相似立體 Similar Solids

題到相似立體，多數同學應記得邊長比、面積比及體積比吧？就是把物件按比例放大 k 倍，長度是原來的 k 倍；面積是原來的 k² 倍；體積是原來的 k³ 倍」（這也解釋 1 m = 100 cm , 1 m² = 10000 cm² , 1 m³ = 1000000 cm³）

這裡不得不欣賞造物主對動物身型的設定。

舉個例，若把恐龍按比例縮縮縮...縮到老鼠咁大，它的腿比老鼠的腿仲要粗，事關腿是用來支持體重，實際上它的腿只需和老鼠相若已足夠它用。或是把老鼠按比例放大後，變成原來的 100 倍，四條腿的橫面便是原來的 10000 倍（即一萬倍），而體積卻是原來的 1000000 倍（即一百萬倍），它的腿每單位面積要承受原來重量的 100 倍。（咪玩啦！莫講話周圍走，連企都有困難。）不難想像，陸上最大動物，理應比海裡的小得多，例如藍鯨在水裡，水可以負擔它的體重。

即便是空中的動物，更不可能過重！若把蝴蝶放大 10 倍，它的體重要增長 1000 倍，而翅膀的面積只增長了 100 倍。這樣，它就是拼命也不能飛了。至於麻雀的翅膀，全身中所佔的比例比昆蟲大得多，但都有重量限制，況且相對較小的身體，卻要為翅膀提供營養也夠困難的。所以，飛鳥就不能很大了。

另一邊廂，哺乳動物也不可能太小，因為要保持體溫。體積相對地小，表面積就相對地大，這樣的小動物，散失溫度是很快的。這怎麼活得了？



［小測試］
參考下列附圖，大家覺得，數學上，它們是相似立體嗎？

(答案放在最後)

(一)


(二)


(三)

上圖的標價合理嗎？

(更想問的是，你會用什麼準則訂價？)

與學生、數學教授、家姐討論這個問題，發現各人的思考方式，所引發的對話(diagolue)都不同，即使我想帶出「(物料)面積之比」、「(容量)體積之比」，其實成本也可是其他線性關係(如 P = A + kB)...所謂「處處留心皆學問」，對老師及學生，培養對生活的觸覺，總會發現這世界數學無處不在。


答案：(一)是、(二)是、(三)否

排列與組合中的分類法（加法法則）

「排列與組合（Permutation & Combination）」乃新高中數學科新加的課題，網上教材可謂多不勝數，但也有些共通的注意事項。本文希望留下參考資料，讓包括自己在內的教育同工或莘莘學子作預習及溫故知新。

首先，在數學化（Mathematising）的過程中，鼓勵教師依據學生的「經驗」選用相關事例。

例題：

某調查中訪問了 200 人，他們均擁有數碼相機或電子手帳。若有 168 人擁有數碼相機， 97 人擁有電子手帳，該調查有多少名受訪者既擁有數碼相機又擁有電子手帳？

A survey was conducted and 200 people who had digital cameras or PDAs were interviewed. If 168 of them had digital cameras and 97 of them had PDAs, how many interviewees in the survey had both digital cameras and PDAs?

猶記得向學生展示題目，只有少數人很快指出答案，多數同學卻無從入手……我在想，今時今日的電子手帳會否也有攝影功能？雖則今日的學生大多有手機；而且選取的數字也稍為大了些。於是，我改用了以下校園味較重的例子：

中五ｘ班38名學生均有學習小提琴或結他，若有25人學習小提琴，22人學習結他，問中五丁班有多少名學生同時學習小提琴及結他？

All 32 students in S.5A played either violin or guitar. If 25 of them play violin and 15 of them play guitar, how many students play both violin and guitar?

首先，我任教的該班的確有38人，雖不知他們是否喜歡小提琴或結他，但感覺會較埋身而不至於脫離群眾。然後就是拿出耐心和誠意，把他們的方法加以引導和整理，最後畫上兩個部份重疊的圓圈（即venn diagram，不必交代太多，學生好不容易產生內在的思考）作解說，使其掌握「分類法」中涉及的「加法定律（Addition rule）」，以下附上一些簡單例子，相信即是小學生也不難掌握。

某快餐店提供 6款漢堡包和 4 款甜品，問有多少款食物可供選購？【答案：10款】

由灣仔修頓遊樂場往中環皇后像廣場可乘電車（藍線、紫線、綠線及橙線）、港鐵（港島線）、城巴（1、5、11、25、75、97），問有多少種交通工具可供選擇？【答案：10款】

整數1至30裡面，共合有多少個3或4的倍數？（提提同學，整數1至30裡面，3的倍數及4的倍數分別有10個及7個）【答案：15種】

預告：排列與組合中的分步法（乘法法則）