數學真魅

培正數學邀請賽：初賽題目及答案

2012-02-04T20:32:00.000+08:00

今日帶班黃毛小子去參加「第11屆培正數學邀請賽」，
心裡頗感到惋惜......大好的天賦，
那麼晚才告知我做領隊的事，
早知道的話，恨不得跟他們來個特訓！
（下次應該一報名就做 training）

事後，我當然不放過機會，跟他們即場討論解題方法。
希望今年有半數同學殺入決賽啦~
中一組、中二組、中三組、中四組、高中組
答案

薪俸稅的累進稅率 Progressive Rate in Salary Tax

2012-01-31T19:21:00.000+08:00

春節前後，適逢財政司發表財政預算，想到打工仔交稅的問題，
本文嘗試深入淺出介紹本港的情況。（中三級數學至 Year1 讀Finance的入門知識都會談的）

原則 Principle

按年度計算（由四月一日起計算）
能者多付（以％計算）

免稅額 Tax allowance

每年約 $100000
政府不收取任何稅款（0%稅率）
應付生活開支
應課稅入息 = 全年入息 - 免稅額

稅階 Tax band

入息以特定金額分為四個階級
每個稅階徵收不同稅率

累進稅率 Progressive Rate
首 $100000 徵收 0%（即月薪約九千的打工仔唔使交稅囉）
之後 $40000 徵收 2%
之後 $40000 徵收 7%
之後 $40000 徵收 12%
如有餘額，徵收 17%

中產爸爸個案探討 Case Study (1)
全年入息= $300,000（我以「◎」表示一萬元啦）
◎◎◎◎◎　◎◎◎◎◎
◎◎◎◎◎　◎◎◎◎◎
◎◎◎◎◎　◎◎◎◎◎

應課稅入息
= 300,000 - 100,000 = $200,000

應繳稅款
=40,000 x 2% + 40,000 x 7% + 40,000 x 12% + (200,000-120,000) x 17%
=200 + 2,800 + 4,800 + 13,600 = 22,000

基層爸爸個案探討 Case Study (2)
全年入息= $130,000（我以「◎」表示一萬元啦）
◎◎◎◎◎　◎◎◎◎◎
◎◎◎

應課稅入息
= 130,000 - 100,000 = $30,000

應繳稅款
=30,000 x 2% = 600

$個案一實際稅率=\frac{22000}{300000}$ = 7.3%

$個案二實際稅率=\frac{600}{130000}$ = 0.5%

希望大家明白，按「能者多付」的原則，按比重而論，
中產人仕所付出的遠高於收入較低人仕。

[問題] Why $101| 100^{2N} - 1$，$N\in\mathbb{Z^{+}}$?

2012-01-30T18:38:00.000+08:00

Why [100^2N - 1] (where N is positive integer) is divisible by 101?
這裡示範「一題多解」技巧

數學歸納法 Mathematics Induction

當 $n=1,2$，命題成立。考慮 $n=k-1,k$，$k\in\mathbb{Z^{+}}$
則 $100^{2k} - 1=101D$，$D\in\mathbb{Z}$
及 $100^{2(k-1)} - 1=101E$，$E\in\mathbb{Z}$

由於
$100^{2(k+1)} - 1$
$=(100^{2k} - 1)(100^{2} + 1) -100^{2k}+ 100^{2}$
$=10001(101D)-100^{2}(100^{2(k-1)}-1)$
$=10001(101D)-10000(101E)$
$=101(10001D-10000E)$
$=101F$，$F=10001D-10000E\in\mathbb{Z}$
（證畢）

二項式定理 Binomial Theorem

考慮 $100=101-1$
所以，
$100^{2N} - 1$
$=(101-1)^{2N} - 1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}+(-1)^{2N}-1$
$=101^{2N}+\binom{2N}{1}101^{2N-1}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}101^{1}(-1)^{2N-1}$
$=101[101^{2N-1}+\binom{2N}{1}101^{2N-2}(-1)^{1}+...+\binom{2N}{2N-1}(-1)^{2N-1}]$
（證畢）

