2014/05/05

讓人抓狂的投票 Election in sane

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有一日,老師跟班上同學講以下處境故事。

有 15 位同學負責籌辦一次旅行日,當討論去哪裡,則有三種意見僵持不下:香港仔、舊咖啡灣沙灘還是長洲。(為方便閱讀,這三個地點我們以 A、B及C 表示)

於是他們決定要用「最民主」的方式解決紛爭:不記名投票。大家不假思索地舉行了最常見的選舉模式:一人一票、投給自己認為最適當的地點、以獲得最高票數的地點獲勝。

開票的結果是 A : B : C = 6 : 5 : 4,「香港仔」獲勝。

原以為那個籌備會議可以繼續進行下一項討論吧,但是,某人開始咕噥,另一個人聽到了就大聲一點兒附和,第三個人也開始咕噥,一股情緒突然就爆發了。

投票給「香港仔」的人要其他人表現民主風度:「少數服從多數嘛」。卻有人說:「畢竟有 9 個人不喜歡『香港仔』啊」。在騷動中,情緒似乎有點失控,許多人七嘴八舌地嚷嚷著,說他們最不喜歡「香港仔」。

好吧,大家都是同窗好朋友嘛,別為這小事傷和氣。有人提議說他聽說過另一種投票方法,比較『公平』,那就是所謂的「兩輪制」:把第一輪投票結果中最好的兩名取出來,所有人對這兩個候選飲料再投一次票。如果能夠幫助大家和和氣氣地達成共識,再投一次票也無妨,於是他們就做了。

第二輪的投票結果,竟然就是 A : B = 6 : 9,「舊咖啡灣沙灘」獲勝。

這樣的結果真的解決歧見了嗎?不幸地,他們之間變得更針鋒相對!看起來,喜歡去「香港仔」的人一票也沒有動搖,但是那些失去了「長洲」選項的人全部改去支持「舊咖啡灣沙灘」了。贊成去「香港仔」的人難掩氣憤之情,說你們這些想要出海的人聯合起來欺負我們。剛才他們還會熱烈爭辯,現在情況更不妙:他們彼此不說話了。

為了打破沉默的氛圍,又有一個人小心奕奕地提議:「不如大家拋棄成見,再來一次。」這次他提議一個「最科學」的作法:請每位同學給每個地點一個分數,最喜歡的給2分,次喜歡的給1分,不喜歡的給0分。然後計算每個選擇的總得分,最高分的旅行地點獲勝。這聽起來畢竟是一個新奇的作法,所以大家雖然意興闌珊,還是勉強同意了。15 個人也十分小心地在選票上填寫了分數,

計算的結果是 A : B : C = 12 : 14 : 19,「長洲」獲勝。

有位同學在坐位大叫:「怎麼會3次結果都不一樣?」,有另一個人大叫「我不去啦了」。為何3次投票得到3種結果?是有人攪鬼嗎?有人經常改變主意做牆頭草嗎?總歸來說,是這 15 個人不夠理性或是民主素養不足嗎?

選舉理論想要闡述的是:可能這並不是那 15 個人的錯,而是不同的選舉程序會造成不同的結果。

「故事講完了。」老師叫醒那些睡著的同學。
「我們今天正正要決定畢業旅行的地點…」老師接著說。
「我們是否應決定怎樣的投票方式?」平時很留心老師講話的男班長說。
「那我們又怎樣決定『怎樣的投票方式?』?」女班長說。

老師聽著,昏了過去。

====================
近日,香港的政方案剛完成了第一階段諮詢,有網友傳來這個,
香港的朋友不妨做個選擇,看看哪個才是大家心目中理想的特首選舉方式。
http://election-reform.thehousenews.com/

2014/04/14

咁多,點背啊?

有學生看到以下 Trigo. Identities,開口問以上問題。

老師:「試吓抄10次先啦」(唔係卦?真係要咁先記到?)

