心慌方：玩盡中小數學

看過加拿大電影《心慌方(Cube)》系列的朋友，
多少對裡面的數學記憶猶新吧？



若非家姐深情推薦，連VCD也買回來，我恐怕錯過這驚慄電影，曾幾何時，我是很喜歡看驚慄片的（當然不只是純粹噴血的畫面那種）。

片中一開始是一個困在正方體的人，因為鏡頭所見的房間連地板、天花板都是同一設計。然後突然因某些機關致死（詳細點死就留番自己買碟睇啦），然後畫面接二連三有人會聚同一間房。我想家姐推薦我看這個，想必是戲中有個數學女天才，以及這個空間的數學設計。

按被囚的建築師提供的資料，「大立方體」高 432 米，她便以步距估測一間房的長度為 14 米(還記得初小時提及「永備尺」的概念嗎？)，也考慮每間房之間皆有空隙，故求得「大立方體」由 26x26x26 = 17576 間房組成。

經討論後，眾人起初決定往其他房間，以謀求出路。但房間本身有兩種：有機關的、安全的。但峰迴路轉的是，這些人竟返回最初的房間！在絕望之際，大家發現房間移動的規律，置身相同的房間，其實在「大立方體」裡卻在不同的位置。

導演在此也大玩數論及座標幾何呢：房間編號（由三組百位數組成）的可除性決定其是否安全；編號本身是笛卡兒坐標（Cartesian coordinate），而房間移動的規律也涉及幾何變換（要計算的話恐怕也少不了矩陣(matrice)的概念吧？）

除了數學內容，戲中人物對話裡的張力，尤其是話題談及數學時，多少也要點耐性，始終對有些人而言，數學早在兒時放在「恐懼名單」之中...

深情推薦各位買碟欣賞，該片絕對是低成本兼賣座的又一實證！

延伸：心慌方三部曲

電視專訪

承蒙有線邀請，敝部派人接受訪問（訪問還有下半部，嘿嘿~）

與其說是訪問，其實對話（chitchat）內容已經有共悉，屆時有何變卦，看看字幕機也可解困。另外，節目統籌吩咐身上別要有藍色衣物，因為錄影室用藍色布幕做VIRTUAL SET，所有藍色的東西均會穿崩，有趣有趣。

言歸正傳，節目中示範兩個活動：

1. 數字魔術，原文來自《數學拾趣》。
2. 雙人脫困遊戲(5'47")，原文可參考這裡（第四頁）。
   

而對數表、魔力橋的介紹，早前也有提及，不過自己實在愧對先賢，適應錄影室的氣氛，對我已是一個挑戰，我在入面題到關於拓樸學（Topology），其實要我三言兩語讓大眾明白，自問我智慧有限，如今回想，思路紊亂，近乎不知所謂，希望這裡給大家一點補充啦。

我也提議介紹這兒時玩意，但礙於訪問時間所限而事先刪去了。



我想，若有任教設計與科技科(D&T)的老師協助，用粗電源線、細鐵絲、厚紙板等，打造一個大道具應該無難度（如圖）。



自行製作也簡單不過：
1.　用粗電源線彎出直徑4公分的圓環四個。
2.　將四個圓環分別用細鐵絲固定在厚紙板上。
3.　剪下一公尺長的粗電源線，彎成長柄。
4.　將各環依解題步驟一一套在長柄上，即可完成。

延伸閱讀：留客計。九連環、九連環分解步驟

座標幾何

檢視學生試卷，發現他們在「座標幾何」的表現異常遜色。套用數佬的講法：「學生腦中已沒坐標感，更沒文字感」

查實以前的課程文件是很少提到ｘｘ感、ｙｙ感之類，但今日細看，與其說某某數學差勁，若能指出哪些範圍缺乏觸覺，聽起來至少「感覺良好」。這裡，我喜歡搜尋相關的網上遊戲，讓學生自行操作（manipulate），利用過程中多樣性培養學生的座標感。




這裡，當然不得不提笛卡兒坐標（Cartesian coordinate）啦～

笛卡兒由哲學家、自然界、科學應用來看數學，他認為數學的偉大在於其證明所依據的公理是無缺點的，數學是獲得確定和有效證明的方法，而且數學是形而上的。

「希臘幾何太過抽象，他只是用來訓練瞭解，使想像力大為疲勞的工具罷了！而代數太過於遵守原則和公式，計算過於繁雜，不是一門改良心智的科學。」

笛卡兒他把代數應用到幾何，在1637年，他寫了一本《幾何學》，讓幾何問題有一定的思考方法，也就是坐標幾何。基於坐標，幾何圖形可以被表示為坐標之間的運算關係，幾何問題也就變成解方程的問題了。

