2013/05/22

[轉載] 現代教師必備十式

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[原文可按圖片,但我希望按本地情境去翻譯及補充]

前言:
早幾年還懷疑如何讓老師相信 Palm 怎樣走進課室,
豈料 angry bird、myTV.com、candy crush 等浪潮,
今時今日你看地鐵車廂有多少人手裡不在使用智能手機?
未來世界使用電子教學的效應值(effect size),可謂相當具潛力。


  1. 開創自己的PLN(Personal learning network 或 Professional learning network 或其他?):一不止於校內同儕協作,網絡令你有效求教,借橋又得,延伸課堂討論亦得,從今天起,習慣更新你的Facebook/Twitter/Google+/Learnist...
  2. 建立真實關係:除知道網名外多作進一步交流,或是借電郵仿傚 Fermat 和 Pascal 書信談論數學,在現實世界做你朋友的好朋友。
  3. 清楚哪裡用得著科技:給自己照肺,15 秒內想不到某科技怎麼幫助你,放手吧!
  4. 懂得找有用資源:本地除了數學真魅,還有這裡這裡這裡,你可以試試看 Google Reader 之類的社群資訊軟體。裡面未必以教育資訊為主,但這些工具能讓教師緊貼潮流。(編者按:其實我較喜歡看100毛)
  5. 管理好你在網絡的名聲:別在不同地方留下你足跡。(編者按:早前我開了近十個不同的Blog 及 Album,現在保持更新的就只是這裡)
  6. 正確使用部落格:一言既出,幾乎不可能被刪掉,總之,文責自負。
  7. 慢下來:除了快思,多一些慢想,雖知學生的印象不是一時三刻才建構。
  8. 主導你的網上群組:別為上網而上網(除非你真的閒暇),時間用光了,得不嚐失。
  9. 別怕失敗:補充第三點,過程中難免有不完美的地方(譬如筆者今年大膽番新校內的工作紙及引入新的教學工具,也收到不少意見)嘗試,別怕你的學生挑剔,只消下次做得更好。
  10. 明白何時離線:別等精力耗盡才曉得關機,上述各點是學不完的功課。

原文在這裡

2013/05/13

淺談數學文明(1)

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最近不知不覺,上堂講多了些數學史。
關於數學史與數學教學之關聯,
我很羨慕彼岸的氛圍
是故,我試用一個比較潮的方法,
介紹微積分問世前的數學文明
好激發大家的思考。

內容絕不嚴謹!畢竟我在大學修數學史也不是很高分,看過作罷!

如果你就是我所指的「香港學生」,
有所共鳴的話,不妨向你的數學老師傾訴。XD

延伸閱讀:回顧中學數學

2013/05/11

淺談「負負得正」(下)

前言:錯過了黃毅英老師主講的機會,幸好有人替我取了教育局「數學百子櫃系列(十四)」,那是關於中小學數學教師的所需數學知識。面剛好提及負負得正,今日只是重新探討。
「點解『負負得正』既?」(一個來自小五生的問題
「你玩過UNO嗎?」(嗯!)
「若你同時出兩隻 Reverse,接下來會怎樣?」(繼續不變囉)
「即下一個出牌啦,對不對?」(嗯!)

在等巴士的時間,
在沒有知悉對方先備知識的情況下,
這樣無咩學術味道,他看來似明非明,
至少他的好奇心暫時被滿足了...

如果你是數學老師,
有志在數學堂大展拳腳(好暴力~),
這個課題值得你再三反思。

若你問我,在接觸「負負得正」以先,
我會花些時間建立學生對「相反數」的認識。
若 $k$ 和 $+1$ 彼此是相反數,
即 $k+1=0$,
好比太極的陰和陽
,其中「陰」代表黑暗、寒冷,有「負」的味道!
陰和陽合起來則表示調和、圓滿。

再利用任何數乘以 $0$ 的想法,
即 $k(k+1)=k(0)=0$,再利用乘法分配性質,
現在$(k)(k)+ k=0$,
且看學生是否接受$(k)(k)$ 和 $k$ 彼此也是「相反數」,
也就是說 $(k)(k)= 1$。
倘若我們以 $-1$ 表示 $k$,
那麼,$(-1)(-1) = +1$
口訣:同號相乘變正數!

以上的演譯只用上 $0, 1, k$,
數學味道豐富,如果有學生問起,
不妨創意地發揮這個,至少對方似乎有一絲好奇心。
不然,用得上的口誦已經令人得意地全盤接收了...