和差公式 Summation of Difference

$100^{2N}-1$
$=10000^{N}-1$
$=(10000^{N}-10000^{N-1})+(10000^{N-1}-10000^{N-2})+...+(10000^{1}-1)$
$=\sum (10000^{n}-10000^{n-1})$
$=\sum [10000^{n-1}(10000-1)]$
$=9999\sum 10000^{n-1}$
$=101(99\sum 10000^{n-1})$
（證畢）

其實，數學老師會否接受學生這樣解釋：

這個數的數值必定由 4 的倍數的 9 所組成（例如　9999、99999999、999999999999、...），因此必定是 9999 的倍數（即 $101\times99$ 的倍數）。

[挑戰]還有其他方法嗎？有沒有無言證明（proof without word）？

數字人生 Diary of Numbers

2012-01-24T17:53:00.000+08:00

孩子出世了，相片是太太小妹加工後的傑作。

「填滿一生，全是數字。誰會真正知是何用意？」---林子祥【數字人生】

趁機考考大家的「數字感（number）」，
幾年前曾以此作為假期家課，
著學生做數字札記，記錄一段時間所接觸的數字。
下列的數字關於孩子出世 2 週後的點滴，
大家猜猜是什麼意思？

0115, K9S, 26B,
0117, K9N, 6A, 55, 100/150,
1740, 1804, 3.35, 9(1)10(5)(10), 1813, 38w3d,
K6S, B5, 111005A, 350+,
S5, -9.1%, 326, K10S, 23A, R10L5R8L5R3
263, 311, 24A, -5.8%, 231,
R15L12R8, 8-10, >10, 3.38, 37cm, 183,
480904337,

組合問題 Combination

2012-01-15T16:09:00.000+08:00

若 $a+b+c=10$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為正整數，求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$, $b$ and $c$ if $a+b+c=10$.

[挑戰]
若 $a+b+c=N>3$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為正整數，求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$ and $b$ if $a+b+c=N$ where $N>3$.

[再挑戰]
若 $a+b+c=10$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 皆為非負整數，求 $a$、$b$ 和 $c$ 的組合數目。
Find the combination of the values of positive integers $a$, $b$ and $c$ if $a+b+c=10$.

上述問題，除了答案，且看如何用圖像解釋說明。一週後開估~

$LaTeX$ + Blogspot

2012-01-14T16:48:00.000+08:00

記得開這個部落，曾為如何撰寫數學符號相當頭痛。
授課員John曾推薦在下轉用Wordpress，
其實我在 wordpress 也開了地盤，不過我仍偏好用blogspot（情意結？）。

熱愛數學的 Bloggers 有福了，因為這裡可打數學符號。
今次我嘗試介紹好些級數和公式的證明。

首先是有關正整數和（$\sum \displaystyle n$，即 $1+2+3+...+(n-1)+n=?$）的證明，
且看以下動畫：

[來源]

接著是正整數平方和的證明。
（方法一，那是我在中學時用的另一證明）
由於，
$(n+1)^{3}\equiv n^{3}+3n^{2}+3n+1$
$3n^{2}+3n+1=(n+1)^{3}-n^{3}$

所以，
$3\sum n^{2}+3\sum n+\sum 1$
$=\sum (n+1)^{3}-\sum n^{3}$
$=(2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+\dots+(n+1)^{3})-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\dots+n^{3})$
$=(n+1)^{3}-1$　　　　（為什麼？）
$=n^{3}+3n^{2}+3n$
$=n(n^{2}+3n+3)$

$\therefore 3\sum n^{2}+3\times\frac{\textstyle n(n+1)}{\textstyle 2}+ n=n(n^{2}+3n+3)$　　　　（$\because \sum n=\frac{\textstyle n(n+1)}{\textstyle 2}$）

