有一日，老師跟班上同學講以下處境故事。
有 15 位同學負責籌辦一次旅行日，當討論去哪裡，則有三種意見僵持不下：香港仔、舊咖啡灣沙灘還是長洲。（為方便閱讀，這三個地點我們以 A、B及C 表示）
於是他們決定要用「最民主」的方式解決紛爭：不記名投票。大家不假思索地舉行了最常見的選舉模式：一人一票、投給自己認為最適當的地點、以獲得最高票數的地點獲勝。
開票的結果是 A : B : C = 6 : 5 : 4，「香港仔」獲勝。
原以為那個籌備會議可以繼續進行下一項討論吧，但是，某人開始咕噥，另一個人聽到了就大聲一點兒附和，第三個人也開始咕噥，一股情緒突然就爆發了。
投票給「香港仔」的人要其他人表現民主風度：「少數服從多數嘛」。卻有人說：「畢竟有 9 個人不喜歡『香港仔』啊」。在騷動中，情緒似乎有點失控，許多人七嘴八舌地嚷嚷著，說他們最不喜歡「香港仔」。
好吧，大家都是同窗好朋友嘛，別為這小事傷和氣。有人提議說他聽說過另一種投票方法，比較『公平』，那就是所謂的「兩輪制」：把第一輪投票結果中最好的兩名取出來，所有人對這兩個候選飲料再投一次票。如果能夠幫助大家和和氣氣地達成共識，再投一次票也無妨，於是他們就做了。
第二輪的投票結果，竟然就是 A : B = 6 : 9，「舊咖啡灣沙灘」獲勝。
這樣的結果真的解決歧見了嗎？不幸地，他們之間變得更針鋒相對！看起來，喜歡去「香港仔」的人一票也沒有動搖，但是那些失去了「長洲」選項的人全部改去支持「舊咖啡灣沙灘」了。贊成去「香港仔」的人難掩氣憤之情，說你們這些想要出海的人聯合起來欺負我們。剛才他們還會熱烈爭辯，現在情況更不妙：他們彼此不說話了。
為了打破沉默的氛圍，又有一個人小心奕奕地提議：「不如大家拋棄成見，再來一次。」這次他提議一個「最科學」的作法：請每位同學給每個地點一個分數，最喜歡的給2分，次喜歡的給1分，不喜歡的給0分。然後計算每個選擇的總得分，最高分的旅行地點獲勝。這聽起來畢竟是一個新奇的作法，所以大家雖然意興闌珊，還是勉強同意了。15 個人也十分小心地在選票上填寫了分數，
計算的結果是 A : B : C = 12 : 14 : 19，「長洲」獲勝。
有位同學在坐位大叫：「怎麼會3次結果都不一樣？」，有另一個人大叫「我不去啦了」。為何3次投票得到3種結果？是有人攪鬼嗎？有人經常改變主意做牆頭草嗎？總歸來說，是這 15 個人不夠理性或是民主素養不足嗎？
選舉理論想要闡述的是：可能這並不是那 15 個人的錯，而是不同的選舉程序會造成不同的結果。
「故事講完了。」老師叫醒那些睡著的同學。
「我們今天正正要決定畢業旅行的地點…」老師接著說。
「我們是否應決定怎樣的投票方式？」平時很留心老師講話的男班長說。
「那我們又怎樣決定『怎樣的投票方式？』？」女班長說。
老師聽著，昏了過去。
====================
近日，香港的政方案剛完成了第一階段諮詢，有網友傳來這個，
香港的朋友不妨做個選擇，看看哪個才是大家心目中理想的特首選舉方式。
http://election-reform.thehousenews.com/
2014/05/05
2014/04/14
咁多，點背啊？
有學生看到以下 Trigo. Identities，開口問以上問題。
老師：「試吓抄10次先啦」（唔係卦？真係要咁先記到？）
相信大家學數也曾遇到類似經驗。
求個明白，大家都想。但課時所限，
當你身邊的朋友都找到法子又做對了習題，
壓力便漸漸累積起來。死記爛記也不得其法。
「我由小學計算面積題都係背公式架啦！背唔到就背唔到啦！」
這是我家老媽子的例牌答案。
孰能生巧，功多藝熟的道理無人不知，
但放在自己身上為何卻舉步為艱？
這裡我當然假設你有心想試，
也努力了好一陣子，不然你大可不必看下去，
只需做好考試肥佬的覺悟另謀出路。（被毆中）
言歸正傳，要處理以上問題。大家先認清一些事實：
$\theta$ 當作銳角。（acute angle，即不大於$90^{\circ}$）
