2012/11/20

三角形的心、歐拉線、歐拉圓、費馬點

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看本文前,先到此連結玩玩啦~

以下是我很喜歡的自學教材(一)教材(二),若在課室使用投影機,請確保房間夠暗唷。

此外,對任意三角形,
「三邊的中點」、「三條高線的垂足」及「垂心和三頂點連線的中點」,這九點共圓,這個圓稱為 "九點圓" ,且其半徑為 ½ R (R 為三角形外接圓的半徑)。九點圓亦叫做 :
歐拉圓 (Euler Circle) < 我較喜歡的稱呼~ 龐斯萊圓 (Poncelet Circle) 費爾巴哈圓 (Feuerbach Circle)

此外,不得不提的還有費瑪點(Fermat Point),費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)本身是一名律師,數學是其業餘的嗜好,話雖如此,他在數學上的成就不比職業數學家差,雖則無「發表」論文,但是他幾乎與同期所有歐洲大數學家保持通信。話說他收到一個問題:
要找出三角形裡最小點的位置,
這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短。
套用今日的情況,如果 M 記要開分店,讓這分店到這三個屋苑(A,B,C)的距離總和是最短,那麼這個位置(F)就叫做費馬點。它的「作圖法」及「幾何證明」是吸引我的地方。

幾何證明本身分2個情況:
(1)三角形全部內角內角都小於120o 
(2)三角形其中一隻內角不小於120o
記得以前初初接觸該題目,我竟意想不到情況(2)的出現...Orz



根據情況(1),用規尺作圖的技巧
按三角形的邊長作三個等邊三角形。
連接 CC'、BB'、AA',
則三條線段的交點就是所求的點。

證明步驟
(1)證明 CC'、BB'、AA'三線共點(collinearity)
(2)證明P點的唯一性(uniqueness)
可惜的是,我所用的步驟涉及圓形的定理,若以初中生作對象,使其明白三線共點的證明應十分費時。課時內不易處理(外心、內心、垂心、重心其實也涉及三線共點,但在下即使任教「精英班」,觀其反應,都只能輕輕帶過 Orz),諸位若有什麼更好的視覺證明(visual proof),請不吝賜教。

教師延伸閱讀:尋找費馬點:從一道數學應用問題談起

2012/11/10

球體體積公式 Derivation of formula of volume of sphere

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前言:打從香港中文大學黃毅英老師知悉,重開的數學教育學士課程收了近 40 位本科生,能夠招聚這麼多有心人,我也重燃寫文的動力,今次選擇更新一篇三年前的文章,希望給有心人多一個教材選擇。

「如何『證明』球體相關公式?」(來源)



在前線打滾一段時間,四年前已發現不少學生寧可選擇背誦而不太願意深究。不只是能力或動機稍遜的同學,就連所謂尖子也抱這種心態。要稍為深入認識這漂亮的證明過程當真如此遙不可及?下面是一個 Sketchpad 檔,檔案精采地方是能夠調校高度展示不同位置的切面,另外我嘗試轉用 Powerpoint 放在堂上分享(少了些互動成分),但都希望幫到學生有進一步探究。







或者...



球體積



延伸閱讀

自製教具驗證球體表面面積及體積公式

阿基米德的數學成就和研究方法



學術文章

A Fresh Look at the Method of Archimedes


2012/10/22

月份的由來 History of Months

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大家可曾想過:
「Octopus、Octagon、Octahedron 等都和數字 8 有關,為何 October 譯作十月?」
「二月份日子哪麼短?」(早點出糧不好嗎?)
「七月和八月為何都有 31 日?」

網絡文章已出現無數版本,但進入正文前,容我整理少許意大利的歷史資料。

背景資料1:其實今日十二個月的名稱多數來自拉丁文,多是古希臘羅馬神話中的神名。

背景資料2:古羅馬曆法裡面,一年只有十個月,October 原為第八個月,第一個月原本是March,最後一個月是December,即拉丁文「10」的意思。

背景資料3:July 及 August 是把原有的 Quintilis 及 Sextilis 改名而成(但有說法指 July 本來就有,但我未找到可靠出處),新加的是 January 及 February(由第二任的羅馬領袖 Numa Pompilius 倡議,起初排在最頭及最尾,後來在 Quintilis 及 Sextilis 改名時一併放在第一及第二個月)。按我認知,增加月份及把月份改名都是經元老院通過了法案才成事。之所以選擇 Quintilis 及 Sextilis 改名,因為這兩個月分別是凱撒大帝及其養子屋大維的出生月。


一月(January):取自古羅馬的門神Janus,他的兩張臉能同時看前看後,負責日出和日落(象徵「開始」和「結束」之神)。作為新曆法第一個月的名稱,有著「回望過去,展望將來」的意思。

二月(February):取自羅馬一個潔淨的節日Februa,作為新曆法第二個月的名稱,代表贖罪和淨化之意,也因漫長冬季在這時結束,人們要身心靈來個大掃除,以待春天來臨。

