長時間改簿，對相同的地方出現類似錯誤多少變得麻木，好處是自己的反應也會來得「自然」，順手一揮，加上同一句提醒/評語/督責/安慰，但壞處是自己會不知不覺地忘記，總有人會是很用心去做家課（當然有不少是明顯用心卻明顯一團糟），付上實實在在的光陰，克服打機上網睇電視煲電話粥煲日劇韓劇落旺角上加州窮等等的誘惑（或是克服參加課外活動的魔力），而乖乖地坐在書枱前定睛在一道數學題前費盡心機。
但有時多少也總有感乏力的一刻吧？
畢竟也是人，離開工作間，我也有打盹的時候。
2006/10/28
數學•女同學
文：祈思
由數學學會會員名單看見，初中的會員當中，只有四分之一是女同學。這個差異，起初也令我感到驚訝，為什麼學習數學好像有男女之分呢？
一般來說，上數學課時，堂上發言的多數是男同學，計算最快的好像又是男同學，測驗考試最高分數的又是男同學，未知這些是否妨礙女同學學習數學的主因，不過，我認為這個問題很值得關注。
近日有老師指出，理科班女同學的分數偏低，尤其於數學、附加數、物理三方面，男女同學的分數差異更為明顯，中位數以下的多是女同學。理論上，大家的腦袋差不多，不應該有這種分別，我想，導致出現這種情況的原因，是在於外在環境的影響，甚於理解能力。
女同學普遍善於背誦，因此可能會傾向喜歡中文科和生物科；男同學則對電腦、數學、物理充滿興趣，日積月累的知識，形成好像男同學理解偏優的情況，其實，關鍵可能在於興趣。對一門科目有興趣，加上一定的努力，很多時候也可以較一般同學優勢。
我認識一個物理成績很好，但數學成績卻一般的女同學。由於喜歡物理科，平時的功課、習作、堂上發問，對這位女同學來說很容易，考試成績也比許多男同學優勝。可見能否拿到好成績，興趣十分重要。
在整個環境中，女孩總是文靜地聽書，但男孩卻會多發問、思考。女同學不會做物理功課，周遭的同性又不會做，所以可以選擇置諸不理，而沒有壓力；男同學不會做物理功課，卻會拚命地找方法去做，因為四週的男同學都是強者，不會做，顯得過份遜色。數學也如是，當習慣了滿分那個一定是男同學，女同學可能會放棄了爭取，只會留守於成績中等的一群中，最後，又會出現以男同學為主的氣氛。
寫到這裏，忽然想起不同數學老師的話，好像沒有一句是針對性別而說的，他們的話大意都是：「這個世界沒多少個天才，多做、多想才會拿到好成績。」
後記：祈思是某中學數學學會的主席。
由數學學會會員名單看見，初中的會員當中，只有四分之一是女同學。這個差異，起初也令我感到驚訝，為什麼學習數學好像有男女之分呢？
一般來說，上數學課時，堂上發言的多數是男同學，計算最快的好像又是男同學，測驗考試最高分數的又是男同學，未知這些是否妨礙女同學學習數學的主因，不過，我認為這個問題很值得關注。
近日有老師指出，理科班女同學的分數偏低，尤其於數學、附加數、物理三方面，男女同學的分數差異更為明顯，中位數以下的多是女同學。理論上，大家的腦袋差不多，不應該有這種分別，我想，導致出現這種情況的原因，是在於外在環境的影響，甚於理解能力。
女同學普遍善於背誦，因此可能會傾向喜歡中文科和生物科；男同學則對電腦、數學、物理充滿興趣，日積月累的知識，形成好像男同學理解偏優的情況，其實，關鍵可能在於興趣。對一門科目有興趣，加上一定的努力，很多時候也可以較一般同學優勢。
我認識一個物理成績很好，但數學成績卻一般的女同學。由於喜歡物理科，平時的功課、習作、堂上發問，對這位女同學來說很容易，考試成績也比許多男同學優勝。可見能否拿到好成績，興趣十分重要。
在整個環境中，女孩總是文靜地聽書，但男孩卻會多發問、思考。女同學不會做物理功課，周遭的同性又不會做，所以可以選擇置諸不理，而沒有壓力；男同學不會做物理功課，卻會拚命地找方法去做，因為四週的男同學都是強者，不會做，顯得過份遜色。數學也如是，當習慣了滿分那個一定是男同學，女同學可能會放棄了爭取，只會留守於成績中等的一群中，最後，又會出現以男同學為主的氣氛。
寫到這裏，忽然想起不同數學老師的話，好像沒有一句是針對性別而說的，他們的話大意都是：「這個世界沒多少個天才，多做、多想才會拿到好成績。」