歷史又怎麼說?
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在《算學啟蒙》(1299)中,朱世傑提出:「明乘除法,同名相乘得正,異名相乘得負。」(作為炎黃子孫的我,用番中國的文獻咁啦,印度數學也有題及)。當然,更早《九章算術》中的《方程》也有引入了負數的「概念」和正負數加減法的運算法則。至於「符號」,我推介這個教材(也是歌頌強國人的好)。

若厭倦花精神看官方示例,其實維基百科的寫法已經可以接受:
在某些問題中,以賣出的數目為正(因是收入),買入的數目為負(因是付款);餘錢為正,不足錢為負。在關於糧谷計算中,則以加進去的為正,減掉的為負。「正」、「負」這一對術語從這時起一直沿用到現在。
其實官方示例第 15 頁正正用這模式去探索,
對不知如如何入手就要頂硬上兼教的同工,
可考慮使用~
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如果下次來個小四或以下的學生問及這個,
我或會參考黃毅英老師介紹的「故事模型」...

好人(+)壞人(-)、進城(+)出城(-)、好事(+)壞事(-)

所以,
好人(+)入城(+) = 好事(+)
壞人(-)出城(-) = 好事(-)
口訣:同號相乘變正數!

如果對方年紀再細一點,
可考慮把好人改做這個:

當然,一切以全圖畫方式演譯啦
老師!你在講故事哩,
記得保持童心喔。(笑!)



2013/05/10

快思慢想之 Two-table Illusion

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這陣子正享受閱讀 Kahneman 的快思慢想(試讀按此),果然是大師級作品,裡面題到的「系統一」、「系統二」,正好讓我用以下例子給大家思考。

右面的圖,活躍網絡的朋友應該不感到陌生。系統一(直覺)會告訴你兩張枱是不同的。當然,知道「答案」的朋友,便學會發動系統二(經驗),告訴自己它們面積相同。




(好戲才剛開始)




看到這段文字,你再回想,
這兩張桌子的桌面部份,
又是否乎合數學上的全等(congruent)呢?

有興趣動手做的朋友,不妨下載我這個ppt檔
(原本用作引入全等圖形的概念)。

2013/04/20

淺談「負負得正」(中)

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前言:有幸能出席母校舉辦的「照顧學習差異與學校改進」中學分享會,也很驚訝學校多了很多美輪美奐的建築物,外表背後,我更喜歡周圍多了很多可以一家大小甚至孤家寡人打發時間打書釘的地方...

分享會中講者借「有向數運算」、「斐波那契數列」、「線性規劃」探討如何照顧學習差異。個人相信,令教育進步,普及知識是有效途徑。我來不及等講者回覆,便做了自己的有向數運算,另外我曾為斐波那契數列做了這個(我希望稍後再作更新)。歡迎數學教育同工下載及回饋。

若無記錯,講者提出可以發展的進路如下:

  1. 簡單應用:有向數乘除(有括號)
  2. 進階應用:有向數四則運算(無括號)
  3. 深入應用:有向數四則運算(有括號)
我也希望就有向數乘除,
探討「負負得正」這些好似非死記不可的東東。

後記:筆者試打黃先生名字作關鍵字搜尋,
找到這個,裡面有好些圖表及心得,
跟週末分享會環節異曲同工,不妨細閱。

2013/04/07

淺談「負負得正」(上)

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有次,同事甲向其兒子介紹我是一位數學老師。
兒子:「你是數學老師?我想問點解『負負得正』既?」
當下我覺得嘖嘖稱奇,以我所知,
對方是小五生,正規課程鮮有提及。
再者,筆者相信那是很多同工一個棘手的問題。

再要命的,是當日我的正副panel也在場,
panel當時正站在身後,像是不以為意,還是靜觀其變?

如果我說:「你身後也是一位數學老師,不如你問佢啦」
恐怕大家不會有機會看到這段文字。我也有「妙法」拆招。

那麼,何解「負負得正」呢?歡迎回應。
若是我校學生,如有獨到見解,
一經採用,小小紀念品一份,
名額2位,先到先得。

2013/04/05

〔轉載〕猜數字遊戲

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我本身知道答案(要有小孩子的想法唷),
也在網頁放了提示,當然你也可以搜尋答案!XD

印度數學 Vedic Math

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幾年前遊台北,隨手買了本【印度數學】,其實坊間已有很多討論速算的課外閱讀,甚至中學數學科網頁也不難找到,只是技巧說得太多,卻鮮有提及速算的典故。

印度數學的心算解題方式與概念相當簡單,
即便是沒有數學基礎,也能快樂學習輕鬆掌握!

