2011/03/07

概率教學的再思 Probability Teaching Again

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TAT TAT《概率教學》中提到一個問題:


在你面前有三度門,其中一度門後面有巨額獎金,其餘兩度門後面則只有驢仔之類的獎品(原文作"gag gifts")。
遊戲規則是這樣的:首先你選擇一度門。但主持人不會立即揭曉你有沒有得到獎金,反而會在你沒有選擇的兩度門之中,打開其中一度,而那度門外後面是驢仔。
好了,現在剩下兩度門,一度有獎金,一度沒有獎金。主持人說,現在再給你一個機會:你可以維持原來的選擇,或者改變主意,選擇另一度門。你,會怎麼樣呢?
對概率有興趣的朋友,應該對這問題稱為 Monty Hall Problem,印象中是取名自一個電視節目,入面正正是玩緊這個遊戲。找到這問題的途徑太多,不過我個人推介Mark Haddon的《深夜小狗神祕習題》(原著叫 The Curious Incident of the Dog in the Night-time,賣點是由一個自閉人仕撰寫,數學味道甚為濃厚的小說,日後再介紹吧),當年(1990年)在美國Parade雜誌 Marilyn vos Savant 的專欄刊出這道題的答案之後,收到過萬封來信大肆評擊,當中不乏數學專家學者...不過遺憾的,是超過90%來信多是自己出錯。

學校裡的老師可能曾經提及,不過即使有提及,大家是否理解又是另一回事。在下曾向一些數學老師解釋該問題,發現「要講得明白」都是頗令人頭痛的問題。在下曾向校內學生提出這問題,其中有這裡的回應:
我會維持(選擇)...因為佢兩度門入面求其打開左一度門...入面無獎...證明另外一度門有獎機會係1/3...你選擇的一度門就有1/2可能性喇...岩唔岩?
撇開對錯,我欣賞的,是學生嘗試用文字表達,老實說,不是每個數學老手都是表達高手。其實答案(答案是要轉!)和問題在網上可謂隨手可得,這裡要問的,是我們在有限的課堂時間裡,可否作一些「活動」暫時「說服」學生「應該」如何理解問題呢? 建議如下:

  1. 預備一副有 52 張的撲克牌
  2. 勝利條件:玩家抽中紅心 A
  3. 隨意選一張,不要打開
  4. 然後話事人在餘下的 51 張打開 50 張牌(當然要看過是不是紅心 A 才打開)。
  5. 現在只剩下兩張牌:玩家所選的牌,以及話事人決定不打開的牌。
這兩張中肯定有一張是紅心 A。
那麼,你會否堅持兩張牌是紅心 A 的機會都是 1/2?

當然,以上問題並不能「解釋」問題,在下只是將問題極端化。要是在課堂上,我「多數」會用列表法:考慮什麼?(每個欄的名稱)xx有什麼情況?...直至找出所有有限可能情況。

延伸閱讀:Monty Hall Problem 模擬動畫機率之回顧

p.s.
其實在下是很喜歡概率,也許我也轉載另一道著名問題作為甜品啦。
Linda,31 歲的單身女性,聰明伶俐講話直言不諱。
大學主修哲學,在學時深深地關注社會公義與歧視等議題,並且參與反核武示威運動。請你判斷其最有可能是以下哪一選項?

A. 她是一位銀行櫃員
B. 她是一位銀行櫃員而且是位女權運動的活躍分子

(若有翻譯不善之處,歡迎指正)

延伸閱讀:Conjunction_fallacy
再延伸閱讀:Kahneman, Daniel & Amos Tversky, 1972, “Subjective Probability: A Judgment of Representativeness,” Cognitive Psychology, Vol. 3, 430~454.