後記：祈思是某中學數學學會的主席。
2006/10/18
一個提問的事後反思
今日放學，有個中二男生走來問我一個問題：
當然問題內容還是次要，但所謂「發明千千萬，起點是一問」，我也順道問他發問的動機，他也很坦白回答：「有時我想，如果有日考試欠帶計算機，對住這類題目，能否有解決的方法？」難得的是，他肯主動思考而去發問，事關經驗上，大多數學生寧願想法子提醒自己帶計算機入試場而不會想這個，同時有更大多數人不會如斯細心，都臨場才驚覺漏帶計算機而問你借機，自己心情難免矛盾：「不想借，免得助長歪風，雖知世途險惡，貴人並非必然在左近；想借，始終是自己學生，多少總有點惻隱之心，雖然很想佢死一次...」
其實今時今日，物質生活變得豐富，學生過度依賴計算工具仿佛是大勢所趨，舉例來說，初中數的「科學記數法」，部份程度淺易的題目，其實可透過代入、約簡等代數操作(manipulation)去解決，而不必事事要用計算機代勞。然而，剛剛教授新的課題，學生還未掌握概念本身，便急性問有否用計算機的方法。當然，在下並非一切要返璞歸真，讓學生回到紙算、查對數表的年代，而且投身社會，其實能懂得四則運算、利率應用等可能也都綽綽有餘，不過，這樣的氛圍，恐怕對數學教育多少構成負面影響。恐怕他日連一節數學課，也要加入魔術、笑話、故事的襯托，才或者能夠帶出一點點數學味道。
「科技」、「工具」本身是中性，關鍵在於怎樣運用，但若因著科技而失去那種對數字的觸覺，那比起失去毅力、耐性、嚴謹等態度或共通能力(generic skill)等更是數學教育的不幸。所以習慣上，當學生表示：「其實 XXX 用計算機解決咪可以囉...」我多數也回應一句：「可以用計算機，但又是否必需要用？」
當然，這也是這個部落設立的理念。
希望這裡能成為一個討論數理的選擇。
(繼續回到待改的三疊卷，面對一個個甚有進步空間的學生)
有沒有方法，可以不用計算機，能夠計算出某數的平方根？其實當下在下正要為手頭上三疊待放的測驗卷煞費苦心，加上睡意正濃，心裡多少有點惰性，不想馬上回答。於是我選了中五的半分法作回應，當他不明白為何要二分的時候，我靈機一動觸跟他玩個「開口中」遊戲，讓其發現拿中間數作試算的技巧，最後借了本「數學拾趣」，著其自行細閱 P.100-103。
當然問題內容還是次要，但所謂「發明千千萬，起點是一問」，我也順道問他發問的動機，他也很坦白回答：「有時我想，如果有日考試欠帶計算機，對住這類題目，能否有解決的方法？」難得的是，他肯主動思考而去發問，事關經驗上，大多數學生寧願想法子提醒自己帶計算機入試場而不會想這個，同時有更大多數人不會如斯細心，都臨場才驚覺漏帶計算機而問你借機，自己心情難免矛盾：「不想借，免得助長歪風，雖知世途險惡，貴人並非必然在左近；想借，始終是自己學生，多少總有點惻隱之心，雖然很想佢死一次...」
其實今時今日，物質生活變得豐富，學生過度依賴計算工具仿佛是大勢所趨，舉例來說，初中數的「科學記數法」，部份程度淺易的題目，其實可透過代入、約簡等代數操作(manipulation)去解決，而不必事事要用計算機代勞。然而，剛剛教授新的課題，學生還未掌握概念本身，便急性問有否用計算機的方法。當然，在下並非一切要返璞歸真，讓學生回到紙算、查對數表的年代，而且投身社會，其實能懂得四則運算、利率應用等可能也都綽綽有餘，不過，這樣的氛圍，恐怕對數學教育多少構成負面影響。恐怕他日連一節數學課，也要加入魔術、笑話、故事的襯托，才或者能夠帶出一點點數學味道。
「科技」、「工具」本身是中性，關鍵在於怎樣運用，但若因著科技而失去那種對數字的觸覺，那比起失去毅力、耐性、嚴謹等態度或共通能力(generic skill)等更是數學教育的不幸。所以習慣上，當學生表示：「其實 XXX 用計算機解決咪可以囉...」我多數也回應一句：「可以用計算機，但又是否必需要用？」
當然，這也是這個部落設立的理念。
希望這裡能成為一個討論數理的選擇。
(繼續回到待改的三疊卷，面對一個個甚有進步空間的學生)
2006/10/08
補習成風...
