2014/02/11

規尺作圖(理論)

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前言:找回 5 年前曾撰寫的文章,希望做一些較詳細的紀錄。

「規尺作圖」的每一步驟,只可做以下事情:

(1)兩點間聯一直線;
(2)以一點為圓心,已知長為半徑作圓;
(3)取得兩直線、兩圓或一線一圓的交點。

對於用圓規及直尺的經驗,相信很多同學都曾嘗試繪製等邊三角形或正六邊形吧?Cleave Book裡有好些圖案可供喜歡的朋友發揮創意。如果加埋量角器,要畫出任意正多邊形可謂毫無難度(對n邊形,每隻外角必定是360o/n吧)。但是在古希臘時代,作圖只使用沒有刻度的直尺(unmarked ruler)和圓規(compass)。目前為止,邊數小於100,可以尺規作圖的正多邊形如下:

3、4、5、6、8、10、12、15、16、17
20、24、30、32、34、40、48、51、60、64
68、80、85、96

亞基米德正是用此幾何技巧,
繪製圓內接和外切正96邊形,
藉其周界的上下限確定圓周長度,
進而得到圓周率介於3.14163及3.14286之間
(準確至小數點後 2 位,都算厲害吧?)

一般而言,只要是有理數,
甚至經過有限次四則運算以及開方得出的數量,
都可以用規尺繪製出來,如 2 的開方,
你可以畫一等腰直角三角形(腰長為1),
斜邊的長度必定是 2 的開方(1.414...)。

我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。


希臘人強調作圖只能用直尺圓規,
為什麼要這樣限制呢?有下列三點原因:

1.希臘數學的基本精神,期望用最少假定(定義、公理、公設)演繹最多的定理。對工具上自然也應限制最少的程度。

2.根據<幾何原本>對作圖做的公設(1.任何兩點之間可聯一直線;2.直線可任意延長;3.以任何中心任何半徑可作一圓),作圖工具就只能用尺規。而畢氏學派主張圓是最完美的平面圖形,圓和直線是幾何學中最基本的研究對象,有了尺規,圓和直線已經能夠作出,這些都促使尺規作圖成為金科玉律,流傳至今。

3.柏拉圖主張通過幾何學習達致邏輯思維的訓練,正如體育鍛練體格,運動須受各種規則器械等限制,同樣訓練思維的幾何學也應該對作圖工具有所限制。
訓練邏輯思維為什麼不直接學習邏輯規律而要借助幾何學呢?理由是幾何學能給予人強烈的直觀印象,將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中,邏輯的推理和結論還可以通過實際的觀測來驗證,使抽象規律和感性認識結合起來,收到相得益彰之效。兩千多年來的實踐證明,通過幾何學習來培養邏輯思維能力,的確是行之有效的方法。[來源:梁宗巨著,數學歷史典故,九章]

有些問題好像很簡單,但做起來卻很困難,直到一千多年之後才證實無解。最有名要數以下幾何三大難題

化圓為方:求作一正方形使其面積等於一已知圓
三等分角:把任意角分三等份
倍立方:求作一立方體是其體積是一已知立方體的兩倍

以下軟件可給大家作熱身之用,讀者可直接下載,一試身手。且看能否破解下列問題:


1. 如何繪製45o、60o及75o的銳角?
2. 給予A, B, C 三點(他們不在同一條直線上),
(a) 如何作一直線,使得三點至該直線的距離相等?
(b) 如何作一圓形,使該圓通過該三點?
(c) 如何作一點,使該點與該三點的總距離為最小值?
3. 如何作一三角形ABC,AB = 5,AC = 4,且通過A點之中線等於3?
4. 如何作一三角形ABC,AB = 6,angleACB = 60o,且通過C點之中線等於5?
5. 給予已知三角形ABC,如何作線段 AB 及 AC 上之兩點 E 及 F,使 EF//BC 且 AE CF?
6. 給予已知一線段,如何平均分三等份?
7. 給予已知一四邊形,如何作一面積相等之三角形?
8. 給予平面上三個圓,如何作一圓與這三圓相切?

Q8 是很有名的「阿波羅尼斯問題」,該3個圖形可以是點、直線或圓

相關書籍推介
More about 只用直尺的幾何作圖 More about 只用圓規的幾何作圖

相關網站推介
幾何作圖(Lii & Hjr
http://163.30.150.88/lii/flashMath/diaGraph.htm
這是專為中小學老師設計,我個人最愛它無文字,夠簡潔,教學動畫之中是我至今較喜歡的。

大哉言數(李柏良的網頁
http://www.mathsgreat.com/const.html
李柏良先生從事教師培訓、視學和課程發展多年,不知他仍否在EDB的數學教育組工作,但毫無疑問,裡面的內容也夠豐富。

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html
拜讀曹老師的「阿草的XXXX」天下文化出品,是我云云數學書中保留較長的系列。撰文時他任教台大數學系,現在應該正享受退休生活。




規尺作圖(教學資源)

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看到香港奧數在年前引入「規尺作圖」的題目,心裡倒是高興,因為能「做到」這類題目給予很大的滿足吧(也可能自己對這類題目因見識少而有新鮮感,那些年還未掌握箇中技巧而多花好些精力)。

「規尺作圖」的玩法
  • 直尺只能用來畫直線(不是用間尺,作圖時不會用上刻度)
  • 圓規只能用來畫圓或弧線
  • 所有的曲線都要用直尺及圓規畫出
  • 規定做圖都要在有限步驟內完成
倘若閣下在初中幾何學裡有一課從角平分線、垂直平分線等引伸,而堂內又無法完成的話,不妨參考下列教材(多以英文為主)。
Bisecting an angle(作「角平分線」之法,初級技巧)
Copy an angle(也是初級技巧)
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle(也是作等邊三角形之應用技巧)
Construct a 45° angle(先作直角後作平分,算是進階技巧吧?雖然也很淺...)
Construct a 30° angle

上面是關於「角(Angle)」,以下則是與「線(Lines)」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)

一般而言,只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量,都可以用規尺作出來,我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。(但那如何對一般的中二生說得明白?記住這段,待他日再深思吧)