課堂解構

在一個有關數學的研討會，有學者指出：

研究所得，以一堂五十分鐘的數學課為例，香港的數學老師總共講了 5798 個字；而比較老師及學生的說話比例，香港教師每講16個字，學生才開口講1個字(日本的比例是13:1；美國的比例是8:1)...

不妨檢視一下，我們一節的數學課裡，以下活動的時間分配是怎麼樣呢？理想的時間分配應該怎樣？實際上又有什麼限制？

• 學生獨自做習題(彼此不加以干擾)
• 小組協作做習題
• 老師講講講...
• 學生做發表做匯報
• 訓育？
• 輔導？
• 其他

說到底，我們是否提供足夠的機會讓學生建立數學的概念？

估，都要估得有個譜吧？

（午飯後上數學堂，「飯氣」正遊走經絡之間．．．）
「ｘ同學，若你用估算，你估一架巴士太約有幾高啊？」
「．．．er．．．咪大約．．．大約高廿米啦～」

這些反智思考不夠慎密的應對，相信大家不會感到陌生。
以下的活動，希望令大家有所啟發。

活動推介：金字塔的估算活動

1. 輸入以下網址：http://www.ancientegypt.co.uk/pyramids/activity/main.html
2. 分別就高度、底面積、重量進行估算。
3. 提醒學生自行寫下，暫時不作任何討論。(避免學生受他人影響)
4. 過程中的提問...「有什麼解題策略？」「有無其他特別的考慮？」
5. 就學生的解釋加以補充。
6. 輸入其中一個「較合理」的學生答案（應該無可能估中，但這不打緊），讓學生再估／公佈答案。

雖然這不是關於數學教育，但過程中我們可了解學生對想像與真實之間的差別。另外每個處境「估」的成份各有不同，教師可加以比較讓學生知道：「估，都可以估得有個譜吧。」

延伸活動： 電子間尺、動畫及使用介紹（英）

一點想法：教學重點不在於學生是否「估中」（結果），而是讓學生了解自己及其他人怎樣估算（過程）

歡迎回應：)

求積法的提問 Questioning in Measuration

有人認為，對面積公式，應該要等一定要記熟，有些最好能背誦，朗朗上口。然而，好的提問，除了能啟發思考，其實對協助學生如何組織概念起重大作用。即使要背，也應該要背得有系統吧？


(在黑板上畫上附圖)

問：三角形面積的大小和「底」、「高」有什麼關係？
問：如果三角形的底／高不變，三角形面積的大小和高／底有什麼關係？
問：兩個完全一樣的三角形可以拼成一個已學過的什麼圖形？
問：拼成的圖形的底是原來三角形的哪一條邊？
問：拼成的圖形的高是原來三角形的什麼？
問：三角形的面積是拼成的圖形面積的多少？
問：怎樣來表示三角形面積的計算公式？
問：為什麼求三角形面積要用底乘以高再除以2？
問：如何解釋為何三角形、梯形的面積公式均有二份之一？
問：你能利用梯形面積公式，推導其他圖形的面積公式嗎？
問：如果只可以背熟一條公方式，你會如何選擇？
問：形式上，這些公式有什麼相似的地方？

延伸閱讀：數學課的提問藝術

錯在哪裡？

在一個數學比賽中找到這條數學題，對錯都是其次，怎樣理解，其實比知道答案更加有價值。
(數據顯示，有五份之一同學根據附圖作答，人數比答對的人更多)
問：學生是怎樣理解呢？

歡迎回應：)

[轉載+精華] 數學文字題及課業的處境應該有多真實？

作者：黃家鳴(香港中文大學課程與教學學系)