20 以內的乘法
例題:$17\times18 = ? $
步驟一:$(17+8)\times10=250$
步驟二:$7\times8=56$
步驟三:$250+56=306$
所以 $17\times18 =306 $
文字說明:
1. 把「被乘數」跟「乘數」的個位數字相加後乘以10
2. 把「被乘數」及「乘數」的個位數字相乘
3. 把第 1 步及第 2 步的答案相加就行了
(記得以前中大黃毅英老師笑稱這個方法做「你加乘」)

單用這個技巧,有說法指印度兒童能學習 $20\times20$ 以內的乘法。
中國人用的九因歌則是用唱遊方式,性質不一樣,
數學味道少一點,但對初學者而言較易上手。

有意深究的同工,在搜尋器宜輸入吠陀數學 Vedic mathematics
Vedic Math 是啟發自印度經文 Vedas,
由學者Sri Bharati Krsna Tirthaji (1844-1960)重新編撰而成,
「聞說」大部份仍然丟失,
Vedic Math 是坊間唯一流傳的作品。
(書介在此,如有更新消息,歡迎同工指正)

令我驚訝的是,這些自小在課外書找到的技巧,
今日竟然可變成須付費的課程
明顯是看準很怕數學的家長。
個人認為,能熟習並恒常使用所有乘法內容,
已經對鍛鍊腦筋很有益。培養閱讀習慣才是根本!







2013/04/04

[改編]數學老師淺談市場學 Maths in Marketing

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「我教數學很厲害哦!」這是直銷。

「他教數學很厲害哦!」這是廣告。

翌日用電郵跟他說:
「順道一提...我教數學很厲害哦!」這是電郵行銷。

在待他上線後閒談,再跟他說:
「順道一提...我教的數很厲害哦!」這是公關。

你看到一位在線同工,他打趣跟你說:
「我聽說...你教的數很厲害哦!」這是品牌魅力。

如果你給朋友一些益處,吩咐他去和其他朋友說:
「那個老師教的數很厲害喔!」這是做媒體收買。

如果他走過去和那個學生說:
「我教的數不但很厲害,我還會給你『特別教材』喔!」這是做優惠推廣。

如果有另一個同工走過去和那個同工說:
『他教數學很厲害喔!』這就是網路口碑。

如果有一個門生一直纏著老師不放,人家問他原因,他說:
『因為他教數學很厲害囉!』這叫做品牌忠誠。


2013/03/27

中學實用課堂 APPS

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學生太沉迷使用手機應用程式?
不用擔心,那已是普遍現象,擔心也沒用。


日前撰文向本科同事推介課堂的實用軟件,
今次我先整理一些免費又算好用的 APPs,
好吸引大家注意力。用手機瀏覽本部落格的同工,
不妨自行下載試用。

Factor Tree
Dr. Geometry
Sketchpad Explorer
RulerPhone Free (Photo Measuring)
Multimeasure Free
Clinometer
Show Me Interactive Whiteboard
Quick Graph
Easel Algebra Algebra Lite / Algebra Pro
Puffion Web Browser (Free-trial for 14 days)
Slice it! Begins
Panasonic Prime Smash!
MathTerms
Geometry Pad
Math Snack HD
Nearpod
Skitch
Evernote
(多數免費,仍在更新中,歡迎回饋)

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今時今日學生用智能手機多過用電腦。
如果嫌瀏覽教學網誌麻煩,
同工可考慮使用 The App Builder
你可以在幾分鐘之內創建
一個 iPhone 或 Android 應用程式。
最重要是免費!嘩哈哈~
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http://www.nearpod.com/
那是最近出席官方培訓時大力推介的,
上堂一人一部埃pad,我相信同工心裡定有疑問:
「學生會否趁機自己瀏覽其他網頁或用其他軟件?」
限制下載?取消上網?
其實我舊校當年claim自己係資訊科技先驅,
精英班學生一人一部 palm 上電腦堂,你沒看錯,是電腦堂!
坦言,我對這個無甚好感。
不過看了有線 Money Cafe 關於 e-Learning 的發展,
恐怕三年內埃pad會走進課室(保守估計)。
這個容許我用這個假期試用,同工不妨自行瀏覽。
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後話

最近出席某出版社的新書發佈會,
當中負責人硬銷其獨家的視像真人解題。
其實,類似的教材在科學科也有實驗短片,
美國也一早有 YourTeacher.com,相比之下,
感覺這個製作技巧粗糙,
畢竟製作團隊是教育界的人,如果情況許可,
其實可請教傳理系出身的朋友。

個人認為,為學生提供短片輔助是否必需?
我們不都是 Chalk and Talk 下長大的麼?
我們又會否把資訊科技奉若神明,以致為用科技而學數?