相信大家學數也曾遇到類似經驗。
求個明白,大家都想。但課時所限,
當你身邊的朋友都找到法子又做對了習題,
壓力便漸漸累積起來。死記爛記也不得其法。

「我由小學計算面積題都係背公式架啦!背唔到就背唔到啦!」
這是我家老媽子的例牌答案。

孰能生巧,功多藝熟的道理無人不知,
但放在自己身上為何卻舉步為艱?
這裡我當然假設你有心想試,
也努力了好一陣子,不然你大可不必看下去,
只需做好考試肥佬的覺悟另謀出路。(被毆中)

言歸正傳,要處理以上問題。大家先認清一些事實:

$\theta$ 當作銳角。(acute angle,即不大於$90^{\circ}$)
positive angle 以及 negative angle 均以 positive x-axis 作分界線。
$90^{\circ}+\theta$ 看作屬於第二象限。(2nd quadrant)
$180^{\circ}+\theta$ 看作屬於第三象限。
$270^{\circ}+\theta$ 看作屬於第四象限。
$360^{\circ}-\theta$ 也看作屬於第四象限。

法則一:A-S-T-C 原則
網上的背誦方法:Add-Sugar-To-Coffee、All-Students-Talk-Cantonese(事關我以前本教科書係用CAST呢個詞彙,EMI學校就會知)
A-S-T-C 的意思指,
屬於第一象限裡的角,無論 Sine、Cosine、Tangent,其對應值均為正數(All)
屬於第二象限裡的角,只有 Sine 才是正數(Sine),其他用負號表示。
屬於第三象限裡的角,只有 Cosine 才是正數(Cosine),其他用負號表示。
屬於第四象限裡的角,只有 Tangent 才是正數(Tangent),其他用負號表示。

(見圖解)

法則二:只考慮 $(180^{\circ}\pm\theta)$ 及 $(360^{\circ}\pm\theta)$ 的情況(即連結的紅色部份)
其實除了「正負號」可能不同,個答案同題目一樣。

例:
$sin(180^{\circ}+\theta)=-sin\theta$
$cos(180^{\circ}+\theta)=-cos\theta$
$tan(180^{\circ}+\theta)=+tan\theta$
(題目用sin,答案都用sin,如此類推。至於正定負,就觀察左方括號內的角屬於哪個象限,再用 A-S-T-C 原則)

總結

2014/02/11

規尺作圖(理論)

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前言:找回 5 年前曾撰寫的文章,希望做一些較詳細的紀錄。

「規尺作圖」的每一步驟,只可做以下事情:

(1)兩點間聯一直線;
(2)以一點為圓心,已知長為半徑作圓;
(3)取得兩直線、兩圓或一線一圓的交點。

對於用圓規及直尺的經驗,相信很多同學都曾嘗試繪製等邊三角形或正六邊形吧?Cleave Book裡有好些圖案可供喜歡的朋友發揮創意。如果加埋量角器,要畫出任意正多邊形可謂毫無難度(對n邊形,每隻外角必定是360o/n吧)。但是在古希臘時代,作圖只使用沒有刻度的直尺(unmarked ruler)和圓規(compass)。目前為止,邊數小於100,可以尺規作圖的正多邊形如下:

3、4、5、6、8、10、12、15、16、17
20、24、30、32、34、40、48、51、60、64
68、80、85、96

亞基米德正是用此幾何技巧,
繪製圓內接和外切正96邊形,
藉其周界的上下限確定圓周長度,
進而得到圓周率介於3.14163及3.14286之間
(準確至小數點後 2 位,都算厲害吧?)