positive angle 以及 negative angle 均以 positive x-axis 作分界線。
$90^{\circ}+\theta$ 看作屬於第二象限。（2nd quadrant）
$180^{\circ}+\theta$ 看作屬於第三象限。
$270^{\circ}+\theta$ 看作屬於第四象限。
$360^{\circ}-\theta$ 也看作屬於第四象限。
法則一：A-S-T-C 原則
網上的背誦方法：Add-Sugar-To-Coffee、All-Students-Talk-Cantonese(事關我以前本教科書係用CAST呢個詞彙，EMI學校就會知)
A-S-T-C 的意思指，
屬於第一象限裡的角，無論 Sine、Cosine、Tangent，其對應值均為正數（All）
屬於第二象限裡的角，只有 Sine 才是正數（Sine），其他用負號表示。
屬於第三象限裡的角，只有 Cosine 才是正數（Cosine），其他用負號表示。
屬於第四象限裡的角，只有 Tangent 才是正數（Tangent），其他用負號表示。
(見圖解)
法則二：只考慮 $(180^{\circ}\pm\theta)$ 及 $(360^{\circ}\pm\theta)$ 的情況（即連結的紅色部份）
其實除了「正負號」可能不同，個答案同題目一樣。
例：
$sin(180^{\circ}+\theta)=-sin\theta$
$cos(180^{\circ}+\theta)=-cos\theta$
$tan(180^{\circ}+\theta)=+tan\theta$
（題目用sin，答案都用sin，如此類推。至於正定負，就觀察左方括號內的角屬於哪個象限，再用 A-S-T-C 原則）
（總結）
老師：「試吓抄10次先啦」（唔係卦？真係要咁先記到？）
相信大家學數也曾遇到類似經驗。
求個明白，大家都想。但課時所限，
當你身邊的朋友都找到法子又做對了習題，
壓力便漸漸累積起來。死記爛記也不得其法。
「我由小學計算面積題都係背公式架啦！背唔到就背唔到啦！」
這是我家老媽子的例牌答案。
孰能生巧，功多藝熟的道理無人不知，
但放在自己身上為何卻舉步為艱？
這裡我當然假設你有心想試，
也努力了好一陣子，不然你大可不必看下去，
只需做好考試肥佬的覺悟另謀出路。（被毆中）
言歸正傳，要處理以上問題。大家先認清一些事實：
$\theta$ 當作銳角。（acute angle，即不大於$90^{\circ}$）
positive angle 以及 negative angle 均以 positive x-axis 作分界線。
$90^{\circ}+\theta$ 看作屬於第二象限。（2nd quadrant）
$180^{\circ}+\theta$ 看作屬於第三象限。
$270^{\circ}+\theta$ 看作屬於第四象限。
$360^{\circ}-\theta$ 也看作屬於第四象限。
法則一：A-S-T-C 原則
網上的背誦方法：Add-Sugar-To-Coffee、All-Students-Talk-Cantonese(事關我以前本教科書係用CAST呢個詞彙，EMI學校就會知)
A-S-T-C 的意思指，
屬於第一象限裡的角，無論 Sine、Cosine、Tangent，其對應值均為正數（All）
屬於第二象限裡的角，只有 Sine 才是正數（Sine），其他用負號表示。
屬於第三象限裡的角，只有 Cosine 才是正數（Cosine），其他用負號表示。
屬於第四象限裡的角，只有 Tangent 才是正數（Tangent），其他用負號表示。
(見圖解)
法則二：只考慮 $(180^{\circ}\pm\theta)$ 及 $(360^{\circ}\pm\theta)$ 的情況（即連結的紅色部份）
其實除了「正負號」可能不同，個答案同題目一樣。
例：
$sin(180^{\circ}+\theta)=-sin\theta$
$cos(180^{\circ}+\theta)=-cos\theta$
