概率教學 Probability Teaching

相信中三的同學最近正在學習機會率（probability），不知大家可曾接觸以下處境：

處境一：
李生和李太有五個孩子，都是女兒。
李太：「我希望我們下一個孩子不是女孩。」
李生：「親愛的，在生了五個女兒之後，下一個肯定是兒子。」
你認為李生說對嗎？

處境二：
很多玩輪盤賭的賭徒以為，他們在盤子轉過很多紅色數字之後，就會落在黑的上，他們就可以贏了。事情將是這樣進行的嗎？

但對學生，他們的生活多少是與這個有關？（多數學校也不會倡導賭博吧）或者由一些遊戲談起吧。

在你面前有三度門，其中一度門後面有巨額獎金，其餘兩度門後面則只有驢仔之類的獎品(原文作"gag gifts")。
遊戲規則是這樣的：首先你選擇一度門。但主持人不會立即揭曉你有沒有得到獎金，反而會在你沒有選擇的兩度門之中，打開其中一度，而那度門外後面是驢仔。
好了，現在剩下兩度門，一度有獎金，一度沒有獎金。主持人說，現在再給你一個機會：你可以維持原來的選擇，或者改變主意，選擇另一度門。你，會怎麼樣呢？

以下動畫模擬上述的活動，希望能給大家一點啟發吧。

教學建議：

• 試用列表或用圖像等方式解釋上述問題的「答案」。
• 過程中，了解學生對課題的誤解（misconception）。
• 利用提問作介入，讓學生覺識其誤解。

笑話一則（鳴謝王sir提供）
有個人很怕乘搭飛機，好心的空中小姐安慰他說：

飛機出事的機會為一千分之一。

那人聽後，便安心休息。

過了一會，那人仍不放心，便問那位空姐：

飛機啟航至今飛行了多少次？

於是空姐便答：

９９９次。

結果那人昏倒了。
延伸閱讀：有人請食飯（轉載自數學資料庫 - 數學趣趣地 - 數學漫畫）
再延伸閱讀（教師適用）：中學生的「概率」概念（pdf）

挑戰題：在所給半徑 r 之圓內隨機(at random)引弦(chord)時此弦之長度比內接此圓之正三角形之一邊大之機率如何？ 答案
挑戰題的反思：何謂「隨機」？怎樣處理幾何概率（geometric probbility）的問題？（當心，新課程是包括幾何概率哩）

學生評語

正在構思一些給學生堂課、工作紙的「四字評語」，
原則是點到即止，不偏不倚，如實反映，
希望學生感覺到老師的心意！

開始做數、太慢了吧、別放棄啊
再接再厲、再下一城、加油加油
略有小成、快完成啦、快一半啦
最後衝刺、難不到你、只餘少許

大家還想到其他嗎？

馮．諾伊曼﹝John Von Neumann）

前言
當下失眠，用了近兩小時整理這網誌，以文字為記，
希望自己，以及各位數學老師今天不會，將來也不會。
（可能我已經係咁，不過大家錫住我，唔當面踢爆啫）

話說有位數學老師，講完一堂微積分後，有個學生走來問他：

「阿 sir，你最後o係黑板上那條問題，我唔係好明你點計 wor~」
這位老師於是轉頭盯著黑板上那個問題，看了約一分鐘，然後答：

「e^x。」這位學生聽了也不明白，於是再問：

「我知呢個係正確答案。阿 sir，我係唔明條數係點計出黎啫~」
這位老師轉而盯住這位學生一會兒，若有所思，然後移開視線，然後答：

「e^x。」這位學生開始失去耐性：

「但阿 sir 你都無話我知，你係點攞到個答案囉~」
這位老師把頭轉向她，神情嚴肅的答：

「同學，你到底想我點啊？我唔係用左兩種方法話你知點計咩？」

啟發
很多時候，老師未必憶起想當年自己做學生，學習有關課題的情況。
今日學生視作來自火星的數學，對老師昔日可以是美味的咖哩魚蛋。
加上老師面對教改，加上老師隔足一年，一次又一次教授同樣課題，
老師根本不易理解，何解學生仍然「唔係好明」。

以上聞說是博奕論（game theory）開山祖師的馮．諾伊曼﹝John Von Neumann，1903-1957）的課堂逸事。生於匈牙利，成名於美國，化學工程師出身，但期間自學數學，23歲取得博士學位。先後在柏林大學和漢堡大學任教，23歲成為普林斯頓高等研究所的終身教授。

從生卒年份，可知 Von Neumann 少年時正值戰亂。

聞說二次大戰期間，他擔任製造原子彈的顧問，為原子彈的設計方案提出許多重要建議，又於1944年參與世上首部電子計算機的設計及開發。雖然我極之反對用大殺傷力武器去制止戰爭，但電子計算機的發明破解大量納粹德軍機密，在結束歐洲戰事上，應記一功。同年他與奧斯卡．摩根斯坦（Oskar Morgenstern）合著的《博奕論與經濟行為》（The Theory of Games and Economic Behavior），亦奠定他們在經濟學的江湖地位。