一般而言,只要是有理數,
甚至經過有限次四則運算以及開方得出的數量,
都可以用規尺繪製出來,如 2 的開方,
你可以畫一等腰直角三角形(腰長為1),
斜邊的長度必定是 2 的開方(1.414...)。

我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。


希臘人強調作圖只能用直尺圓規,
為什麼要這樣限制呢?有下列三點原因:

1.希臘數學的基本精神,期望用最少假定(定義、公理、公設)演繹最多的定理。對工具上自然也應限制最少的程度。

2.根據<幾何原本>對作圖做的公設(1.任何兩點之間可聯一直線;2.直線可任意延長;3.以任何中心任何半徑可作一圓),作圖工具就只能用尺規。而畢氏學派主張圓是最完美的平面圖形,圓和直線是幾何學中最基本的研究對象,有了尺規,圓和直線已經能夠作出,這些都促使尺規作圖成為金科玉律,流傳至今。

3.柏拉圖主張通過幾何學習達致邏輯思維的訓練,正如體育鍛練體格,運動須受各種規則器械等限制,同樣訓練思維的幾何學也應該對作圖工具有所限制。
訓練邏輯思維為什麼不直接學習邏輯規律而要借助幾何學呢?理由是幾何學能給予人強烈的直觀印象,將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中,邏輯的推理和結論還可以通過實際的觀測來驗證,使抽象規律和感性認識結合起來,收到相得益彰之效。兩千多年來的實踐證明,通過幾何學習來培養邏輯思維能力,的確是行之有效的方法。[來源:梁宗巨著,數學歷史典故,九章]

有些問題好像很簡單,但做起來卻很困難,直到一千多年之後才證實無解。最有名要數以下幾何三大難題

化圓為方:求作一正方形使其面積等於一已知圓
三等分角:把任意角分三等份
倍立方:求作一立方體是其體積是一已知立方體的兩倍

以下軟件可給大家作熱身之用,讀者可直接下載,一試身手。且看能否破解下列問題:


1. 如何繪製45o、60o及75o的銳角?
2. 給予A, B, C 三點(他們不在同一條直線上),
(a) 如何作一直線,使得三點至該直線的距離相等?
(b) 如何作一圓形,使該圓通過該三點?
(c) 如何作一點,使該點與該三點的總距離為最小值?
3. 如何作一三角形ABC,AB = 5,AC = 4,且通過A點之中線等於3?
4. 如何作一三角形ABC,AB = 6,angleACB = 60o,且通過C點之中線等於5?
5. 給予已知三角形ABC,如何作線段 AB 及 AC 上之兩點 E 及 F,使 EF//BC 且 AE CF?
6. 給予已知一線段,如何平均分三等份?
7. 給予已知一四邊形,如何作一面積相等之三角形?
8. 給予平面上三個圓,如何作一圓與這三圓相切?

Q8 是很有名的「阿波羅尼斯問題」,該3個圖形可以是點、直線或圓

相關書籍推介
More about 只用直尺的幾何作圖 More about 只用圓規的幾何作圖

相關網站推介
幾何作圖(Lii & Hjr
http://163.30.150.88/lii/flashMath/diaGraph.htm
這是專為中小學老師設計,我個人最愛它無文字,夠簡潔,教學動畫之中是我至今較喜歡的。

大哉言數(李柏良的網頁
http://www.mathsgreat.com/const.html
李柏良先生從事教師培訓、視學和課程發展多年,不知他仍否在EDB的數學教育組工作,但毫無疑問,裡面的內容也夠豐富。

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html
拜讀曹老師的「阿草的XXXX」天下文化出品,是我云云數學書中保留較長的系列。撰文時他任教台大數學系,現在應該正享受退休生活。




規尺作圖(教學資源)

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看到香港奧數在年前引入「規尺作圖」的題目,心裡倒是高興,因為能「做到」這類題目給予很大的滿足吧(也可能自己對這類題目因見識少而有新鮮感,那些年還未掌握箇中技巧而多花好些精力)。

「規尺作圖」的玩法
  • 直尺只能用來畫直線(不是用間尺,作圖時不會用上刻度)
  • 圓規只能用來畫圓或弧線
  • 所有的曲線都要用直尺及圓規畫出
  • 規定做圖都要在有限步驟內完成
倘若閣下在初中幾何學裡有一課從角平分線、垂直平分線等引伸,而堂內又無法完成的話,不妨參考下列教材(多以英文為主)。
Bisecting an angle(作「角平分線」之法,初級技巧)
Copy an angle(也是初級技巧)
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle(也是作等邊三角形之應用技巧)
Construct a 45° angle(先作直角後作平分,算是進階技巧吧?雖然也很淺...)
Construct a 30° angle

