中學實用課堂資源（不定期更新）

前言
(其實我 2 年前應該發佈此文...)
無論你是否數學老師，無論做教學或是匯報，
希望以下免費工具能令你教學更加如魚得水。

http://www.screenmarker.com/
有了 ScreenMarker，你可以在電腦螢幕上任意畫圖，
如同 PowerPoint 的螢光筆標重點功能，
絕對令課室多了個電子白板！（只怪自己相逢恨晚）
無論標重點、解釋幾何題目，好用程度無用置疑！

再者，使用舊式電子白板，

你眼晴受得了投影機的強光嗎？

執行 ScreenMarker 之後，螢幕上會出現一個工具區。
工具區的介面很像小畫家，所以很容易上手。
若想用個更專業的，我推薦 PointToFix 的免安裝版。
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https://www.desmos.com/calculator
進入 Desmos，介面感覺很像在使用 I-pad，
如果有用 Graphmatica，我會鼓勵你今天起改用 Desmos，
平心而論，兩者功能不相伯仲，
但 Desmos 介面看起來較簡單易用，
而且能顯示多個方程及其圖像
加上無需安裝，只要電腦能上網便何使用！
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http://www.online-stopwatch.com/
顧名思義，即網上計時器啦，
內裡有很多計時模方式，
進行討論用作計時，相當方便！
在禮堂監考時使用，效果一流！
若是小學老師，我推薦用炸彈計時，
而我個人較喜歡沙漏計時（網主說是學生提出的構思），
不過請預先調校 Speaker 音量。
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http://www.geogebratube.org/student/m2461
此乃互動量角器，方便老師示範有關動作。
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http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=4
先旨聲明，教授全等三角形的條件時，
我主張使用實物（尤其是說明 SSA 並非合理理由），
好使學生有所發現，但有時手裡沒有道具，
這個就好作應急吧，當然也不要為用而用。
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http://www.peda.com/download/
Poly 軟件能模擬立體旋轉，
且能展示摺紙圖樣，是不錯的選擇。
特別是你教員室的座位
已無多餘空間再存放大量實物模型......
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http://numeracyworks.com/tabula/release/
這是 Tabula 的試用版，介面易用，
平移反射旋轉各個功能寫得一清二楚，
易上手且無須下載，我特別喜歡「摺紙功能」
每次限用 30 分鐘，除非你要用足一整課啦！
關於規尺作圖，其實我以前是用 Compass and Ruler，
但不知何故全世界突然轉用 Geogebra，
而我有好幾次因 java 問題令電腦死機，
理性上知道好用，但感性上我又想鬥氣唔用...
另覓出路...
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http://nrich.maths.org/6717
Dice & Spinners Interactive 是我教初中概率的常用工具，
互動性夠強，且能選擇以列表或棒形圖顯示結果，
由此引入實驗概率非常方便！
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Interactive Number Patterns
單看網址就知 Nrich Maths 裡還有其他很正的互動資源，
這是讓學生探究數列的特性。
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All programs > Accessories > Snipping Tool
有時我都好奇想知網友怎樣把電視畫面擷取成圖片，
秘訣在於使用Window Vista 的剪取工具 (Snipping Tool)，
不用上網或下載，用法見有關連結。
我相信對通識老師更加有用，
大家以後不必只用 PrintScreen 啦。
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學與教資源庫
這裡是官方有關數學教育的專業發展網頁，
定期瀏覽對兼教數學科的老師都是不錯的選擇。
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其實我相信每位同工對每個課題，
本身也有自己的心頭好，以上都只是工具，
更重要是怎樣反思教學，例如怎樣做好知識管理，
能養成累積經驗的習慣，那已算是以身作側的榜樣啦~

培育幾何思維：從一節座標幾何課說起

筆者近日有幸出席教育局數學教育組的「數學課程學與教策略系列 - (2) 推展創造力」工作坊，當中提到「雞兔同籠」、「一題多解」等推展創造力的手法，獲益不需要多，能帶走一兩個，滲入自己的課堂，對學生多少總會有裨益。

這陣子正教授中三級的座標幾何，學生本身剛剛學會四邊形的特性、中點定理及截線定理等，我嘗試利用工作坊所示範的技巧，設計了一道題，歡迎同工下載及不吝賜教。題目如下：

給已知的兩個點 A(-2, 2) 及 B(3, 2)，
試寫出 C 點令三角形 ABC 成一等腰三角形。

這裡，我先容許學生以距離公式等運算方式（verification）作驗證，然後鼓勵學生能用幾何思維（geometrical thinking）去解釋答案。

題外話：曾經收到有一位學生問到：「其實畫圖就可以解決的數學問題，何必要牽涉座標去處理？」或許同工可能有不同看法，不過筆者很慶幸有學生願意提問，是故也點到即止分享自己對這課題典故的小小認識。

若你問我，在數學世界有什麼劃時代的知識（若以 Dark Ages 作分水嶺的話），可能大多數人會答「微積分」，其實「坐標幾何」也在當時同樣重要，就好似「鎢絲燈炮」的發明改變世界一樣。有興趣的話，我推薦項教授的網上筆記。

組合數學問題一則

"How many divisors are there in 55125?"

