HKDSE Practice Paper

觀乎今日的數學科練習卷 (Practice Paper)，
我嘗試總結一下（當中我嘗試記下一些問法較特別的題目）。

Section A(1)，35 分
Q1 指數定律（3 分）
Q2 主項變換（3 分）
Q3 因式分解（3 分）
Q4 (中一百分率)成本 $360，標價八折後仍賺 30%，求標價。（4 分）
Q5 樽和杯的容量比為 4 : 3，若7個樽及9個杯的總容量為11升，求樽的容量。（4 分）
Q6  已知 A(13,157^o)、B (14,247^o) 及 C(15,337^o) 為極座標上的點。
       (a) 若 O 為原點，A、O、C 是否共線？試解釋說明。
       (b) 求三角形 ABC 的面積。
Q7 圓的幾何特性（4 分）
Q8 直角座標上的點的反射、旋轉及軌跡（5 分）
Q9 (幾盞鬼的一題) 關於 IRQ 最小值及最大值的估算（5 分）

Sect A(2)，35 分
Q10 續多項式（3+3 分）
Q11 變分法（4+2 分）
Q12 D-t Graph 的應用（2+3+2 分）
Q13 統計圖的應用（3+4 分）
Q14 圓的幾何特性 + 座標幾何（2+7 分） <--- 這以往都在會考乙部才出現的。


Sect B，35 分
Q15 標準分的應用（2+2 分）
Q16 排列與組合在概率的應用（2+2 分）
Q17 複數的應用（2+5 分）
Q18 立體圖形的三角學（2+4+2 分）
Q19 G.P （2+10 分）


總結：
Sect B 較以往略淺，Sect A(2) 較以往略深。
單靠以往應付會考數學的策略需稍作調整（例如：時間分配）。
我會於稍後時間在此分享心得。


以下則透露一下首 10 條多項選擇題，
即使今年諗中四，不妨一試身手。

Q1 x³(2x+x) = __________. (展開多項式)
Q2 If 3a + 1 = 3(b-2), then b = __________. (主項變換)
Q3 Factorize p² - q² - p - q. (恒等式 + 併項法)
Q4 If m(x-3)² + n(x+1)² is identical to x² -38x + 41, then m = __________. (代入法)
Q5 If x⁴ - x³ + x² - x + 1 is divided by (x + 2), find the remainder. (餘式定理)

Q6 If the equation 3x²+2kx-k=0 has equal roots, then k = __________. (判別式的應用)
Q7 Find the slope/equation of lines with a given figure...
Q8 Given the graph of y=ax²-2x+b (open downwards, vertex @ 2nd quadrant, -ve y-intercept),
which of the followings is/are true? I. a > 0  II. b<0  III. ab<1
Q9 Solve 4x>x-3 or 3-x<x+7. (聯立不等式)
Q10 John buys a vase for $1600.
He then sells the vase to Susan at a profit of 20%.
At what price should Susan sell the vase to have a profit of 20%? (中一百分率的應用)

內接、外接、外切、內切

翻看讀書時的筆記，發現自己所畫的內心及外心，
當然也包括圓外接三角形，以及圓內切三角形等...
大家當時怎樣區分「內接」、「外接」、「外切」、「內切」等字眼呢？

這都要由《幾何原本》第IV卷中的定義入手：
1.當一個直線形的各角的頂點分別在另一個直線形的各邊上時，這個直線形叫做「內接」於另一直線形。
2.類似地，當一個圖形的各邊分別經過另一圖形的各角的頂點時，前一個圖形叫做「外接」於後一個圖形。
3.當一個直線形的各角的頂點都在一個圓周上時，這個直線形叫做「內接」於圓。
4.當一個直線形的各邊都切於一個圓時，這個直線形叫做「外切」於圓。
5.類似地，當一個圓在一個圖形內，切於這個圖形的每一邊時，稱這個圓「內切」於這個圖形。
6.當一個圓經過一個圖形的每個角的頂點時，稱這個圓「外接」於這個圖形。
7.當一條線段的兩個端點在圓周上時，則稱這條線段「擬合」於圓。
[來源]

[動手做]
若只能用(無刻度的)直尺及圆規，
1. 如何在一個已知圓內作一個與已知三角形等角的內接三角形？
2. 在一個已知圓外作一個與已知三角形等角的外切三角形。
3. 如何作已知三角形的內切圓？
4. 如何作已知三角形的外接圓？
5. 如何作已知圓的內接正方形？
6. 如何作已知圓的外切正方形？
7. 如何作已知正方形的內切圓？
8. 如何作已知正方形的外接圓？

概率遊戲 Probability Games

前言：我特別喜歡概率，可能我鍾意玩遊戲的原故。在已知的規則下，我會盡量掌握對自己有利的策略（好勝心？）。到長大後帶領遊戲，也喜歡因應玩家選取的策略臨場改變規則（話事人專利？），令遊戲的過程保持新鮮感及挑戰性。XD

課堂中教師總示範「擲銀(toss a coin)」、「擲骰(roll a dice)」的機會遊戲，
網上資源也倒豐富，向各位推薦這個，
除了像真度不錯，還有往績統計，教師可稍後或順勢引入「期望值(expected value)」。
擲銀（基本玩法／進階玩法）
擲骰（可調較一至三粒骰子）
抽幸運匙（７人輪流抽７條匙，先抽好定後抽好？）

