文：祈思
近日，同學們紛紛拿出各補習社的宣傳單張，比量一番。印刷精美奪目的封面，是那些經常於巴士車身、報章雜誌等廣告出現的男女。
標榜著名師指導、奪Ａ必讀的課程，忽然成為學生的靈丹妙藥，彷彿只要補習，就可以令成績突飛猛進。於是，數百元甚至近千元一個月的補習費用，完全不成問題。
補習的成效真的那麼大嗎？學期初，當老師展示出會考成績時，也曾鼓勵大家記得儲好錢，預備日後補習之用。中五的同學也不忘提醒：記得暑假去補好各科！
四周彌漫著趨之若鶩的補習氣氛，可是，一些天才型的學生卻不以為然。他們不用補習，上課時輕輕鬆鬆聽書，筆記也懶得去抄，當老師堂上發問時，卻能十分準確地回答，且以良好的成績遙遙領先。放學後，當別人忙著外出補習時，他們卻可以回家玩電腦或睡覺。
算起來，這麼真的有點不公平！花錢辛苦補習的人不旦不能佔上風，隨著補習時間加長，時間愈來愈少，壓力也愈來愈大，一些突發的集體活動，例如放學後留下做些什麼事時，趕著去補習的人可苦惱了。雖然這樣忙，那樣忙，成績可能只是跟其他學生差不多。
其實，補習像處方藥物一樣，只屬輔助性質。吃完藥後會康復、補過習會維持一定成績，皆是同一道理，只是無形中，家長花的錢多了。但如果把補習看得太重，甚至自以為補過習後就聰慧過人，自嗚得意，那麼只是本末倒置而已。上學時，教師已把重點或概念加以講解，要學的，堂上會教，要不然，教師的存在是為了什麼？難道教科書及不上一本本的精讀筆記？
補習有它的副作用，比方說，當一個學生無法理解抽象的概念時，就會埋怨教師的教學方法，然後乾脆放棄聽書，放正他們留有後著──補習。聽書與否，也就變得無關痛癢。當然，補習也有好處，學校教師無法照顧每一位學生，補習就是多了一個學習的機會，也能從不同角度熟習題目──假如能正確利用的話。
看過相關宣傳小冊子的同學，不久後一踴而至報讀相關課程；不加理會的同學，閒時做做習題，仍能應付自如。至於真正的分別，也許要看年半後的會考成績吧！
2006/10/06
兩道關於平方數的證明題
證明以下兩道關於平方數的命題：
（換個比較易明的講法：「點樣先知下面兩句一定啱呢？」）
在不用計算機的情況下，試試如何用代數式表示。
歡迎各方人仕回應。
（換個比較易明的講法：「點樣先知下面兩句一定啱呢？」）
- 任何兩個連續單數的積加上１後，答案必然是完全平方數。
- 任何四個連續數的積加上１後，答案必然是完全平方數。
在不用計算機的情況下，試試如何用代數式表示。
歡迎各方人仕回應。
2006/10/02
抄襲家課(1/3)
入職初期，批改課業往往是令自己感到最費時最教人氣餒的地方。尤其是看到一本又一本連字跡也幾乎一模一樣的家課（我稱之為「草書」，字跡凌亂之可怖，至今仍不堪回首），更是教人深感不忿。「幹嗎學生可以草草了事，自己卻要賠上無限青春，去做一些不知意義何在的地方？」
小補充：然而既然我們也會想到「意義」的問題，是故學生也不難會去問「學ＸＸ有什麼用？」、「這樣做有什麼用？」，只是他們需要可以是一些「意義」，而非純粹的工具價值。當然，更大可能性是學生已經悶得不耐煩，才不得有此一問。所以如果學生問起這個，恐怕情況已經是相當嚴重，並非你三言兩語便能解惑，如斯理性的人不多。
人常戲言曰：「天下文章一大抄」，書法中也有所謂「臨摹」，不難發現「依樣畫葫蘆」、「複製」都算是一種學習。但在數學領域，一門講求思考的藝術，身為人師，我們可有怎樣的胸襟去處理這學校常見的「現象」（使用「問題」或「處罰」等字眼恐怕令大家覺得在下視之為負面）？雖作表態，但字眼上我仍想用「抄襲家課」，以方便解讀本文。
對於抄襲家課，我嘗試從犯罪心理學或經濟學的觀點說明一下。
一個人，進行某種選擇的前題是「利益大於代價」（「代價」學術上應稱為期望成本 Expectation/Expected Cost），最常見的例子是囚犯的困境。由此引申，抄襲家課的人便要衡量利益（可能是更快完成家課、和其他靠真材實料的同學取得同樣高分、不被老師打擾或其他...）及代價（壞印象、重做、扣分、寫手冊、家長收到來電/短訊問候、記缺點、留堂或其他...），再考慮被發現/不被發現的機會，繼而進行抉擇。雖然實況告訴我，很多平庸的學生多是只看到利益，也認定被發現的機會接近零，這其實跟一個病態賭徒相信自己有賭未為輸相若，純真得可愛。