利用主項變換，
$\sum n^{2}$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n^{2}+3n+3)- n-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n^{2}+3n+2)-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[n(n+1)(n+2)-\frac{\textstyle 3n(n+1)}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)[\frac{\textstyle 2n+4}{\textstyle 2}-\frac{\textstyle 3}{\textstyle 2}]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 6}n(n+1)(2n+1)$　　　　（證畢）

（方法二，是近日在教育局工作坊看到的）
$\sum n^{2}+\sum n$
$=\sum n(n+1)$
$=\sum [\frac{\textstyle n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{\textstyle 3}]$ （$\because\frac{\textstyle A(n+2)-A(n-1)}{\textstyle 3}=A$）
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}[\sum n(n+1)(n+2)-\sum (n-1)n(n+1)]$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)$

所以，
$\sum \displaystyle n^{2}$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)-\sum n$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}n(n+1)(n+2)-\frac{1}{2}n(n+1)$
$=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 6}n(n+1)(2n+1)$　　　　（證畢）

個人覺得，方法一略欠美感，
但卻還可以推廣到立方和及其他級數和的公式。
在此留給各位同學作練習啦。
（提示：考慮 $(n+1)^{4}\equiv n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1$）

如何在 Blogspot 輸入數學符號？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
步驟(1)：[版面配置] > [新增小工具] > [HTML/Javascript]
步驟(2)：漏空標題，內容則貼上以下訊息，完成後按「儲存」

<script src="http://www.watchmath.com/cgi-bin/mathtex3.js" type="text/javascript"></script> <script type="text/javascript"> replaceMath( document.body );</script>

步驟(3)：每次撰文，用以下符號

$\LaTeX\$

延伸閱讀：數學排版、大家來學 $LaTeX$、$LaTeX$ 符號一覽(pdf)