[改編] 王之渙的數學難題(解答)

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早前撰文提及王之渙的數學難題,由於涉及圓冪定理(power of a point theorem),有興趣的讀者宜先預備。以下是題目解說:


如上圖所示,若 $LDC$ 及 $LBA$ 為直線,
則 $LA \times LB = LC \times LD$ 。再者,
若 $A$ 與 $B$ 愈趨愈近,則 $LC \times LD=LT^2$。

考慮 $CD$ 為地球的直徑, $LD$ 為鸛鵲樓的高度,
(這假設鸛鵲樓建於地平線上,即 $LD = 74m$)
則$LT = \sqrt{((6380000\times2+74)\times74)} = 30728.58m$。

即是說,最遠可以看到大約 30.7 公里的地方。
但今天內地的沙塵暴日益嚴重,恐怕...

2013/03/25

[改編] 王之渙的數學難題

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白日依山盡,黃河入海流。
欲窮千里目,更上一層樓。
王之渙《登鸛鵲樓

問題是,倘若鸛鵲樓高 74m ,
地球半徑為 6380km(以赤道計算)
假設天朗氣清無煙霞,
詩人可以看到有多遠的地方?(別跟我說可以看無限遠~)
詩人登頂又能否一嚐千里目?

提示:圓冪定理
參考:數學拾趣

cos 62.4o = ???

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前言
這原本是我於 2007 年撰寫的一段文章,
今次我加插一個自製的對數表
 

好不容易,終於找回這個,相信生於 1980 年或以前的人,多少對昔日的數學課多有回憶吧?封面以維港作為背景(天星碼頭更清晰可見),我跟學生講:「這本對數表是我學數的回憶,請好好傳閱(circulate with care)」但諷刺的,是我們的當權者寧可執行「合約」,也不願意保存我們引以為傲的維港景觀...

從學數的觀點,我覺得「學習數學」與「學習歷史」密不可分,至少從操作上,讓學生明白昔日一道簡單如「cos62.4o + sin19.7o = ???」的算術題,已經殊不簡單吧?

「HOW do you find the value of cos62.4o in 1971?」我在黑板上寫道。
掀到「餘弦」那一頁,由左邊第一欄開始搜索...



找到啦,答案是 cos 62.4o = 0.4633,厲害嗎?

[改編] 海賊王的數學趣題

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話說魯夫戴著草帽,開著前進梅利號沿河逆流而上,
一陣風將他的草帽吹落水中,草帽隨水漂流而下,
但路飛卻不知道。

直到12:00nn,因為陽光太猛烈,
路飛才驚覺丟失了他心愛的草帽。
同伴們著他畫出草帽的圖,以便眾人搜索,
但路飛沒有藝術細胞,所畫的圖相當難看,
於是掉頭沿河下行,終於在 2:00pm 後找回他心愛的草帽。

已知河流的速率是每小時 3km,
路飛的草帽亦以同樣速度順流而下,
前進號以在靜水中航行速度為每小時 5km(比平時慢了很多?)。

問題是,路飛何時丟失他的草帽?


改編自引人入勝的數學趣題

2013/03/22

中學實用課堂資源(不定期更新)

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前言
(其實我 2 年前應該發佈此文...)
無論你是否數學老師,無論做教學或是匯報,
希望以下免費工具能令你教學更加如魚得水。