也有些深黯以上道理的，便會在抄襲家課的技巧上多花功夫，如抄襲多份家課，以集各家之大成；又或故意製造一些小錯誤，令自己不那麼突出。不過，能夠以批判的思維去辨識哪是小成/大成，能夠分辨對錯以製造一些小錯誤，這些表現多少已經展示其思維能力，只是與我們的價值系統出現差異。
幸好這個世上，並沒有很多夜神月。
暫且想到這裡，事關身為人師，他日當你手上的家課做得很出色，而你卻以「小人之心度君子之腹」的心態去審視這位學生，不是有點兒不公嗎？這裡多少引起「應否信任學生？」的迷思，難免令良知掙扎。至今為止，個人仍相信「信任」是師生關係的支持點，只是這是需要力量及盼望去維持。若有所同感，有時大家還要提防社會上一些「不信任機制」引入學校及自己的思維，幸好考試裡有一條「疑點利益歸於學生」的不成文規定，不然連學校也不能孕育「互信」的種子，這實非我們的領導再引入多少資源便能有所果效。
以下兩個問題，我將會加以評論，有時探索問題的過程比結論更加好玩。
1. 發現「抄襲家課」前，為師可以做什麼？
2. 除選擇「抄襲家課」，學生有什麼其他選擇？
= = = = = = = = = =
小補充：然而既然我們也會想到「意義」的問題，是故學生也不難會去問「學ＸＸ有什麼用？」、「這樣做有什麼用？」，只是他們需要可以是一些「意義」，而非純粹的工具價值。當然，更大可能性是學生已經悶得不耐煩，才不得有此一問。所以如果學生問起這個，恐怕情況已經是相當嚴重，並非你三言兩語便能解惑，如斯理性的人不多。
人常戲言曰：「天下文章一大抄」，書法中也有所謂「臨摹」，不難發現「依樣畫葫蘆」、「複製」都算是一種學習。但在數學領域，一門講求思考的藝術，身為人師，我們可有怎樣的胸襟去處理這學校常見的「現象」（使用「問題」或「處罰」等字眼恐怕令大家覺得在下視之為負面）？雖作表態，但字眼上我仍想用「抄襲家課」，以方便解讀本文。
對於抄襲家課，我嘗試從犯罪心理學或經濟學的觀點說明一下。
一個人，進行某種選擇的前題是「利益大於代價」（「代價」學術上應稱為期望成本 Expectation/Expected Cost），最常見的例子是囚犯的困境。由此引申，抄襲家課的人便要衡量利益（可能是更快完成家課、和其他靠真材實料的同學取得同樣高分、不被老師打擾或其他...）及代價（壞印象、重做、扣分、寫手冊、家長收到來電/短訊問候、記缺點、留堂或其他...），再考慮被發現/不被發現的機會，繼而進行抉擇。雖然實況告訴我，很多平庸的學生多是只看到利益，也認定被發現的機會接近零，這其實跟一個病態賭徒相信自己有賭未為輸相若，純真得可愛。
也有些深黯以上道理的，便會在抄襲家課的技巧上多花功夫，如抄襲多份家課，以集各家之大成；又或故意製造一些小錯誤，令自己不那麼突出。不過，能夠以批判的思維去辨識哪是小成/大成，能夠分辨對錯以製造一些小錯誤，這些表現多少已經展示其思維能力，只是與我們的價值系統出現差異。
幸好這個世上，並沒有很多夜神月。
暫且想到這裡，事關身為人師，他日當你手上的家課做得很出色，而你卻以「小人之心度君子之腹」的心態去審視這位學生，不是有點兒不公嗎？這裡多少引起「應否信任學生？」的迷思，難免令良知掙扎。至今為止，個人仍相信「信任」是師生關係的支持點，只是這是需要力量及盼望去維持。若有所同感，有時大家還要提防社會上一些「不信任機制」引入學校及自己的思維，幸好考試裡有一條「疑點利益歸於學生」的不成文規定，不然連學校也不能孕育「互信」的種子，這實非我們的領導再引入多少資源便能有所果效。
以下兩個問題，我將會加以評論，有時探索問題的過程比結論更加好玩。
1. 發現「抄襲家課」前，為師可以做什麼？
2. 除選擇「抄襲家課」，學生有什麼其他選擇？
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"...the kind of thinking that will solve the world's problems will be of a different order to the kind of thinking that created those problems in the first place.(Albert Einstein)"「解答世界的問題所需要的思維，是與產生這些問題的思維，處與不同的層次。」─愛恩斯坦(來源)
2006/07/18
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