文：祈思
近日，同學們紛紛拿出各補習社的宣傳單張，比量一番。印刷精美奪目的封面，是那些經常於巴士車身、報章雜誌等廣告出現的男女。
標榜著名師指導、奪Ａ必讀的課程，忽然成為學生的靈丹妙藥，彷彿只要補習，就可以令成績突飛猛進。於是，數百元甚至近千元一個月的補習費用，完全不成問題。
補習的成效真的那麼大嗎？學期初，當老師展示出會考成績時，也曾鼓勵大家記得儲好錢，預備日後補習之用。中五的同學也不忘提醒：記得暑假去補好各科！
四周彌漫著趨之若鶩的補習氣氛，可是，一些天才型的學生卻不以為然。他們不用補習，上課時輕輕鬆鬆聽書，筆記也懶得去抄，當老師堂上發問時，卻能十分準確地回答，且以良好的成績遙遙領先。放學後，當別人忙著外出補習時，他們卻可以回家玩電腦或睡覺。
算起來，這麼真的有點不公平！花錢辛苦補習的人不旦不能佔上風，隨著補習時間加長，時間愈來愈少，壓力也愈來愈大，一些突發的集體活動，例如放學後留下做些什麼事時，趕著去補習的人可苦惱了。雖然這樣忙，那樣忙，成績可能只是跟其他學生差不多。
其實，補習像處方藥物一樣，只屬輔助性質。吃完藥後會康復、補過習會維持一定成績，皆是同一道理，只是無形中，家長花的錢多了。但如果把補習看得太重，甚至自以為補過習後就聰慧過人，自嗚得意，那麼只是本末倒置而已。上學時，教師已把重點或概念加以講解，要學的，堂上會教，要不然，教師的存在是為了什麼？難道教科書及不上一本本的精讀筆記？
補習有它的副作用，比方說，當一個學生無法理解抽象的概念時，就會埋怨教師的教學方法，然後乾脆放棄聽書，放正他們留有後著──補習。聽書與否，也就變得無關痛癢。當然，補習也有好處，學校教師無法照顧每一位學生，補習就是多了一個學習的機會，也能從不同角度熟習題目──假如能正確利用的話。
看過相關宣傳小冊子的同學，不久後一踴而至報讀相關課程；不加理會的同學，閒時做做習題，仍能應付自如。至於真正的分別，也許要看年半後的會考成績吧！
近日，同學們紛紛拿出各補習社的宣傳單張，比量一番。印刷精美奪目的封面，是那些經常於巴士車身、報章雜誌等廣告出現的男女。
標榜著名師指導、奪Ａ必讀的課程，忽然成為學生的靈丹妙藥，彷彿只要補習，就可以令成績突飛猛進。於是，數百元甚至近千元一個月的補習費用，完全不成問題。
補習的成效真的那麼大嗎？學期初，當老師展示出會考成績時，也曾鼓勵大家記得儲好錢，預備日後補習之用。中五的同學也不忘提醒：記得暑假去補好各科！
四周彌漫著趨之若鶩的補習氣氛，可是，一些天才型的學生卻不以為然。他們不用補習，上課時輕輕鬆鬆聽書，筆記也懶得去抄，當老師堂上發問時，卻能十分準確地回答，且以良好的成績遙遙領先。放學後，當別人忙著外出補習時，他們卻可以回家玩電腦或睡覺。
算起來，這麼真的有點不公平！花錢辛苦補習的人不旦不能佔上風，隨著補習時間加長，時間愈來愈少，壓力也愈來愈大，一些突發的集體活動，例如放學後留下做些什麼事時，趕著去補習的人可苦惱了。雖然這樣忙，那樣忙，成績可能只是跟其他學生差不多。
其實，補習像處方藥物一樣，只屬輔助性質。吃完藥後會康復、補過習會維持一定成績，皆是同一道理，只是無形中，家長花的錢多了。但如果把補習看得太重，甚至自以為補過習後就聰慧過人，自嗚得意，那麼只是本末倒置而已。上學時，教師已把重點或概念加以講解，要學的，堂上會教，要不然，教師的存在是為了什麼？難道教科書及不上一本本的精讀筆記？
補習有它的副作用，比方說，當一個學生無法理解抽象的概念時，就會埋怨教師的教學方法，然後乾脆放棄聽書，放正他們留有後著──補習。聽書與否，也就變得無關痛癢。當然，補習也有好處，學校教師無法照顧每一位學生，補習就是多了一個學習的機會，也能從不同角度熟習題目──假如能正確利用的話。