$tan(180^{\circ}+\theta)=+tan\theta$
（題目用sin，答案都用sin，如此類推。至於正定負，就觀察左方括號內的角屬於哪個象限，再用 A-S-T-C 原則）
（總結）
2014/02/11
規尺作圖（理論）
前言：找回 5 年前曾撰寫的文章，希望做一些較詳細的紀錄。
「規尺作圖」的每一步驟，只可做以下事情：
(1)兩點間聯一直線；
(2)以一點為圓心，已知長為半徑作圓；
(3)取得兩直線、兩圓或一線一圓的交點。
對於用圓規及直尺的經驗，相信很多同學都曾嘗試繪製等邊三角形或正六邊形吧？Cleave Book裡有好些圖案可供喜歡的朋友發揮創意。如果加埋量角器，要畫出任意正多邊形可謂毫無難度（對n邊形，每隻外角必定是360o/n吧）。但是在古希臘時代，作圖只使用沒有刻度的直尺（unmarked ruler）和圓規（compass）。目前為止，邊數小於100，可以尺規作圖的正多邊形如下：
3、4、5、6、8、10、12、15、16、17
20、24、30、32、34、40、48、51、60、64
68、80、85、96
亞基米德正是用此幾何技巧，
繪製圓內接和外切正96邊形，
藉其周界的上下限確定圓周長度，
進而得到圓周率介於3.14163及3.14286之間
（準確至小數點後 2 位，都算厲害吧？）
一般而言，只要是有理數，
甚至經過有限次四則運算以及開方得出的數量，
都可以用規尺繪製出來，如 2 的開方，
你可以畫一等腰直角三角形（腰長為1），
斜邊的長度必定是 2 的開方（1.414...）。
我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。
希臘人強調作圖只能用直尺圓規，
為什麼要這樣限制呢？有下列三點原因：
1.希臘數學的基本精神，期望用最少假定（定義、公理、公設）演繹最多的定理。對工具上自然也應限制最少的程度。
2.根據＜幾何原本＞對作圖做的公設（1.任何兩點之間可聯一直線；2.直線可任意延長；3.以任何中心任何半徑可作一圓），作圖工具就只能用尺規。而畢氏學派主張圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學中最基本的研究對象，有了尺規，圓和直線已經能夠作出，這些都促使尺規作圖成為金科玉律，流傳至今。
3.柏拉圖主張通過幾何學習達致邏輯思維的訓練，正如體育鍛練體格，運動須受各種規則器械等限制，同樣訓練思維的幾何學也應該對作圖工具有所限制。
訓練邏輯思維為什麼不直接學習邏輯規律而要借助幾何學呢？理由是幾何學能給予人強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中，邏輯的推理和結論還可以通過實際的觀測來驗證，使抽象規律和感性認識結合起來，收到相得益彰之效。兩千多年來的實踐證明，通過幾何學習來培養邏輯思維能力，的確是行之有效的方法。［來源：梁宗巨著，數學歷史典故，九章］
有些問題好像很簡單，但做起來卻很困難，直到一千多年之後才證實無解。最有名要數以下幾何三大難題：
化圓為方：求作一正方形使其面積等於一已知圓
三等分角：把任意角分三等份
倍立方：求作一立方體是其體積是一已知立方體的兩倍
以下軟件可給大家作熱身之用，讀者可直接下載，一試身手。且看能否破解下列問題：
1. 如何繪製45o、60o及75o的銳角？
2. 給予A, B, C 三點（他們不在同一條直線上），
(a) 如何作一直線，使得三點至該直線的距離相等？
(b) 如何作一圓形，使該圓通過該三點？
(c) 如何作一點，使該點與該三點的總距離為最小值？
3. 如何作一三角形ABC，AB = 5，AC = 4，且通過A點之中線等於3？
4. 如何作一三角形ABC，AB = 6，angleACB = 60o，且通過C點之中線等於5？
5. 給予已知三角形ABC，如何作線段 AB 及 AC 上之兩點 E 及 F，使 EF//BC 且 AE CF？