http://www.screenmarker.com/
有了 ScreenMarker,你可以在電腦螢幕上任意畫圖,
如同 PowerPoint 的螢光筆標重點功能,
絕對令課室多了個電子白板!(只怪自己相逢恨晚)
無論標重點、解釋幾何題目,好用程度無用置疑!
再者,使用舊式電子白板,
你眼晴受得了投影機的強光嗎?
執行 ScreenMarker 之後,螢幕上會出現一個工具區。
工具區的介面很像小畫家,所以很容易上手。
若想用個更專業的,我推薦 PointToFix免安裝版
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https://www.desmos.com/calculator
進入 Desmos,介面感覺很像在使用 I-pad,
如果有用 Graphmatica,我會鼓勵你今天起改用 Desmos
平心而論,兩者功能不相伯仲,
但 Desmos 介面看起來較簡單易用,
而且能顯示多個方程及其圖像
加上無需安裝,只要電腦能上網便何使用!
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http://www.online-stopwatch.com/
顧名思義,即網上計時器啦,
內裡有很多計時模方式,
進行討論用作計時,相當方便!
在禮堂監考時使用,效果一流!
若是小學老師,我推薦用炸彈計時
而我個人較喜歡沙漏計時(網主說是學生提出的構思),
不過請預先調校 Speaker 音量。
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http://www.geogebratube.org/student/m2461
此乃互動量角器,方便老師示範有關動作。
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http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=4
先旨聲明,教授全等三角形的條件時,
我主張使用實物(尤其是說明 SSA 並非合理理由),
好使學生有所發現,但有時手裡沒有道具,
這個就好作應急吧,當然也不要為用而用。
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http://www.peda.com/download/
Poly 軟件能模擬立體旋轉,
且能展示摺紙圖樣,是不錯的選擇。
特別是你教員室的座位
已無多餘空間再存放大量實物模型......
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http://numeracyworks.com/tabula/release/
這是 Tabula 的試用版,介面易用,
平移反射旋轉各個功能寫得一清二楚,
易上手且無須下載,我特別喜歡「摺紙功能」
每次限用 30 分鐘,除非你要用足一整課啦!
關於規尺作圖,其實我以前是用 Compass and Ruler
但不知何故全世界突然轉用 Geogebra
而我有好幾次因 java 問題令電腦死機,
理性上知道好用,但感性上我又想鬥氣唔用...
另覓出路...
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http://nrich.maths.org/6717
Dice & Spinners Interactive 是我教初中概率的常用工具,
互動性夠強,且能選擇以列表或棒形圖顯示結果,
由此引入實驗概率非常方便!
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Interactive Number Patterns
單看網址就知 Nrich Maths 裡還有其他很正的互動資源,
這是讓學生探究數列的特性。
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All programs > Accessories > Snipping Tool
有時我都好奇想知網友怎樣把電視畫面擷取成圖片,
秘訣在於使用Window Vista 的剪取工具 (Snipping Tool),
不用上網或下載,用法見有關連結。
我相信對通識老師更加有用,
大家以後不必只用 PrintScreen 啦。
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學與教資源庫
這裡是官方有關數學教育的專業發展網頁,
定期瀏覽對兼教數學科的老師都是不錯的選擇。
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其實我相信每位同工對每個課題,
本身也有自己的心頭好,以上都只是工具,
更重要是怎樣反思教學,例如怎樣做好知識管理
能養成累積經驗的習慣,那已算是以身作側的榜樣啦~

2013/03/14

培育幾何思維:從一節座標幾何課說起

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筆者近日有幸出席教育局數學教育組的「數學課程學與教策略系列 - (2) 推展創造力」工作坊,當中提到「雞兔同籠」、「一題多解」等推展創造力的手法,獲益不需要多,能帶走一兩個,滲入自己的課堂,對學生多少總會有裨益。

這陣子正教授中三級的座標幾何,學生本身剛剛學會四邊形的特性、中點定理及截線定理等,我嘗試利用工作坊所示範的技巧,設計了一道題,歡迎同工下載及不吝賜教。題目如下:
給已知的兩個點 A(-2, 2) 及 B(3, 2),
試寫出 C 點令三角形 ABC 成一等腰三角形。
這裡,我先容許學生以距離公式等運算方式(verification)作驗證,然後鼓勵學生能用幾何思維(geometrical thinking)去解釋答案。

題外話:曾經收到有一位學生問到:「其實畫圖就可以解決的數學問題,何必要牽涉座標去處理?」或許同工可能有不同看法,不過筆者很慶幸有學生願意提問,是故也點到即止分享自己對這課題典故的小小認識。

若你問我,在數學世界有什麼劃時代的知識(若以 Dark Ages 作分水嶺的話),可能大多數人會答「微積分」,其實「坐標幾何」也在當時同樣重要,就好似「鎢絲燈炮」的發明改變世界一樣。有興趣的話,我推薦項教授的網上筆記

2013/01/30

組合數學問題一則

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"How many divisors are there in 55125?"

有學生收到學校老師的挑戰,如果係初中生,我會打發佢
「不如逐個列寫啦,或者一組人分工寫,應該唔難找到答案吧?」
(被毆打中...)

首先,我們可考慮 55125 質因數連乘式,
即係 $55125=3^{2}5^{3}7^{2}$

(接下來要小心理解...)

而所有可以被整除的數都可以寫成 $3^{a}5^{b}7^{c}$
其中 a = 0, 1, 2; b = 0, 1, 2, 3; c = 0, 1, 2

(即 a, b, c 分別有3種、4種及3種情況)

所以上述問題的答案是 3 x 4 x 3 = 36 種。