數學常用辭彙 Glossary of Maths terms

2012-01-13T18:36:00.000+08:00

早於2007年，教育局己做了這個數學科常用英漢辭彙，
若字典裡找不到令你滿意的翻譯，不妨在本網誌輸入「Ctrl + F」以搜尋相關詞彙。

abbreviation 簡寫符號，簡寫
abscissa 橫坐標
absolute complement 絕對補集
absolute error 絕對誤差
absolute inequality 絕對不等式
absolute maximum 絕對極大值
absolute minimum 絕對極小值
absolute monotonic 絕對單調
absolute value 絕對值
accumulation 累積
accumulative 累積的
accuracy 準確度
acute angle 銳角
acute triangle 銳角三角形
add 加
addition 加法
addition formula 加法公式
addition law 加法定律
additive inverse 加法逆元，加法反元
adjacent angle 鄰角
adjacent side 鄰邊
adjoint matrix 伴隨矩陣
algebra 代數（學）
algebraic 代數的
algebraic equation 代數方程（式）
algebraic expression 代數式
algebraic fraction 代數分式，代數分數式
algebraic inequality 代數不等式
algebraic number 代數數
algebraic operation 代數運算
algebraically closed 代數封閉
algorithm 算法，規則系統
alternate angle （交）錯角
alternate segment 內錯弓形，交錯弓形
alternating series 交錯級數
alternative hypothesis 擇一假設，備擇假設，另一假設
alternate exterior angle 外錯角
alternate interior angle 內錯角
altitude 高（度），頂垂線，高線
ambiguous case 二義情況
amplitude (1) 幅度；(2) 輻角；(3) 振幅
analysis 分析，解析
analytic geometry 解析幾何
angle 角
angle at the centre 圓心角
angle at the circumference 圓周角
angle between a line and a plane 直線與平面的交角
angle between two planes 兩平面的交角
angle bisection 角平分
angle bisector 角平分線，分角線
angle of depression 俯角
angle of elevation 仰角
angle of greatest slope 最大斜率的角
angle of inclination 傾斜角
angle of intersection 相交角，交角
angle of projection 投射角
angle of rotation 旋轉角
angle sum of a triangle 三角形內角和
angles at a point 同頂角
angles in the alternate segment 內錯弓形的圓周角，交錯弓形的圓周角
angles in the same segment 同一弓形的圓周角
angular 角度的，角的
angular bisector 角平分線，分角線
anticlockwise direction 逆時針方向，反時針方向
anti-cosecant 反餘割
anti-cosine 反餘弦
anti-cotangent 反餘切
antiderivative 反導數，逆導數，反微商，逆微商
antilogarithm 逆對數，反對數
anti-secant 反正割
anti-sine 反正弦
anti-symmetric 反對稱
anti-tangent 反正切
apex 頂點
approach 接近，趨近
approximate value 近似值
approximation 近似，略計，逼近
Arabic numerals 阿拉伯數字，阿剌伯數字，阿拉伯數碼，阿剌伯數碼
Arabic system of notation 阿拉伯數字系統，阿剌伯數字系統
arbitrary 任意
arbitrary constant 任意常數
arc 弧
arc cosecant 反餘割
arc cosine 反餘弦
arc cotangent 反餘切
arc length 弧長
arc secant 反正割
arc sine 反正弦
arc tangent 反正切
Archimedean Solid 阿基米德（立）體
area 面積
Argand diagram 阿根圖，阿氏圖
argument (1)論證；(2) 輻角
argument of a complex number 複數的輻角
argument of a function 函數的自變數
arithmetic 算術
arithmetic mean (1)算術平均數；(2)等差中項，算術中項
arithmetic progression (1)等差數列，算術數列；(2)等差級數，算術級數
arithmetic sequence 等差數列，算術數列
arithmetic series 等差級數，算術級數
array 陣列，數組
ascending order 遞升序
ascending powers of x x 的升冪
assertion 斷言，斷定
associative law 結合律
assumption 假定，假設
asymmetrical 非對稱
asymptote 漸近線
asymptotic error constant 漸近誤差常數
augmented matrix 增廣矩陣
auxiliary angle 輔助角
auxiliary circle 輔助圓
auxiliary equation 輔助方程（式）
average 平均，平均數，平均值
average speed 平均速率
axiom 公理，公設
axis 軸
axis of reflectional symmetry 反射對稱軸
axis of reflective symmetry 反射對稱軸
axis of revolution 旋轉軸
axis of rotation 旋轉軸
axis of rotational symmetry 旋轉對稱軸
axis of symmetry 對稱軸

back substitution 回代
bar chart 棒形圖，長條圖
base (1) 底；(2) 基，基數
base angle 底角
base area 底面積
base line 底線
base number 底數，基數
base of a logarithm 對數的底
basis 基，基底
Bayes theorem, Bayes’ theorem 貝葉斯定理
bearing 方位，方向
bell-shaped curve 鐘形圖
Bernoulli distribution 伯努利分佈，伯努利分布
Bernoulli trials 伯努利試驗
bias 偏差，偏倚
biconditional 雙條件式，雙條件句
bijection 一一映射，雙射，對射
bijective function 雙射函數，對射函數
bimodal distribution 雙峰分佈，雙峰分布
binary number 二進制數，二進位數
binary operation 二元運算
binomial 二項式
binomial distribution 二項分佈，二項分布
binomial expression 二項式
binomial series 二項級數
binomial theorem 二項式定理
bisect 平分，等分
bisector 等分線，平分線
Boolean algebra 布爾代數
boundary condition 邊界條件
boundary line 界（線），邊界
bounded 有界（的）
bounded above 有上界（的），上有界（的）
bounded below 有下界（的），下有界（的）
bounded function 有界函數
bounded sequence 有界數列，有界序列
box plot 箱形圖，框線圖
box-and-whisker diagram 箱形圖，框線圖
breadth 闊（度），寬（度）
broken line graph 折線圖