6. 給予已知一線段，如何平均分三等份？
7. 給予已知一四邊形，如何作一面積相等之三角形？
8. 給予平面上三個圓，如何作一圓與這三圓相切？
Q8 是很有名的「阿波羅尼斯問題」，該3個圖形可以是點、直線或圓
相關書籍推介
相關網站推介
幾何作圖（Lii & Hjr）
http://163.30.150.88/lii/flashMath/diaGraph.htm
這是專為中小學老師設計，我個人最愛它無文字，夠簡潔，教學動畫之中是我至今較喜歡的。
大哉言數（李柏良的網頁）
http://www.mathsgreat.com/const.html
李柏良先生從事教師培訓、視學和課程發展多年，不知他仍否在EDB的數學教育組工作，但毫無疑問，裡面的內容也夠豐富。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html
拜讀曹老師的「阿草的XXXX」天下文化出品，是我云云數學書中保留較長的系列。撰文時他任教台大數學系，現在應該正享受退休生活。
規尺作圖（教學資源）
看到香港奧數在年前引入「規尺作圖」的題目，心裡倒是高興，因為能「做到」這類題目給予很大的滿足吧（也可能自己對這類題目因見識少而有新鮮感，那些年還未掌握箇中技巧而多花好些精力）。
「規尺作圖」的玩法
Bisecting an angle（作「角平分線」之法，初級技巧）
Copy an angle（也是初級技巧）
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle（也是作等邊三角形之應用技巧）
Construct a 45° angle（先作直角後作平分，算是進階技巧吧？雖然也很淺...）
Construct a 30° angle
上面是關於「角（Angle）」，以下則是與「線（Lines）」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)
一般而言，只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量，都可以用規尺作出來，我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。（但那如何對一般的中二生說得明白？記住這段，待他日再深思吧）
「規尺作圖」的玩法
- 直尺只能用來畫直線（不是用間尺，作圖時不會用上刻度）
- 圓規只能用來畫圓或弧線
- 所有的曲線都要用直尺及圓規畫出
- 規定做圖都要在有限步驟內完成
Bisecting an angle（作「角平分線」之法，初級技巧）
Copy an angle（也是初級技巧）
Construct a 90° angle
Construct a 60° angle（也是作等邊三角形之應用技巧）
Construct a 45° angle（先作直角後作平分，算是進階技巧吧？雖然也很淺...）
Construct a 30° angle
上面是關於「角（Angle）」，以下則是與「線（Lines）」有關的
Perpendicular bisector of a line segment
Perpendicular from a line at a point
Perpendicular from a line through a point
Perpendicular from endpoint of a ray
Divide a segment into n equal parts
Parallel line through a point (angle copy)
Parallel line through a point (rhombus)
一般而言，只要是由有理數經過有限次、四則運算以及開方得出的數量，都可以用規尺作出來，我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。（但那如何對一般的中二生說得明白？記住這段，待他日再深思吧）