看過相關宣傳小冊子的同學，不久後一踴而至報讀相關課程；不加理會的同學，閒時做做習題，仍能應付自如。至於真正的分別，也許要看年半後的會考成績吧！
2006/10/06
兩道關於平方數的證明題
證明以下兩道關於平方數的命題：
（換個比較易明的講法：「點樣先知下面兩句一定啱呢？」）
在不用計算機的情況下，試試如何用代數式表示。
歡迎各方人仕回應。
（換個比較易明的講法：「點樣先知下面兩句一定啱呢？」）
- 任何兩個連續單數的積加上１後，答案必然是完全平方數。
- 任何四個連續數的積加上１後，答案必然是完全平方數。
在不用計算機的情況下，試試如何用代數式表示。
歡迎各方人仕回應。
2006/10/02
抄襲家課(1/3)
入職初期，批改課業往往是令自己感到最費時最教人氣餒的地方。尤其是看到一本又一本連字跡也幾乎一模一樣的家課（我稱之為「草書」，字跡凌亂之可怖，至今仍不堪回首），更是教人深感不忿。「幹嗎學生可以草草了事，自己卻要賠上無限青春，去做一些不知意義何在的地方？」
小補充：然而既然我們也會想到「意義」的問題，是故學生也不難會去問「學ＸＸ有什麼用？」、「這樣做有什麼用？」，只是他們需要可以是一些「意義」，而非純粹的工具價值。當然，更大可能性是學生已經悶得不耐煩，才不得有此一問。所以如果學生問起這個，恐怕情況已經是相當嚴重，並非你三言兩語便能解惑，如斯理性的人不多。
人常戲言曰：「天下文章一大抄」，書法中也有所謂「臨摹」，不難發現「依樣畫葫蘆」、「複製」都算是一種學習。但在數學領域，一門講求思考的藝術，身為人師，我們可有怎樣的胸襟去處理這學校常見的「現象」（使用「問題」或「處罰」等字眼恐怕令大家覺得在下視之為負面）？雖作表態，但字眼上我仍想用「抄襲家課」，以方便解讀本文。
對於抄襲家課，我嘗試從犯罪心理學或經濟學的觀點說明一下。
一個人，進行某種選擇的前題是「利益大於代價」（「代價」學術上應稱為期望成本 Expectation/Expected Cost），最常見的例子是囚犯的困境。由此引申，抄襲家課的人便要衡量利益（可能是更快完成家課、和其他靠真材實料的同學取得同樣高分、不被老師打擾或其他...）及代價（壞印象、重做、扣分、寫手冊、家長收到來電/短訊問候、記缺點、留堂或其他...），再考慮被發現/不被發現的機會，繼而進行抉擇。雖然實況告訴我，很多平庸的學生多是只看到利益，也認定被發現的機會接近零，這其實跟一個病態賭徒相信自己有賭未為輸相若，純真得可愛。
也有些深黯以上道理的，便會在抄襲家課的技巧上多花功夫，如抄襲多份家課，以集各家之大成；又或故意製造一些小錯誤，令自己不那麼突出。不過，能夠以批判的思維去辨識哪是小成/大成，能夠分辨對錯以製造一些小錯誤，這些表現多少已經展示其思維能力，只是與我們的價值系統出現差異。
幸好這個世上，並沒有很多夜神月。
暫且想到這裡，事關身為人師，他日當你手上的家課做得很出色，而你卻以「小人之心度君子之腹」的心態去審視這位學生，不是有點兒不公嗎？這裡多少引起「應否信任學生？」的迷思，難免令良知掙扎。至今為止，個人仍相信「信任」是師生關係的支持點，只是這是需要力量及盼望去維持。若有所同感，有時大家還要提防社會上一些「不信任機制」引入學校及自己的思維，幸好考試裡有一條「疑點利益歸於學生」的不成文規定，不然連學校也不能孕育「互信」的種子，這實非我們的領導再引入多少資源便能有所果效。