至於二月為何特別短?事原新曆法規定,大月 31 日小月 30 日,但這樣計算一年就變成 366 日(多了 1 天?),而那時死囚均在二月行刑(大掃除?),因此人們認為二月是不吉利的月分,要扣就由二月份扣,讓不吉利的日子減少 1 日。

且慢!二月份不是共扣 2 日嗎?原來屋大維接受封號為奧古斯都Augustus(意謂「至尊」)之後,因為他和他的乾爹凱撒Julius Caesar,都因開疆闢土及勤政愛民而受愛戴,有說法是指負責拍馬屁的元老院因此便通過了法案,將兩父子的出生月分別以其命名「July」及「August」。又因七月是大月八月是小月,為了表示屋大維也偉大,也把八月改為大月。又多了 1 天?嘩哈哈,要扣就由二月份扣,讓不吉利的日子再減少1日!結果二月只有 28 日。

三月(March):取名自羅馬戰神Mars,在羅馬人眼中是一個很雄偉無敵的神,Marching就是行軍的意思,羅馬人經常把Mars跟雷和閃電聯想在一起,因三月時值春天,風很強,時有雷雨,大地鼓動,如同英文spring(彈簧、泉、跳躍)的意象,故作為古羅馬曆法第一個月的名稱。

四月(April):取名自拉丁文Aprilis,代表「打開」,因四月天雨水足,樹木欣欣向榮,百花盛放咁上下啦!另一說法是四月取名自希臘女神Aphrodite。

五月(May):取名自田野女神美雅Maia,在羅馬人眼中,Maia 是一個年輕貌美,職掌生物繁殖和生長的女神,取其繁延不斷,生生不息之意。

六月(June):取名自宙斯Zeus的皇后 Juno(警告:下次別跟我說 Juno 是指麥浚龍!),代表古羅馬曆法的第四個月。是婚姻的保護神,專門保護結婚的婦女,是已婚婦女求助的對象,古羅馬人因此認為六月是結婚最好的月分。也有學者認為,Junius可能是個代拉丁家族中一個顯赫貴族的姓氏。

之後的 6 個月份 Quintilis、Sextilis、September、October、November、December,都取名自五至十的拉丁文(septem、Octo、Novem、Decem),代表古羅馬曆法的第五至第十個月。


參考資料:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%85%E9%A6%AC%E6%9B%86

http://tw.myblog.yahoo.com/bangquey/article?mid=684&next=679&l=f&fid=39

http://tw.myblog.yahoo.com/kevin-ceo/article?mid=219&next=72&l=f&fid=23

http://www.crowl.org/lawrence/time/months.html

2012/10/08

立體圖形的探究 Study of 3-dimensional figures

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前言:那是我六年前的舊文,今云我一口氣做了好些翻新。
今次要推介的網址是一個關於切面圖的遊戲:http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00198/toepassing_wisweb.en.html



玩完上面的,也不妨試試這個。
初中數學裡,有種畫立體的技巧(在俯視圖上加數字)
選擇「Building with Blocks」,然後選擇「Making Height Numbers」
http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00339/toepassing_wisweb.en.html

印象中,教育局早年做了這個。都是相當好用~
http://resources.edb.gov.hk/trigo/

小弟也技癢,做了這個 Powerpoint,
希望能給人帶點啟發。
https://sites.google.com/site/sk2ricky/download/4-fold%20rotational%20symmetry%20of%20cube.ppt?attredirects=0&d=1

當然,以上都是工具,怎樣因應學生的能力,
佈置具啟發性學數空間更為重要。另外,
為何要在初中的設計與科技科/數學科引入有關概念?

延伸閱讀:WisWeb Applets (用家可在第二格選擇 Geometry)

2012/09/21

DSE 摘星奇緣:常犯錯誤篇(序)

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前言:曾有段時間,自己很厭倦批改家課,
尤其發現很多同學得個「抄」字!
「阿Sir,我好用心去做架!」
「你應該高興我肯交功課!」
趁我仲未看化之前,很想分享一些「心得」。
不,應該是昔日自己的「教訓」才對...

  • 錯解題目

不只錯解,不理解甚至答題欄留白,
這都令人惋惜,甚至擔心(合格率)。

  • 公式混淆

就好似事前無充份認識一件工具的
正確用法及可用之處,這都是低級錯誤

  • 抄錯題目

衰在不上心,與人無尤。
也是我近年睡眠匱乏下的副產品!

  • 運算出錯

忘記先乘除後加減,
或是開方後無考慮正負值
甚或無習慣驗算答案

  • 單位錯誤

因寫錯或漏寫(甚至寫多)
而扣一分,可免則免啦

  • 時間錯配

平日操數 Hea 住咁做又無計時,
在香港考試都係輸蝕!

總結:
以上都是老生正常談,最好是先知先覺,
但更多學生往往是得到足夠的教訓
才能汲取丁點的經驗......

「保要保守你心,勝過保守一切!」(聖經)


後話:難得失眠,好想在此整理一些常犯錯誤,
好給自己提醒,也為他日重看舊文,有所反思...