2012/11/20

三角形的心、歐拉線、歐拉圓、費馬點

看本文前,先到此連結玩玩啦~

以下是我很喜歡的自學教材(一)教材(二),若在課室使用投影機,請確保房間夠暗唷。

此外,對任意三角形,
「三邊的中點」、「三條高線的垂足」及「垂心和三頂點連線的中點」,這九點共圓,這個圓稱為 "九點圓" ,且其半徑為 ½ R (R 為三角形外接圓的半徑)。九點圓亦叫做 :
歐拉圓 (Euler Circle) < 我較喜歡的稱呼~ 龐斯萊圓 (Poncelet Circle) 費爾巴哈圓 (Feuerbach Circle)

此外,不得不提的還有費瑪點(Fermat Point),費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)本身是一名律師,數學是其業餘的嗜好,話雖如此,他在數學上的成就不比職業數學家差,雖則無「發表」論文,但是他幾乎與同期所有歐洲大數學家保持通信。話說他收到一個問題:
要找出三角形裡最小點的位置,
這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短。
套用今日的情況,如果 M 記要開分店,讓這分店到這三個屋苑(A,B,C)的距離總和是最短,那麼這個位置(F)就叫做費馬點。它的「作圖法」及「幾何證明」是吸引我的地方。

幾何證明本身分2個情況:
(1)三角形全部內角內角都小於120o 
(2)三角形其中一隻內角不小於120o
記得以前初初接觸該題目,我竟意想不到情況(2)的出現...Orz



根據情況(1),用規尺作圖的技巧
按三角形的邊長作三個等邊三角形。
連接 CC'、BB'、AA',
則三條線段的交點就是所求的點。

證明步驟
(1)證明 CC'、BB'、AA'三線共點(collinearity)
(2)證明P點的唯一性(uniqueness)
可惜的是,我所用的步驟涉及圓形的定理,若以初中生作對象,使其明白三線共點的證明應十分費時。課時內不易處理(外心、內心、垂心、重心其實也涉及三線共點,但在下即使任教「精英班」,觀其反應,都只能輕輕帶過 Orz),諸位若有什麼更好的視覺證明(visual proof),請不吝賜教。

教師延伸閱讀:尋找費馬點:從一道數學應用問題談起

1 則留言:

Ricky LI 說...

文章裡面題到的 Euler 可以話相當優秀:1707年生於瑞士,13歲考入巴塞爾大學,16歲碩士畢業,18歲開始發表學術論文,翌年起幾乎年年有獎學金,其數學之優秀,在當時歐洲可謂一時無兩。