以下兩個問題，我將會加以評論，有時探索問題的過程比結論更加好玩。
1. 發現「抄襲家課」前，為師可以做什麼？
2. 除選擇「抄襲家課」，學生有什麼其他選擇？
= = = = = = = = = =
小補充：然而既然我們也會想到「意義」的問題，是故學生也不難會去問「學ＸＸ有什麼用？」、「這樣做有什麼用？」，只是他們需要可以是一些「意義」，而非純粹的工具價值。當然，更大可能性是學生已經悶得不耐煩，才不得有此一問。所以如果學生問起這個，恐怕情況已經是相當嚴重，並非你三言兩語便能解惑，如斯理性的人不多。
人常戲言曰：「天下文章一大抄」，書法中也有所謂「臨摹」，不難發現「依樣畫葫蘆」、「複製」都算是一種學習。但在數學領域，一門講求思考的藝術，身為人師，我們可有怎樣的胸襟去處理這學校常見的「現象」（使用「問題」或「處罰」等字眼恐怕令大家覺得在下視之為負面）？雖作表態，但字眼上我仍想用「抄襲家課」，以方便解讀本文。
對於抄襲家課，我嘗試從犯罪心理學或經濟學的觀點說明一下。
一個人，進行某種選擇的前題是「利益大於代價」（「代價」學術上應稱為期望成本 Expectation/Expected Cost），最常見的例子是囚犯的困境。由此引申，抄襲家課的人便要衡量利益（可能是更快完成家課、和其他靠真材實料的同學取得同樣高分、不被老師打擾或其他...）及代價（壞印象、重做、扣分、寫手冊、家長收到來電/短訊問候、記缺點、留堂或其他...），再考慮被發現/不被發現的機會，繼而進行抉擇。雖然實況告訴我，很多平庸的學生多是只看到利益，也認定被發現的機會接近零，這其實跟一個病態賭徒相信自己有賭未為輸相若，純真得可愛。
也有些深黯以上道理的，便會在抄襲家課的技巧上多花功夫，如抄襲多份家課，以集各家之大成；又或故意製造一些小錯誤，令自己不那麼突出。不過，能夠以批判的思維去辨識哪是小成/大成，能夠分辨對錯以製造一些小錯誤，這些表現多少已經展示其思維能力，只是與我們的價值系統出現差異。
幸好這個世上，並沒有很多夜神月。
暫且想到這裡，事關身為人師，他日當你手上的家課做得很出色，而你卻以「小人之心度君子之腹」的心態去審視這位學生，不是有點兒不公嗎？這裡多少引起「應否信任學生？」的迷思，難免令良知掙扎。至今為止，個人仍相信「信任」是師生關係的支持點，只是這是需要力量及盼望去維持。若有所同感，有時大家還要提防社會上一些「不信任機制」引入學校及自己的思維，幸好考試裡有一條「疑點利益歸於學生」的不成文規定，不然連學校也不能孕育「互信」的種子，這實非我們的領導再引入多少資源便能有所果效。
以下兩個問題，我將會加以評論，有時探索問題的過程比結論更加好玩。
1. 發現「抄襲家課」前，為師可以做什麼？
2. 除選擇「抄襲家課」，學生有什麼其他選擇？
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"...the kind of thinking that will solve the world's problems will be of a different order to the kind of thinking that created those problems in the first place.(Albert Einstein)"「解答世界的問題所需要的思維，是與產生這些問題的思維，處與不同的層次。」─愛恩斯坦(來源)
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