calculate 計算
calculator 計算機，計算器
calculus (1) 微積分（學）；(2) 演算
cancel (1)消去；(2)約
cancellation law 消去律
canonical 典型，標準
capacity 容量
Cartesian coordinates 笛卡兒坐標
Cartesian equation 笛卡兒方程（式）
Cartesian product 笛卡兒積
categorical data 分類數據
category 類型，範疇
catenary 懸鏈線
Cauchy sequence 柯西序列
Cauchy’s principal value 柯西主值
Cauchy-Schwarz inequality 柯西－許瓦爾茲不等式
ceiling function 上取整函數
centimetre (cm) 厘米，公分
central limit theorem 中心極限定理
central line 中線
central tendency 集中趨勢
centre 中心，心
centre of a circle 圓心
centre of gravity 重心
centre of mass 質量中心
centroid 形心，距心
certain event 必然事件
Ceva Theorem, Ceva's Theorem 塞瓦定理
chain rule 鏈式法則
chance 機會
change of axes 坐標軸的變換
change of base 基變換
change of subject 主項變換
change of variable 變量變換，換元
characteristic equation 特徵方程（式）
characteristic function 特徵函數
characteristic of logarithm 對數的首數，對數的定位部
characteristic root 特徵根
chart 圖，圖表
check digit 校驗位
checking computations 驗算
chord 弦
chord at contact 切點弦
circle 圓
circular 圓形，圓的
circular function 圓函數，三角函數
circular measure 弧度法
circular permutation 環形排列，圓形排列，循環排列
circumcentre 外心，外接圓心
circumcircle 外接圓
circumference 圓周
circumradius 外接圓半徑
circumscribed circle 外接圓
class (1)組；(2)類
class boundary 組界
class interval 組區間，組距
class limit 組限
class mark 組中點，組標
classical theory of probability 古典概率論
classify (1)分類；(2)分組
clinometer 測斜儀
clockwise direction 順時針方向
closed convex region 閉凸區域
closed interval 閉區間
closed sentence 閉（合）（語）句，封閉語句
coaxial 共軸
coaxial circles 共軸圓
coaxial system 共軸系
coding 編碼
co-domain 上域
coefficient 係數
coefficient of variation 變異係數，變差係數
cofactor 餘因子，餘因式
cofactor matrix 餘因子矩陣，餘因式矩陣
coincide 疊合，重合
collection of terms 併項
collinear 共線
collinear planes 共線面
column 列
column matrix 列矩陣
column vector 列向量，列矢量
combination 組合
common chord 公弦
common denominator 同分母，公分母
common difference 公差
common divisor 公約（數）
common factor 公因數，公因子
common logarithm 常用對數
common multiple 公倍（數）
common ratio 公比
common tangent 公切線
commutative 交換的
commutative law 交換律
commutative property 交換性（質）
comparable 可比較（的）
compass (1)圓規；(2)指南針，羅盤
compasses 圓規
compatible 相容（的）
complement (1)餘，補，補餘；(2)餘集，補集
complementary angle 餘角
complementary equation 補餘方程（式）
complementary event 互補事件
complementary events 對立事件
complementary function 餘函數
complementary law 互餘律，互補律，補餘律
complementary set 餘集，補集
completing the square 配方
complex conjugate 複共軛（的）
complex fraction 繁分數
complex number 複數
complex number plane 複數平面
complex root 複數根
component 分量
composite function 複合函數，合成函數
composite mapping 複合映射，合成映射
composite number （複）合數，合成數
composition of functions 函數的複合，函數的合成
composition of mappings 映射的複合，映射的合成
compound angle 複角
compound angle formula 複角公式
compound bar chart 複合棒形圖
compound statement 複合命題，複合敍述
computation 計算
computer 電腦，電子計算機
concave 凹
concave downward 凹向下的
concave upward 凹向上的
