學生評語

正在構思一些給學生堂課、工作紙的「四字評語」，
原則是點到即止，不偏不倚，如實反映，
希望學生感覺到老師的心意！

開始做數、太慢了吧、別放棄啊
再接再厲、再下一城、加油加油
略有小成、快完成啦、快一半啦
最後衝刺、難不到你、只餘少許

大家還想到其他嗎？

馮．諾伊曼﹝John Von Neumann）

前言
當下失眠，用了近兩小時整理這網誌，以文字為記，
希望自己，以及各位數學老師今天不會，將來也不會。
（可能我已經係咁，不過大家錫住我，唔當面踢爆啫）

話說有位數學老師，講完一堂微積分後，有個學生走來問他：

「阿 sir，你最後o係黑板上那條問題，我唔係好明你點計 wor~」
這位老師於是轉頭盯著黑板上那個問題，看了約一分鐘，然後答：

「e^x。」這位學生聽了也不明白，於是再問：

「我知呢個係正確答案。阿 sir，我係唔明條數係點計出黎啫~」
這位老師轉而盯住這位學生一會兒，若有所思，然後移開視線，然後答：

「e^x。」這位學生開始失去耐性：

「但阿 sir 你都無話我知，你係點攞到個答案囉~」
這位老師把頭轉向她，神情嚴肅的答：

「同學，你到底想我點啊？我唔係用左兩種方法話你知點計咩？」

啟發
很多時候，老師未必憶起想當年自己做學生，學習有關課題的情況。
今日學生視作來自火星的數學，對老師昔日可以是美味的咖哩魚蛋。
加上老師面對教改，加上老師隔足一年，一次又一次教授同樣課題，
老師根本不易理解，何解學生仍然「唔係好明」。

以上聞說是博奕論（game theory）開山祖師的馮．諾伊曼﹝John Von Neumann，1903-1957）的課堂逸事。生於匈牙利，成名於美國，化學工程師出身，但期間自學數學，23歲取得博士學位。先後在柏林大學和漢堡大學任教，23歲成為普林斯頓高等研究所的終身教授。

從生卒年份，可知 Von Neumann 少年時正值戰亂。

聞說二次大戰期間，他擔任製造原子彈的顧問，為原子彈的設計方案提出許多重要建議，又於1944年參與世上首部電子計算機的設計及開發。雖然我極之反對用大殺傷力武器去制止戰爭，但電子計算機的發明破解大量納粹德軍機密，在結束歐洲戰事上，應記一功。同年他與奧斯卡．摩根斯坦（Oskar Morgenstern）合著的《博奕論與經濟行為》（The Theory of Games and Economic Behavior），亦奠定他們在經濟學的江湖地位。

傑出貢獻背後也少不了其過人才能，以下故事略見一斑。

在一次雞尾酒會裡，有人問他：「已知家明及婉君相距20km，雙雙以時速10km/hr 迎面而來。若有一隻小蜜蜂由家明飛向婉君，再飛回家明，來來回回直至他們相遇，如果蜜蜂飛行時速為15km/hr，問牠來來回回總共飛了多少 km？」

「答案咪係15km。」Von Neumann 思索片刻便指出正確答案。

見到他答得快而準，提問者遂而指出：「一般人知道每一次來回的距離愈來愈短，是等比數列，答案涉及無窮級數求和的方法（當時這可算是複雜數學，豈知今天只是會考程度的課題？）。許多人試圖用複雜的方法求解這道題目，但不知道『那二人一小時後相遇，而蜜蜂一小時飛 15km，要求的答案是 15km』的簡單道理，絕大多數數學家總忽略能解決這個問題的簡單方法。」

提問者以為 Von Neumann 準是知道這簡單方法，然而 Von Neumann 卻是語出驚人：「其實，我真係你講個種，用無窮級數求和的方法計算答案。」

後記
就第一個故事，對老師對學生對課題當然可有深不見底的反省，
不過若上堂前學生能做預習，而堂上卻無法聽明課題，
那問題多數在於老師。(總之記住要做足預習~)

斐波那契（Fibonacci）

前言
得悉來年空降，任教中一，故嘗試更新手上的教學資源。
今次選上的是梁子傑老師早年製作有關斐波那契（Fibonacci）的介紹。
只是「兔子問題」我轉用 Miffy，學生會喜歡吧？
背景用剩色的版面則為配合我用黑板教學。
（有些學校用投影片時要拉屏幕，結果大半個黑板被遮掩而不能用吧？）

考慮到學生的學習差異，故我把其他有關的例子放在下面，
作為課後延伸或學會探究活動，未嘗不可。


註：出現黑色背景時，教師可拉起投影屏幕，
先著學生分組討論，後用 chalk & talk 記下學生討論結果。

補充資料：植物的數學奇趣（香港討論區）