圖片來源：香港氣象中心
參考資料：笛卡兒(維基)、阿草的葫蘆
延伸閱讀：笛卡兒生平詳述

計算尺（slide ruler）

終於找回遺忘已久的計算尺（slide ruler），那其實是我早前介紹對數表後一種衍生工具（圖中乃有滑尺的計算尺，也有圓形的計算尺）。被發明以後，乘除運算可以化為加減運算，對數計算尺便是依據這一特點來設計。

它的起源，大約要追溯到十六、十七世紀的歐洲，航海、貿易、天文學迅速發展。當中航海需要測量、繪製地圖、觀測星象，天文學家要確定行星的位置、製作天文數表，呢D工作都需要大數量的「乘、除、開方」運算，不但耗神費力且精準度不佳，直至有個德國數學家諗到呢樣野…

等比數列： １│１０│１００│１０００│１００００│１０００００│
等差數列： ０│　１│　２　│　　３　│　　４　　│　　　５　　│

等比數列中的乘除法運算，可以轉化為等差數列中的加減法運算，例如要計算「100 x 1000」，因為它們對數是 2 及 3 ，而它們相加等於 5，5 是 100000 的對數，故答案是 100000。

這大致上是對數（logrithm）的基本思想，故後期的工夫便是煩一次，逐一計算每個數字的對數，寫成對數表，而往後的人則按表查數。雖然它唔算係偉大的發現，但係就大大化簡當時好多繁瑣的計算。

延伸閱讀：計算尺教學課程（by oscar）
進階閱讀：自然對數漫談

情迷魔力橋 Rummikub

上圖是我早前與小薯仔談及的數學遊戲「魔力橋」，初次接觸已是去年的事。機緣巧合，今年去同事家拜年時再見到這個，遂以文字為記，也希望將之推廣開去。

談到 Rummikub，我將之與 SCRABBLE、UNO，甚至麻雀扯上關係（只是後者不輕易帶入數學堂），當然本身能培養玩家組合、重組數字之能力。規則倒也簡單，玩起來卻變化無窮，不過，我傾向通過「試玩」，比起純粹閱讀說明書更快上手。到熟悉基本法，再視乎需要再看還未遲。


暫且不討論如何開局，容我做個小小示範，已知玩家輪流發牌後的情況如下：
[使用 RSS 的用戶可能看不到下面數字的不同顏色]



牌架拿著「6-8-11-2-1-5-7-12-8-11-13-@」。
到你啦，你會怎樣做？（時限 60 秒，步數不限）

首先，枱中央的牌分兩個歸類原則：

• 同色連續數
• 同數字不同顏色

每組牌最少三隻，而遊戲目標，
就是按上述原則，盡快打出手持的牌。

是時候看我表演了！

打出12和7，放在第二行中間那堆湊成一組。
從第三行取6，放在第二行右方那堆湊成一組，
這樣一來，從中取6，用手上的5，放在第二行中間那堆湊成一組。

這時中央出現「5-6-7-8-9-10-11-12」。

牌架拿著「6-8-11-2-1-8-11-13-@」。

從中央取8，打出8和8，湊成一組。

這時中央出現「5-6-7」「9-10-11-12」「8-8-8」。

牌架拿著「6-11-2-1-11-13-@」。

@代表百搭牌，代表任何數字顏色，要好好利用！
我打出11-@-13，湊成一組。

牌架拿著「6-11-2-1」。

打出11，用中央的9和@，湊成一組。
這時，手裡只有「6-2-1」。

即使下手勝出，你只失 6 + 2 + 1 = 9 分。 

還看得懂吧？正如一道數學題也有多種解題策略，
再引入時間限制，絕對考驗玩家組織及決策的能力！

看著學生如此專注，沒有甚麼比這一刻令為師感欣慰。那是我第 5 次向周遭好友同事學生介紹該遊戲了。

詳細規則

數學惡夢

上圖是某學生在數學考試後，
因大受打擊而製的設計圖片。
失落之情，為師豈會不明白？

「看著分數的樣子，總是最誠實的。」

流行曲中的數學

[撰文：小薯仔]

昨天與家妹到卡拉ok慶祝生日，在唱歌聽歌以外，
同時發現歌中隱藏了一些數學，例如下面的歌：

汽球　詞／曲：Peggy Hsu
黑的白的紅的黃的
紫的綠的藍的灰的
你的我的他的她的
大的小的圓的扁的
好的壞的美的醜的
新的舊的各種款式
各種花色任你選擇．．．

問題是：到底有幾多個汽球可供選擇呢？這裡有22個形容詞，但並不是代表只有22個，它們本身可以組合成不同款式的汽球，譬如：

我的　＋　黃的　＋　大的　＋　新的
他的　＋　白的　＋　小的　＋　舊的

由於這裡沒有假設曲中「四人」都有所有款式的汽球，所以問題應改為「最多有幾多種不同的汽球呢？」其實，這是一個組合的問題，試從不同的分類看：

• 顏色（8種）：黑的、白的、紅的、黃的、紫的、綠的、藍的、灰的
• 來源（4種）：你的、我的、他的、她的
• 形狀（4種）：大的、小的、圓的、扁的
• 外貌（4種）：好的、壞的、美的、醜的
• 新舊（2種）：新的、舊的
  