上面是關於「角(Angle)」,以下則是與「線(Lines)」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)

一般而言,只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量,都可以用規尺作出來,我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。(但那如何對一般的中二生說得明白?記住這段,待他日再深思吧)

2014/01/25

怎樣才是一份好的筆記?(version 1.0)

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從事教育事業已有好些年日,不喜歡因循,
於是我重新思考這個問題,反正未有定論,
於是我用「平時分」要求全體學生由零開始交出一手筆記。

首先,我訂了一些「可計分準則」
  1. 準時交筆記(因為我會悉數Scan落電腦,那是為行政上的節省時間)
  2. 用指定單行紙(試過用其他紙而令Scanner食紙,也是為行政上的節省時間)
  3. 完整個人資料,包括著作人、班別班號、日期、學科
  4. 在當眼處清晰顯示該課「主題」及「副題」
  5. 充足的個案例題(有感這一代不多能夠由「定義」或「公式」去演譯)
  6. 清楚標示「technical term(s)」,必要時附加註解或圖解
  7. 能有效運用顏色作不同用途
  8. 驟眼望去,字體端正(最低限度要清楚,可能受個人閱卷的經驗所限,對傾向使用斜體字的學生,我會較花精力評卷)
  9. 個人心得(可以是「學生自問自答的問題」、「技巧上的步驟」、「給自己的貼士」等)
  10. 令人意外的驚喜(我相信天外有天,我上述設計的原則總會有未能欣賞到的好處,就用這個作加分)

是故每項 0 或 10 分,一份「十全筆記」這樣就有初型。

執行上不都是無「挑戰」的,
有學生直接了當問:「筆記不是給自己看嗎?」
(印象中是在我闡述第八項後馬上在座位發問)
我個人是同意!他/她說對了事實的一部份。只不過,

風格可以保留,但不會完全不變。尤其是「字體」,
在考試主導,答卷上的字體凌亂,分明跟閱卷員對著幹。
如果有相關行動研究,可訪談大量閱卷員(不論校外校內),
「斜體字或正體字,閱卷時哪個較花精力?」、
「怎樣的書寫字體較為順眼?」等等。

風格可以保留,但不會完全不變。
可以是透過互相模仿而改進的。
合用的筆記就是好的筆記,
因人而異,因時而異。(所以沒有最好)

==========
除以上十項「可計分準則」,
還有更加多是「不可量度的變數」,
那可以是受限於我用的例子、重點位,
何時引入哪些重點等,還是果句,
教學是一門藝術,你我可以有無限的可能性,
在漫長的數學學習路上,有如進行藝術創作,
沒有完全相同的法則。

歡迎同工賜教。







2014/01/07

何謂「屈指一算」?

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計算啫,點解要屈指?大家都知古代無計算機,
那時的計算,不是用算籌或算珠的嗎?

「指算」就是利用左手五指的伸、屈動作進行運算。
下圖所示的10個數,可有發現0和5、1和6、2和7、3和8、4和9
的指法完全相反?(而且,每數數剛好相差5哩...)


在指算法中,由1變6或2變7等,
這伸、屈互變的動作稱為「反手」。
以下我試試介紹一些較易明的運算法則

個位數加法
(1)五指全伸腦「進1」(任何數,加到10就進位囉)
(2)反手時,食指由伸變屈「進1」(6至9的數,加上5時就進位囉)

例如:7+5+5+5+5
手指由打出7,每次加5做一次「反手」(即7),
腦就記住「進位」(即2),故答案為27。

個位數乘法
(1)伸指相加(作進位),屈指相乘
(2)上面兩個答案相加

以6乘7為例,利用上圖的指法,
總共有1+2=3隻伸手指,代表30,
屈手指3x4=12,
30+12即42!嘿嘿嘿嘿~

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延伸:9的乘法手指算(昌爸工作坊)