Krsna Tirthaji (1844-1960)重新編撰而成，
「聞說」大部份仍然丟失，
Vedic Math 是坊間唯一流傳的作品。
(書介在此，如有更新消息，歡迎同工指正)
令我驚訝的是，這些自小在課外書找到的技巧，
今日竟然可變成須付費的課程，
明顯是看準很怕數學的家長。
個人認為，能熟習並恒常使用所有乘法內容，
已經對鍛鍊腦筋很有益。培養閱讀習慣才是根本！
印度數學的心算解題方式與概念相當簡單，
即便是沒有數學基礎，也能快樂學習輕鬆掌握！
20 以內的乘法
例題：$17\times18 = ? $
步驟一：$(17+8)\times10=250$
步驟二：$7\times8=56$
步驟三：$250+56=306$
所以 $17\times18 =306 $
文字說明：
1. 把「被乘數」跟「乘數」的個位數字相加後乘以10
2. 把「被乘數」及「乘數」的個位數字相乘
3. 把第 1 步及第 2 步的答案相加就行了
（記得以前中大黃毅英老師笑稱這個方法做「你加乘」）
單用這個技巧，有說法指印度兒童能學習 $20\times20$ 以內的乘法。
中國人用的九因歌則是用唱遊方式，性質不一樣，
數學味道少一點，但對初學者而言較易上手。
有意深究的同工，在搜尋器宜輸入吠陀數學 Vedic mathematics，
Vedic Math 是啟發自印度經文 Vedas，
由學者Sri Bharati Krsna Tirthaji (1844-1960)重新編撰而成，
「聞說」大部份仍然丟失，
Vedic Math 是坊間唯一流傳的作品。
(書介在此，如有更新消息，歡迎同工指正)
令我驚訝的是，這些自小在課外書找到的技巧，
今日竟然可變成須付費的課程，
明顯是看準很怕數學的家長。
個人認為，能熟習並恒常使用所有乘法內容，
已經對鍛鍊腦筋很有益。培養閱讀習慣才是根本！
2013/04/04
［改編］數學老師淺談市場學 Maths in Marketing
「我教數學很厲害哦！」這是直銷。
「他教數學很厲害哦！」這是廣告。
翌日用電郵跟他說：
「順道一提...我教數學很厲害哦！」這是電郵行銷。
在待他上線後閒談，再跟他說：
「順道一提...我教的數很厲害哦！」這是公關。
你看到一位在線同工，他打趣跟你說：
「我聽說...你教的數很厲害哦！」這是品牌魅力。
如果你給朋友一些益處，吩咐他去和其他朋友說：
「那個老師教的數很厲害喔！」這是做媒體收買。
如果他走過去和那個學生說：
「我教的數不但很厲害，我還會給你『特別教材』喔！」這是做優惠推廣。
如果有另一個同工走過去和那個同工說：
『他教數學很厲害喔！』這就是網路口碑。
如果有一個門生一直纏著老師不放，人家問他原因，他說：
『因為他教數學很厲害囉！』這叫做品牌忠誠。
「他教數學很厲害哦！」這是廣告。
翌日用電郵跟他說：
「順道一提...我教數學很厲害哦！」這是電郵行銷。
在待他上線後閒談，再跟他說：
「順道一提...我教的數很厲害哦！」這是公關。
你看到一位在線同工，他打趣跟你說：
「我聽說...你教的數很厲害哦！」這是品牌魅力。
如果你給朋友一些益處，吩咐他去和其他朋友說：
「那個老師教的數很厲害喔！」這是做媒體收買。
如果他走過去和那個學生說：
「我教的數不但很厲害，我還會給你『特別教材』喔！」這是做優惠推廣。
如果有另一個同工走過去和那個同工說：
『他教數學很厲害喔！』這就是網路口碑。
如果有一個門生一直纏著老師不放，人家問他原因，他說：
『因為他教數學很厲害囉！』這叫做品牌忠誠。
2013/03/27
中學實用課堂 APPS
學生太沉迷使用手機應用程式？
不用擔心，那已是普遍現象，擔心也沒用。
日前撰文向本科同事推介課堂的實用軟件，
今次我先整理一些免費又算好用的 APPs，
好吸引大家注意力。用手機瀏覽本部落格的同工，
不妨自行下載試用。
Factor Tree
Dr. Geometry
Sketchpad Explorer
RulerPhone Free (Photo Measuring)
Multimeasure Free
Clinometer
Show Me Interactive Whiteboard
Quick Graph
Easel Algebra Algebra Lite / Algebra Pro
Puffion Web Browser (Free-trial for 14 days)
Slice it! Begins
Panasonic Prime Smash!