所以，可能組合(combination)數目 ＝ 8 x 4 x 4 x 4 x 2 ＝ 1024

咖哩魚蛋之經濟學

[撰文：ricky]

記得年初某日，有幾位工友搬了一大盤香噴噴(又入味)的咖哩魚蛋到教員室，說是校長想到天氣寒冷，為一眾同事作打氣。心存感激同時，忽發奇想，這麼大手筆，那學生小息便無法享用這些美食(我校的咖哩魚蛋是連舊生也讚好的)？

「放心啦，小食部存貨充足，且校長是預先落訂的~」工友笑著回應。

作為數學的應用，庫存管理的探討變得普及，可能由於很多中學生在年宵市場大展拳腳，學校也刻意安排應用學習，教授相關的技巧。

以咖哩魚蛋為例，小食部會定期訂急凍魚蛋，並放在雪櫃儲存，每天也有一定銷路。從營商角度，至少要考慮兩點：(1)每次訂貨數量、(2)訂貨的週期。為方便探討，我先做以下假設：

• 每次訂購等量的急凍魚蛋
• 學生對咖哩魚蛋的需求變化是常數
• 小食部不會出現缺貨或囤貨問題
• 訂貨至收貨的時間是常數
• 訂貨成本(如運費開支)正比於訂貨量
• 存貨成本(如電費開支)正比於存貨量

由此，總成本=貨物成本+持貨成本+訂貨成本

若以圖像分別表示，總成本則是由三個函數(灰藍綠)相加而成的函數(紅線)：


明顯出現最小值，也是經典的邊際報酬遞減定律，由於x軸是關於訂購量，故值得探討的是，每次訂購多少，才使成本降至最低？









上面既然提及最小值，其實微積分的求導法(簡介、應用)正好大派用場。


延伸閱讀：進階問題(見例一、例二，歡迎回應)

點估計？

[撰文：ricky]

前言：剛完成連續兩日的課程詮釋工作坊，聽到一個有趣的範例，而適逢今日是諾曼第登陸日，特此記錄，以茲紀念。

　
二次大戰期間，究竟德軍共製造多少部坦克？

提示：
話說德國人在製造坦克上，是把坦克從一開始便進行連續編號。而大戰期間，盟軍繳獲一些坦克，間接取得其生產編號。

這估計有什麼問題？















解答：
利用點估計(Point Estimate)的概念，用繳獲坦克中最大生產編號，乘以(n+1)/n，其中 n 代表繳獲坦克的總數，如繳獲20架坦克，最大的編號為100，那麼坦克總數為 100 x (20+1)/20 = 105。

延伸閱讀：點估計(powerpoint)

推車仔的魔力

[撰文：小薯仔]


考試將至，出卷過後，與同工閒談未來幾日的數學堂安排，他的第一個反應是數學遊戲。既然他興致勃勃，當然不可錯過介紹自己心頭好的機會。如果大家不介意用腦的話，我誠意推薦這個數學思維訓練遊戲──「塞車時間」（Rush Hour）。

這是由日本人Nob Yoshigahara（1936-2004）所發明。全套玩具有一個遊戲盤、一輛代表自己的紅色跑車、數輛其他顏色的障礙車及彩色操作咭，一個系列有四十關，現在共有四個系列，遊戲難度各分為四級。遊戲規則簡單易明，在操作咭上，你的紅色跑車將被困於繁亂的車陣中，你需要按咭上指示把車輛放在遊戲盤上，並縱橫推動其他障礙車，以供紅色跑車一條直路逃出困局。

在我的推介中，只要不抗拒思考的，大人細路都會喜歡，並且頻頻跳級，越級挑戰。而我喜歡的程度是十級！如果有實物試玩，比較有快感，不過，大家亦可以到以下網站試玩止渴，希望大家喜歡。 ^.^

延伸參考：九章出版社的網頁介紹、Binary Arts網站　

後記：始終是考試將至，可能是他任教精英班的原故，所以可以放心介紹數學遊戲。相對於其他學生，恐怕積極推動考試溫習方為上上策，我都是繼續努力製作溫習工作紙吧！ ^_^!