concentric circles 同心圓
concept 概念
conclusion 結論
concurrent 共點
concyclic points 共圓點
condition 條件
conditional 條件句，條件式
conditional identity 條件恆等式
conditional inequality 條件不等式
conditional probability 條件概率
cone 錐，圓錐（體）
confidence coefficient 置信係數
confidence interval 置信區間
confidence level 置信水平
confidence limit 置信極限
confocal section 共焦圓錐曲線
congruence (1)全等；(2)同餘
congruence class 同餘類
congruent triangles 全等三角形
conic 二次曲線，圓錐曲線
conic section 二次曲線，圓錐曲線
conical pendulum 圓錐擺
conjecture 猜想
conjugate 共軛
conjugate axis 共軛軸
conjugate complex number 共軛複數
conjugate diameter 共軛（直）徑
conjugate hyperbola 共軛雙曲線
conjugate imaginary number 共軛虛數
conjugate radical 共軛根式
conjugate surd 共軛根式，共軛不盡根
conjunction 合取
connective 連詞
consecutive integers 連續整數
consecutive numbers 連續數，相鄰數
consequence 結論，推論
consequent 條件，後項
consistency condition 相容條件
consistent 一致的，一貫的，相容的
consistent estimator 相容估計量
constant 常數
constant of integration 積分常數
constraint 約束，約束條件
construction 作圖
construction of equation 方程（式）的設立
continued proportion 連比例
continued ratio 連比
continuity 連續性
continuity correction 連續校正
continuous 連續的
continuous data 連續數據
continuous function 連續函數
continuous random variable 連續隨機變量
contraction 收縮，短縮，縮小
contradiction 矛盾
contrapositive 逆反命題
converge 收斂
convergence 收斂性
convergent 收斂的
convergent iteration 收斂的迭代
convergent sequence 收斂序列
convergent series 收斂級數
converse 逆（定理）
converse of a relation 逆關係
converse theorem 逆定理
conversion 轉換
convex 凸
convex polygon 凸多邊形
convexity 凸性
coordinate 坐標
coordinate geometry 解析幾何，坐標幾何
coordinate system 坐標系
coplanar 共面
coplanar lines 共面線
co-prime 互質，互素
corollary 系定理，系，推論
correct to 準確至，取值至
correlation 相關
correlation coefficient 相關係數
corresponding angles (1)同位角；(2)對應角
corresponding element 對應元
corresponding sides 對應邊
cosecant 餘割
cosine 餘弦
cosine formula 餘弦公式
cotangent 餘切
countable 可數（的）
countable set 可數集
countably infinite 可數無限
counter clockwise direction 逆時針方向，反時針方向
counter example 反例
counting 數數，計數
Cramer’s rule 克萊瑪法則
critical point 臨界點
critical region 臨界域
critical value 臨界值
cross product 叉積，向量積，矢量積
cross-method 十字相乘法
cross-multiplication 交叉相乘
cross-section 橫切面，橫截面，截痕
cryptography 密碼學
cube 正方體，立方，立方體
cube root 立方根
cubic 三次方，立方，三次（的）
cubic equation 三次方程（式）
cubic roots of unity 單位的立方根
cuboid 長方體，矩體
cumulative 累積的
cumulative distribution function 累積分佈函數，累積分布函數
cumulative error 累積誤差
cumulative frequency 累積頻數，累積頻率
cumulative frequency curve 累積頻數曲線
cumulative frequency distribution 累積頻數分佈，累積頻數分布
cumulative frequency polygon 累積頻數多邊形，累積頻率直方圖
curvature of a curve 曲線的曲率
curve 曲線
curve sketching 曲線描繪（法）
curve tracing 曲線描跡（法）
curved surface 曲面
curved surface area 曲面面積
cyclic expression 輪換式
cyclic permutation 圓形排列
cyclic quadrilateral 圓內接四邊形
cycloid 旋輪線，擺線
cylinder 柱（體），圓柱（體）
cylindrical 圓柱形的