MathTerms
Geometry Pad
Math Snack HD
Nearpod
Skitch
Evernote
（多數免費，仍在更新中，歡迎回饋）
==================================
今時今日學生用智能手機多過用電腦。
如果嫌瀏覽教學網誌麻煩，
同工可考慮使用 The App Builder，
你可以在幾分鐘之內創建
一個 iPhone 或 Android 應用程式。
最重要是免費！嘩哈哈~
==================================
http://www.nearpod.com/
那是最近出席官方培訓時大力推介的，
上堂一人一部埃ｐａｄ，我相信同工心裡定有疑問：
「學生會否趁機自己瀏覽其他網頁或用其他軟件？」
限制下載？取消上網？
其實我舊校當年claim自己係資訊科技先驅，
精英班學生一人一部 palm 上電腦堂，你沒看錯，是電腦堂！
坦言，我對這個無甚好感。
不過看了有線 Money Cafe 關於 e-Learning 的發展，
恐怕三年內埃ｐａｄ會走進課室（保守估計）。
這個容許我用這個假期試用，同工不妨自行瀏覽。
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不用擔心，那已是普遍現象，擔心也沒用。
日前撰文向本科同事推介課堂的實用軟件，
今次我先整理一些免費又算好用的 APPs，
好吸引大家注意力。用手機瀏覽本部落格的同工，
不妨自行下載試用。
Factor Tree
Dr. Geometry
Sketchpad Explorer
RulerPhone Free (Photo Measuring)
Multimeasure Free
Clinometer
Show Me Interactive Whiteboard
Quick Graph
Easel Algebra Algebra Lite / Algebra Pro
Puffion Web Browser (Free-trial for 14 days)
Slice it! Begins
Panasonic Prime Smash!
MathTerms
Geometry Pad
Math Snack HD
Nearpod
Skitch
Evernote
（多數免費，仍在更新中，歡迎回饋）
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今時今日學生用智能手機多過用電腦。
如果嫌瀏覽教學網誌麻煩，
同工可考慮使用 The App Builder，
你可以在幾分鐘之內創建
一個 iPhone 或 Android 應用程式。
最重要是免費！嘩哈哈~
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http://www.nearpod.com/
那是最近出席官方培訓時大力推介的，
上堂一人一部埃ｐａｄ，我相信同工心裡定有疑問：
「學生會否趁機自己瀏覽其他網頁或用其他軟件？」
限制下載？取消上網？
其實我舊校當年claim自己係資訊科技先驅，
精英班學生一人一部 palm 上電腦堂，你沒看錯，是電腦堂！
坦言，我對這個無甚好感。
不過看了有線 Money Cafe 關於 e-Learning 的發展，
恐怕三年內埃ｐａｄ會走進課室（保守估計）。
這個容許我用這個假期試用，同工不妨自行瀏覽。
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後話
最近出席某出版社的新書發佈會，
當中負責人硬銷其獨家的視像真人解題。
其實，類似的教材在科學科也有實驗短片，
美國也一早有 YourTeacher.com，相比之下，
感覺這個製作技巧粗糙，
畢竟製作團隊是教育界的人，如果情況許可，
其實可請教傳理系出身的朋友。
個人認為，為學生提供短片輔助是否必需？
我們不都是 Chalk and Talk 下長大的麼？
我們又會否把資訊科技奉若神明，以致為用科技而學數？
［改編］ 王之渙的數學難題（解答）
早前撰文提及王之渙的數學難題，由於涉及圓冪定理（power of a point theorem），有興趣的讀者宜先預備。以下是題目解說：
如上圖所示，若 $LDC$ 及 $LBA$ 為直線，
則 $LA \times LB = LC \times LD$ 。再者，
若 $A$ 與 $B$ 愈趨愈近，則 $LC \times LD=LT^2$。
考慮 $CD$ 為地球的直徑， $LD$ 為鸛鵲樓的高度，
(這假設鸛鵲樓建於地平線上，即 $LD = 74m$)
則$LT = \sqrt{((6380000\times2+74)\times74)} = 30728.58m$。
即是說，最遠可以看到大約 30.7 公里的地方。
但今天內地的沙塵暴日益嚴重，恐怕...
如上圖所示，若 $LDC$ 及 $LBA$ 為直線，
則 $LA \times LB = LC \times LD$ 。再者，
若 $A$ 與 $B$ 愈趨愈近，則 $LC \times LD=LT^2$。
考慮 $CD$ 為地球的直徑， $LD$ 為鸛鵲樓的高度，
(這假設鸛鵲樓建於地平線上，即 $LD = 74m$)
則$LT = \sqrt{((6380000\times2+74)\times74)} = 30728.58m$。
即是說，最遠可以看到大約 30.7 公里的地方。
但今天內地的沙塵暴日益嚴重，恐怕...
2013/03/25
［改編］ 王之渙的數學難題
白日依山盡，黃河入海流。
欲窮千里目，更上一層樓。
王之渙《登鸛鵲樓》
問題是，倘若鸛鵲樓高 74m ，
地球半徑為 6380km（以赤道計算），
假設天朗氣清無煙霞，
詩人可以看到有多遠的地方？（別跟我說可以看無限遠~）
詩人登頂又能否一嚐千里目？
提示：圓冪定理
參考：數學拾趣
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