新數學課程

[撰文：Ricky]

老師甲：「喂，你間學校在新高中既課程組合攪成點？」
老師乙：「......」

雖知教統局年終無休開辦新數學課程工作坊，自己卻到今日才抽身參加。（任教初中數學的關係，幸得中三級提早考試，兼中二的精英班連複習亦已完成，不然，我討厭犧牲上課時間出席官方工作坊）

如無意外，今年的中一生，到 2009 年將成為首批面對新高中學制的學生；再者，屆時亦不再有獨立的附加數學（Additional Mathematics）、純粹數學（Pure Mathematics）、應用數學（Applied Mathematics）、數學與統計（Mathematics and Statistics），取而代之為單單一個數學科，運作模式主要為以下三種：

◎ 必修部份 (約270-338小時，佔10%-12.5%)
◎ 必修部份 + 選修單元一(微積分與統計) (約405小時，佔15%)
◎ 必修部份 + 選修單元二(代數與微積分) (約405小時，佔15%)

新課程給我即時的印象是：

「課程內容相似，授課對象卻截然不同！」將兩個公開試由二變一，少了一個面對壓力的機會，對學習動機不高的學生，能否投入三年的高中數學課實在成疑？未能投入，若然對他人構成滋擾，對課室中教師一人豈不是煩惱？十七八歲，怎麼說也是準成年的學生。

當然以上說話純粹放在心裡，新政策推行在即，可以做的是準備，別期望我們有議價能力。單單構思如何編班如何分配人手，相信已教所有科主任夠忙吧。

這裡筆者嘗試記錄部份重要答問，藉以分享。

為何將數學納入核心課程，而不勾出如附數、純數作選修科？
與其說數學如何重要之云云，想像課程中剔除數學後之嚴重後果(學科失衡)，避免學生少個機會選其他學習領域科目啦，確保學科(i.e.教席)既市場需求，哈...

課程文件中的用詞：


認識 vs 理解：我聽到的意思，大柢是後者涉及解釋及相關證明吧~
包括 vs 諸如：前者必須教授，後者可有其他選擇
（但考試主導下，恐怕兩者初期都無分別）

學與教方面，我覺得教師得辨清哪些是新加入的課題，哪些是初中的延伸課題，教學上多從學生學生角度出發，這裡的過渡問題不大。當務之急，反而是在編班上，組內組際之間宜謀求共悉，在本科與各科之間的利益取得平衡，對教師團隊的士氣有著穩定的作用。

延伸參考：新高中學制數學科課程介紹一覽

無獎問答遊戲：
留意連結，訪問中有哪些不完善的地方？
（參考單元；統計學的應用與誤用）
答案：(a)研究時段太長 (b)雙重否定 (c)涉及專用名詞 (d)問題內容敏感

數字音樂

隨機聽到 Lover's concerto，令我聯想到林子祥的《數字人生》(填詞：潘源良)，那是我最初聽到的版本(後來才知那是改編的！)，於是隨便搜尋，竟讓我找到這個，歌詞中唯一一段文字，對今日重視數字的教育實在是當頭棒喝：

填滿一生，全是數字，誰會真正知是何用意
煩惱一生，全為數字，圓滿的掌握問誰可以

如今再聽，依然饒富趣味。


記得學期中段，我給學生開了一道額外的習作：「選擇假期裡的一整天，例如由九點起，將自己所見所聽所接觸，與數字有關的盡都紀錄」這樣做除好讓我有原因給予學生多一點「平時分」，其實也希望藉此，測試學生對數字(甚至是數學)在生活中扮演的重要性。

收到的習作為數不少，然而適當的解說(甚至只是單單讓學生互相觀摩比較)，其實學生可以體會甚豐。

範例

[撰文：HWW]
8:00-起床
→ 鬧鐘顯示6:00(時間的顯示)
→ 月曆─4月9日(日期的編排)
8:30-吃早餐
→ 飲牛奶時看到牛奶盒的營養含量的百分比(數量)
9:00-乘坐公共巴士
→ 巴士43A(次序的編排)
→ 巴士的車牌號碼
→ 用八達通時尚有$80.50(金額的多少)
9:30-到便利店
→ 一支維他檸檬茶$5.50(價錢)
→ 報紙上的六合彩號碼(抽中的或然率)
→ 報紙上的統計圖表(數據的顯示)
9:35-打電話
→ 2423****(電話號碼的編排)
10:23-圖書館
→ 圖書(書本的排列)
→ 圖書證號碼
1:00-砌模型
→ B15(零件編號)
4:00-玩電腦遊戲
→ 網址
→ 02194(帳號)
→ 1215*****(密碼)
6:00-煮飯
→ 盛油瓶子的刻度
8:30-用word做功課
→ 字型的大小、行高、邊長

由數字的廣泛應用到上述的音樂創作，若有機會，我會積極考慮將音樂跟數學來個crossover(官方稱為課程統整)。相信略懂樂理的朋友，如果對數理心慌慌，學習樂理怎麼也較困難吧？

輕鬆延伸閱讀：
(一)數字的聲調
(二)兩位美國高中生創作的 rap talk


進階延伸閱讀：數學與音樂的對話（師大學報）