2012/01/30

[問題] Why $101| 100^{2N} - 1$,$N\in\mathbb{Z^{+}}$?

Why [100^2N - 1] (where N is positive integer) is divisible by 101?
這裡示範「一題多解」技巧

數學歸納法 Mathematics Induction

當 $n=1,2$,命題成立。考慮 $n=k-1,k$,$k\in\mathbb{Z^{+}}$
則 $100^{2k} - 1=101D$,$D\in\mathbb{Z}$
及 $100^{2(k-1)} - 1=101E$,$E\in\mathbb{Z}$

由於
$100^{2(k+1)} - 1$
$=(100^{2k} - 1)(100^{2} + 1) -100^{2k}+ 100^{2}$
$=10001(101D)-100^{2}(100^{2(k-1)}-1)$
$=10001(101D)-10000(101E)$
$=101(10001D-10000E)$
$=101F$,$F=10001D-10000E\in\mathbb{Z}$
(證畢)

二項式定理 Binomial Theorem

考慮 $100=101-1$
所以,
$100^{2N} - 1$
$=(101-1)^{2N} - 1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}+(-1)^{2N}-1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}$
$=101[101^{2N-1}+\binom{2N}{1}101^{2N-2}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}(-1)^{2N-1}]$
(證畢)

和差公式 Summation of Difference

$100^{2N}-1$
$=10000^{N}-1$
$=(10000^{N}-10000^{N-1})+(10000^{N-1}-10000^{N-2})+...+(10000^{1}-1)$
$=\sum (10000^{n}-10000^{n-1})$
$=\sum [10000^{n-1}(10000-1)]$
$=9999\sum 10000^{n-1}$
$=101(99\sum 10000^{n-1})$
(證畢)

其實,數學老師會否接受學生這樣解釋:
這個數的數值必定由 4 的倍數的 9 所組成(例如 9999、99999999、999999999999、...),因此必定是 9999 的倍數(即 $101\times99$ 的倍數)。

[挑戰]還有其他方法嗎?有沒有無言證明(proof without word)?

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