有學生收到學校老師的挑戰，如果係初中生，我會打發佢
「不如逐個列寫啦，或者一組人分工寫，應該唔難找到答案吧？」
（被毆打中...）

首先，我們可考慮 55125 質因數連乘式，
即係 $55125=3^{2}5^{3}7^{2}$

（接下來要小心理解...）

而所有可以被整除的數都可以寫成 $3^{a}5^{b}7^{c}$
其中 a = 0, 1, 2; b = 0, 1, 2, 3; c = 0, 1, 2

（即 a, b, c 分別有3種、4種及3種情況）

所以上述問題的答案是 3 x 4 x 3 = 36 種。

三角形的心、歐拉線、歐拉圓、費馬點

看本文前，先到此連結玩玩啦~

以下是我很喜歡的自學教材(一)、教材(二)，若在課室使用投影機，請確保房間夠暗唷。

此外，對任意三角形，
「三邊的中點」、「三條高線的垂足」及「垂心和三頂點連線的中點」，這九點共圓，這個圓稱為 "九點圓" ，且其半徑為 ½ R (R 為三角形外接圓的半徑)。九點圓亦叫做 :
歐拉圓 (Euler Circle) < 我較喜歡的稱呼~ 龐斯萊圓 (Poncelet Circle) 費爾巴哈圓 (Feuerbach Circle)

此外，不得不提的還有費瑪點(Fermat Point)，費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)本身是一名律師，數學是其業餘的嗜好，話雖如此，他在數學上的成就不比職業數學家差，雖則無「發表」論文，但是他幾乎與同期所有歐洲大數學家保持通信。話說他收到一個問題：

要找出三角形裡最小點的位置，
這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短。

套用今日的情況，如果 M 記要開分店，讓這分店到這三個屋苑(A,B,C)的距離總和是最短，那麼這個位置(F)就叫做費馬點。它的「作圖法」及「幾何證明」是吸引我的地方。

幾何證明本身分2個情況：
(1)三角形全部內角內角都小於120^o　
(2)三角形其中一隻內角不小於120^o
記得以前初初接觸該題目，我竟意想不到情況(2)的出現...Orz

根據情況(1)，用規尺作圖的技巧，
按三角形的邊長作三個等邊三角形。
連接 CC'、BB'、AA'，
則三條線段的交點就是所求的點。

證明步驟
(1)證明 CC'、BB'、AA'三線共點(collinearity)
(2)證明P點的唯一性(uniqueness)
可惜的是，我所用的步驟涉及圓形的定理，若以初中生作對象，使其明白三線共點的證明應十分費時。課時內不易處理（外心、內心、垂心、重心其實也涉及三線共點，但在下即使任教「精英班」，觀其反應，都只能輕輕帶過 Orz），諸位若有什麼更好的視覺證明(visual proof)，請不吝賜教。

教師延伸閱讀：尋找費馬點：從一道數學應用問題談起

球體體積公式 Derivation of formula of volume of sphere

前言：打從香港中文大學黃毅英老師知悉，重開的數學教育學士課程收了近 40 位本科生，能夠招聚這麼多有心人，我也重燃寫文的動力，今次選擇更新一篇三年前的文章，希望給有心人多一個教材選擇。

「如何『證明』球體相關公式？」(來源)



在前線打滾一段時間，四年前已發現不少學生寧可選擇背誦而不太願意深究。不只是能力或動機稍遜的同學，就連所謂尖子也抱這種心態。要稍為深入認識這漂亮的證明過程當真如此遙不可及？下面是一個 Sketchpad 檔，檔案精采地方是能夠調校高度展示不同位置的切面，另外我嘗試轉用 Powerpoint 放在堂上分享（少了些互動成分），但都希望幫到學生有進一步探究。







或者...







延伸閱讀

自製教具驗證球體表面面積及體積公式

阿基米德的數學成就和研究方法



學術文章

A Fresh Look at the Method of Archimedes