完全脫離日常生活實際的數學難題又是否完全不可取呢？

一位心理學家問小孩：「如果你到雜貨店買糖果，值6仙，你付了10仙，應找回零錢多少？」小孩答他從未擁有過10仙，如果有，他絕不會拿來買糖果，況且他媽媽也會做糖果。

類似趣事其實來自一本三十年代的教育心理學著作，聽起來並不陌生，或者我們小時候也曾被人問過類似的問題，諸如樹上有10隻小鳥，獵人瞄準了1隻並開槍打牠下來，問樹上還有小鳥若干。如果你正經八百地計算10減1的話一定讓出題的人笑得人仰馬翻。

那麼數學課是否真的有些什麼特別，以致學生「懂得」以另外一種方式、態度來處理數學課涉及的問題呢？…這裡我們隱約見到當問題的真實性較高時，學生還是會考慮一些現實需要和條件的。

其他要點：

• 有趣的處境難題可以提高學習興趣，但要認真思考如何避免太多太人工化的虛擬處境。

• 其實，數學以其純粹形式出現的很多情境都足以令不少學生傾心而沉醉於解題之中，問題反而是數學教師本身的數學素養，是否足以支撐一個有數學味道的數學課。
  

…
最後，僅以一題完全虛假卻不能不如此擬題的文字題作結：

保羅放下他的書，在一張小紙片上計算著。
「這本書裡有很多可讀的東西，」他告訴他的妻子，「我想你也一定喜歡。」
不要讓我等太長時間！」瓊微笑說，「你還有多少要讀？」「將近150頁，」保羅回答道，「我看這裡有些東西非常奇特。第一章是從第13頁開始的，從這一頁到我現在正看著的前一頁，那些頁的頁數相加，跟我將要看的那些頁的頁數相加，兩者和是一樣的。」「那麼你看的時候有沒有跳過一些頁呢？」瓊問，「無論如何你等看完書再去算那些東西，我想要書！」實際上保羅一頁都沒有跳過。

試問，他手頭正在讀的是第幾頁？

延伸閱讀：原文(須另轉簡體字)及<數學教育>

空間與量度

從友基部落看到google earth的免費下載及介紹，當中也想到一些教學上的提問：

Q1：找出一所學校的所在點，估算學校操場的大小。
Q2：事前試找出美國五角大廈、羅馬競技場、北京的故宮，請學生探討箇中的形狀。
Q3：就一城市的街道圖，形容這些形狀的數學特性。

當然，這些軟件是工具，提出什麼問題也是其次，更重要的是教師本身要掌握課堂的目標，如何緊扣內容的要點，同時盡量避免自己及學生偏離主題。

如果由閣下任教，你可想到什麼有意義的數學課？歡迎指教及回應。

用英語讀數學符號

考慮到有中中學校於高中改以英語授課，希望這個網址對大家有用。

來源：順德聯誼總會鄭裕彤中學-數學科

[代數]第一次的數學危機的啟思

(轉載自數學資料庫中的數學漫畫)

與其直接陳述當中的來龍去脈，這裡有個活動建議：將八張A4紙鋪成下列的圖樣，探討A4紙長和闊的關係。再考慮使用其他長和闊均為整數的矩形，看看能否做到圖中的效果。


對於活動，個人愚見還是要先看學生是否合作，不然，留下網址讓學生自行了解吧。

從七個圓學習平面圖形

Q1：怎樣利用微軟的Word繪畫以上圖形？
L：先畫一個圓形，選擇[複製]+[貼上]作第二個相同大小的圓。將兩個圓剛好成八字形後，選擇[群組]後，再用[複製]+[貼上]作另外兩組八字形，移庢重疊後，分別旋轉60度及120度。最後在圖中央貼上最初的圓形，完成。

Q2：根據圖中的相交點，可連結成多少種四邊形？試繪製表示。

Q3：根據繪製的四邊形，試計算每個內角的大小。

Q4：根據圖中的相交點，可連結成多少種矩形？試繪製表示。

Q5：根據繪製的矩形，哪些具相似的性質？試解釋說明。


以上問題，歡迎提出意見。(請註明所回答的問題)