2014/01/25
怎樣才是一份好的筆記？(version 1.0)
從事教育事業已有好些年日，不喜歡因循，
於是我重新思考這個問題，反正未有定論，
於是我用「平時分」要求全體學生由零開始交出一手筆記。
首先，我訂了一些「可計分準則」
- 準時交筆記（因為我會悉數Scan落電腦，那是為行政上的節省時間）
- 用指定單行紙（試過用其他紙而令Scanner食紙，也是為行政上的節省時間）
- 完整個人資料，包括著作人、班別班號、日期、學科
- 在當眼處清晰顯示該課「主題」及「副題」
- 充足的個案例題（有感這一代不多能夠由「定義」或「公式」去演譯）
- 清楚標示「technical term(s)」，必要時附加註解或圖解
- 能有效運用顏色作不同用途
- 驟眼望去，字體端正（最低限度要清楚，可能受個人閱卷的經驗所限，對傾向使用斜體字的學生，我會較花精力評卷）
- 個人心得（可以是「學生自問自答的問題」、「技巧上的步驟」、「給自己的貼士」等）
- 令人意外的驚喜（我相信天外有天，我上述設計的原則總會有未能欣賞到的好處，就用這個作加分）
是故每項 0 或 10 分，一份「十全筆記」這樣就有初型。
執行上不都是無「挑戰」的，
有學生直接了當問：「筆記不是給自己看嗎？」
（印象中是在我闡述第八項後馬上在座位發問）
我個人是同意！他/她說對了事實的一部份。只不過，
風格可以保留，但不會完全不變。尤其是「字體」，
在考試主導，答卷上的字體凌亂，分明跟閱卷員對著幹。
如果有相關行動研究，可訪談大量閱卷員（不論校外校內），
「斜體字或正體字，閱卷時哪個較花精力？」、
「怎樣的書寫字體較為順眼？」等等。
風格可以保留，但不會完全不變。
可以是透過互相模仿而改進的。
合用的筆記就是好的筆記，
因人而異，因時而異。（所以沒有最好）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
除以上十項「可計分準則」，
還有更加多是「不可量度的變數」，
那可以是受限於我用的例子、重點位，
何時引入哪些重點等，還是果句，
教學是一門藝術，你我可以有無限的可能性，
在漫長的數學學習路上，有如進行藝術創作，
沒有完全相同的法則。
歡迎同工賜教。
2014/01/07
何謂「屈指一算」？
計算啫，點解要屈指？大家都知古代無計算機，
那時的計算，不是用算籌或算珠的嗎？
「指算」就是利用左手五指的伸、屈動作進行運算。
下圖所示的10個數，可有發現0和5、1和6、2和7、3和8、4和9
的指法完全相反？（而且，每數數剛好相差5哩...）
在指算法中，由１變６或２變７等，
這伸、屈互變的動作稱為「反手」。
以下我試試介紹一些較易明的運算法則
個位數加法
個位數乘法
歡迎留言查詢，你的回覆是我發帖的最大動力！
延伸：９的乘法手指算（昌爸工作坊）
那時的計算，不是用算籌或算珠的嗎？
「指算」就是利用左手五指的伸、屈動作進行運算。
下圖所示的10個數，可有發現0和5、1和6、2和7、3和8、4和9
的指法完全相反？（而且，每數數剛好相差5哩...）
在指算法中，由１變６或２變７等，
這伸、屈互變的動作稱為「反手」。
以下我試試介紹一些較易明的運算法則
個位數加法
(1)五指全伸腦「進1」（任何數，加到10就進位囉）
(2)反手時，食指由伸變屈「進1」(6至9的數，加上5時就進位囉)
例如：７＋５＋５＋５＋５
手指由打出7，每次加5做一次「反手」（即７），
腦就記住「進位」（即２），故答案為２７。
個位數乘法
(1)伸指相加(作進位)，屈指相乘
(2)上面兩個答案相加
以６乘７為例，利用上圖的指法，
總共有１＋２＝３隻伸手指，代表３０，
屈手指３ｘ４＝１２，
３０＋１２即４２！嘿嘿嘿嘿~
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延伸：９的乘法手指算（昌爸工作坊）
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