傑出貢獻背後也少不了其過人才能，以下故事略見一斑。

在一次雞尾酒會裡，有人問他：「已知家明及婉君相距20km，雙雙以時速10km/hr 迎面而來。若有一隻小蜜蜂由家明飛向婉君，再飛回家明，來來回回直至他們相遇，如果蜜蜂飛行時速為15km/hr，問牠來來回回總共飛了多少 km？」

「答案咪係15km。」Von Neumann 思索片刻便指出正確答案。

見到他答得快而準，提問者遂而指出：「一般人知道每一次來回的距離愈來愈短，是等比數列，答案涉及無窮級數求和的方法（當時這可算是複雜數學，豈知今天只是會考程度的課題？）。許多人試圖用複雜的方法求解這道題目，但不知道『那二人一小時後相遇，而蜜蜂一小時飛 15km，要求的答案是 15km』的簡單道理，絕大多數數學家總忽略能解決這個問題的簡單方法。」

提問者以為 Von Neumann 準是知道這簡單方法，然而 Von Neumann 卻是語出驚人：「其實，我真係你講個種，用無窮級數求和的方法計算答案。」

後記
就第一個故事，對老師對學生對課題當然可有深不見底的反省，
不過若上堂前學生能做預習，而堂上卻無法聽明課題，
那問題多數在於老師。(總之記住要做足預習~)

斐波那契（Fibonacci）

前言
得悉來年空降，任教中一，故嘗試更新手上的教學資源。
今次選上的是梁子傑老師早年製作有關斐波那契（Fibonacci）的介紹。
只是「兔子問題」我轉用 Miffy，學生會喜歡吧？
背景用剩色的版面則為配合我用黑板教學。
（有些學校用投影片時要拉屏幕，結果大半個黑板被遮掩而不能用吧？）

考慮到學生的學習差異，故我把其他有關的例子放在下面，
作為課後延伸或學會探究活動，未嘗不可。


註：出現黑色背景時，教師可拉起投影屏幕，
先著學生分組討論，後用 chalk & talk 記下學生討論結果。

補充資料：植物的數學奇趣（香港討論區）

不一樣的老師？

看過一位學生描寫教她數學科的班主任，感慨萬分。
跟這位老師相比，我的學生連六四事件也不能跟我對嘴，
學生成績下滑帶來的憂心教我笑不下去，
在公眾地方也不再那麼隨便放聲大笑，
問數既人也少了（正確的說法是嫌太少），
我把口也愈來愈尖酸刻薄！愈來愈現實！
對人也不輕易賣帳。只消三年，我竟變成這樣子？

作文日期：2006-03-24

在學校，老師的地位好像永遠比學生高一等，因為老師是長輩，所以他們也擺出長輩的樣子，比如很嚴肅，或者滿腹處世經緯似的。這一套方式對學生來說並不管用，造成學生和老師之間的距離。

班主任卻是另一種人，他的年齡跟同學相差少於十年，可謂大家活在同一個年代，沒有代溝。班主任永遠不會擺出一副高高在上的樣子，大家最記得的一定是他燦爛的笑容，像陽光般能暖化人心的微笑，笑起來還挺可愛。老師是位十分有風度的男士，無論你是男或女，他總會用禮貌地跟大家談話，而且處處顯露出關心。

老師每每在「公眾地方」出現，例如梯間、操場、走廊，都會引來一大群同學圍著他，儘管他沒有太多時間，他仍會不厭其煩地為同學講解，解答同學的問題，為同學分擔煩惱。記得有一堂課，同學們吵得無法上課，他表現得有點生氣，他仍然以學生為大前提，他說：「我很不開心。」，同學們安靜下來，老師繼續說：「我不開心，是因為部分同學不懂，又不聽講解，回到家裏又不會做功課，測驗不及格時，又會感到悶悶不樂。因為你們不開心，所以我更不開心。」聽完他的一番話，不少同學都很感動，哪會有一個老師以學生的情緒為先？哪個老師會在你難過的時候，陪你一起難過？

那一天放學的時候，和同學二人一起到教員室找班主任，老師坐在近門口的位置，一聽到同學的呼喚聲，他掛著招牌的笑容走出來，那個像溫泉水的笑容讓人一下子放鬆起來。老師是個數學高手，我和同學都來問他數學習題的。「老師，您可不可以簡介一下《幾何原本》？」我們問。老師說：「基本上，《幾何原本》是．．．我可以上網找一找資料給你們。」說完，老師轉身為我們搜集資料，不一會兒，他已經把資料列印出來。然後他繼續教我們數學習題，有時他會笑一笑，說：「數學只是生命的一部分。」大家馬上聯想到下一句：數學卻是不可缺少的一部分。「老師，你今日好惡哦！」我笑著說。「嘿，今天有幾個學生不專心...」我們從來不怕說真心話，不用拘泥於師生關係。他會滔滔不絕地說很多話，像一個很熟悉的知己般，而且毫無保留地教導學生。

老師真是一個很好的人，除了好外，實在找不到別個更貼切的形容詞。他會在你失落的時候開解你，在你成功的時候讚揚你，當別人對你的才幹顯出不屑的時候，唯獨他會欣賞你，他會讓你重拾自信。讀了這麼多年書，終於遇上一個不一樣的老師，用心去對待學生的老師。

文中所指，我感覺那更似另一位同事。