緊記，相關的次數未必跟期望值完全吻合，那只是概率的基本假設（即使你大量試驗）。

當然教師也可介紹一些如Monty Hall Problem的經典題目。如課堂時間許可，我推薦學生欣賞以下動畫，這動畫利用家傳戶曉的故事介紹中學概率，撰寫人之一正是開發小朋友齊打交的朋友。

概率論起源：1654年費馬和巴斯卡在書信中討論「賭局腰斬，如何瓜分賭金」的問題，有些數學史家就把這視作是概率基本原理的開始。例如：擲四個銅錢，出現0、1、2、3、4次正面的情況有多少種？【解：1、4、6、4、1 種（巴斯卡三角的第五列數字！）】

校對問題 Proof-reading Mistakes

前言：話說在下的姨婆託我批改其孫女上繳JUPAS的文章，我雖然不是教英文科，但其本的文法尚且可以，同時這類文章最重要是流暢，不宜冗長。於是我想起以下概率題目。

[問題]一篇文章，
經 A 校對後發現 a 個錯誤，
經 B 校對後發現 b 個錯誤，
當中有 c 個 A 也發現的錯誤（這裡假設 c < b），
問該篇文章尚有多少個未發現的錯誤？

[分析]
假設該篇文章共有 t 個錯誤，
故 A 應找到全部錯誤的 a/t，
而這個分數應大約等於 c/b。那麼，

a/t = c/b

t = ab/c

所以，尚未發現的錯誤等於 t-a-b+c=(a-c)(b-c)/c


[例]一篇學生文章，
經Miss沈校對後發現20個錯誤，
經李sir校對後發現10個錯誤，
當中有8個沈老師也發現的錯誤，
所以尚未發現的錯誤「應該」等於
(20-8)(10-8)/8 = 3 個
（如是者，應即帶李Sir去驗眼吧...XD）

[來源]
Pólya, G. "Probabilities in Proofreading." Amer. Math. Monthly, 83, 42, 1976.

數學教師文摘 Maths Teachers' Digest

故名思義，筆者希望在此收集一些華語的數學教育文章，促進知識的分享及交流，
無論你是數學主修生，有意投身有關數學教育的人、數學教師、數學書編輯、數學教授，
歡迎來郵至 sk2@alumni.cuhk.net。

• 3 solutions (without word) to a single question

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v12/v12_p58to60.pdf
學術成份不高，但卻是我第一次投稿獲刊登的愉快經驗。
關於無言證明（Proof without word），這裡及那裡都有相當好的例子。
讀者不妨多加發掘。

• Chan Yip-Cheung, A geometry problem with different solutions

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v14/16ChanYC.pdf
承上所述，這是用不同方法去處理一道具幾何題目。
我鼓勵投身數學教育的同工嘗試發掘更多「一題多解」的例子。
這麼，你才會不斷發現，數學看上來總可以不一樣。

• 蕭文強著，「三心兩意」的數學教師

http://hkumath.hku.hk/~mks/09MathsTeacher3h2m.pdf
一位我相當敬佩的數學老師、數學教授，為推動數學及數學教育不遺餘力。

• 蕭文強著，數學史和數學教育：個人的經驗和看法

http://hkumath.hku.hk/~mks/shortmathhistory_chinese.pdf
節錄自《數學傳播》，原文刊於第16卷第3期（1992），23-29頁。

• 蕭文強著，概率萬花筒

http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4957/cabinet%208.pdf
是我當年學概率，令我樂在其中的好好讀物~

• 黃兆麟著，聽覺學習「不等式」

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v20/10WongSL_hearing.pdf
筆者是我一位大學同學，
由教學實習至入職以來多作嘗試，
我相信同一課題的教學千變萬化，
但不多年輕同工會嘗試分享投稿，
祝願他的教學熱誠與日俱增。

• 梁子傑著，米凱爾點與垂心

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v20/15LeungCK_miquel.pdf
在數學教育界十分活躍，算得上是多產的寫手。
正在教授初中關於「垂心」卻不知所為何事的同工，不妨細看。
（恐怕連教科書的編輯們也未必知為何要教）

• 梁子傑著，談天說地話數學

http://www.edb.gov.hk/FileManager/SC/Content_4957/cabinet%204.pdf
多產的寫手，其文筆對有恴從事數學教育工作的朋友，相當合脾胃。

• 張小平，未進過學校的數學天才巴斯卡

數學傳播 32卷2期, pp. 54-61
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d322/32206.pdf

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以下都是我個人好建議有心人定期瀏覽，
持之以恆，你的心性和學養才有進境。

• 數學教育(EduMath)

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/
此乃香港數學教育學會出版的刊物，
旨在提供不同崗位數學教育工作者討論的園地，
讓學會內外的資訊得以交流，
數學教育之理念與經驗得以分享。

• 數學傳播

http://w3.math.sinica.edu.tw/media/default.jsp
此乃台灣中央研究院數學研究所發行出版的刊物，
旨在傳播數學知識，促進數學教育，
內裡也有好多高質素的文章。

• 數學知識

http://episte.math.ntu.edu.tw/index.htm
中央研究院數學所及台大數學系的合作成果，
媲美香港學生開發的「數學資料庫」。