datum﹝data﹞ 數據
De Moivre’s theorem 棣美弗定理
De Morgan’s law 德摩根律
decagon 十邊形
decile 十分位數
decimal 小數
decimal part 小數部分
decimal place 小數位
decimal point 小數點
decoding 譯碼
decrease 遞減
decreasing function 遞減函數，下降函數
decreasing sequence 遞減序列，下降序列，遞減數列，下降數列
decreasing series 遞減級數，下降級數
decrement 減量
deduce 演繹
deduction 推論
deductive reasoning 演繹推理
definite 確定的，定的
definite integral 定積分
definition 定義
degenerated conic section 降級圓錐曲線
degree (1) 度；(2) 次
degree of a polynomial 多項式的次數
degree of accuracy 準確度
degree of confidence 置信度
degree of freedom 自由度
degree of ordinary differential equation 常微分方程（式）次數
degree of precision 精確度
denary number 十進數
denominator 分母
dependence (1)相關；(2)應變
dependent event 相關事件，相依事件，從屬事件
dependent variable 應變量，應變數
derivable 可導
derivative 導數，微商
derived curve 導函數曲線
derived function 導函數
derived statistics 推算統計資料，派生統計資料
descending order 遞降序
descending powers of x x 的降冪
descriptive statistics 描述（性）統計（學）
detached coefficients 分離係數（法）
determinant 行列式
deviation 偏差，變差
deviation from the mean 離均差
diagonal 對角線
diagonal matrix 對角矩陣
diagram 圖，圖表
diameter 直徑
diameter of a conic 二次曲線的直徑
difference 差
difference equation 差分方程（式）
difference of sets 差集
differentiable 可微
differential 微分
differential coefficient 微商，微分係數
differential equation 微分方程（式）
differential mean value theorem 微分中值定理
differentiate 求… … 的導數
differentiate from first principle 從基本原理求導數
differentiation 微分法
digit 數字
dilation 伸縮，擴大
dimension (1)維（數），度；(2)大小，尺寸；(3)因次，量網
direct proportion 正比（例）
direct variation 正變（分）
directed angle 有向角
directed line 有向（直）線
directed line segment 有向線段
directed number 有向數
direction 方向，方位
direction angle 方向角
direction cosine 方向餘弦
direction number 方向數
direction ratio 方向比
directrix 準線
Dirichlet function 狄利克雷函數
disc method 圓盤法
discontinuity 不連續性
discontinuous 間斷（的），非連續（的），不連續（的）
discontinuous point 不連續點
discrete 離散（的）
discrete data 離散數據
discrete probability distribution 離散概率分佈，離散概率分布
discrete random variable 離散隨機變量，離散隨機變數
discrete uniform distribution 離散均勻分佈，離散均勻分布
discriminant 判別式
disjoint 不相交的
disjoint sets 不相交的集
disjunction 析取
dispersion 離差
displacement 位移
disprove 反證
distance 距離
distance formula 距離公式
distinct roots 相異根
distinct solution 相異解
distribution 分佈，分布
distributive law 分配律
diverge 發散
divergence 發散（性）
divergent 發散的
divergent iteration 發散性迭代
divergent sequence 發散序列
divergent series 發散級數
divide 除
dividend (1) 被除數，被除式；(2) 股息
divisible 可整除
division 除法
division algorithm 除法算式
divisor 除數，除式，因子
divisor of zero 零因子
dodecagon 十二邊形
dodecahedron 十二面體
domain 定義域
dot 點
dot product 點積
double angle 二倍角
double angle formula 二倍角公式
double root 二重根
dual 對偶（的）
duality 對偶性
dummy variable 啞變量，假變量

eccentric angle 離心角
eccentric circles 離心圓
eccentricity 離心率
echelon form 梯陣式
echelon matrix 梯矩陣
edge 稜，棱，邊
efficient estimator 有效估計量
eigenvalue 本徵值
eigenvector 本徵向量
element 元（素）
elementary event 基本事件
elementary function 初等函數
elementary row operation 基本行運算
elimination (1)消去；(2)消元法
ellipse 橢圓
ellipsoid 橢球體
empirical data 經驗數據，實驗數據
empirical formula 經驗公式，實驗公式
empirical probability 經驗概率，實驗概率
empty set 空集
enclosure 界限
encoding 編碼
end point, endpoint 端點
entire surd 整方根
epicycloid 外擺線
equal 相等（的），等於
equal roots 等根
equal sets 等集
equality 等（式）
equality sign 等號
equally likely event 等可能事件
equation 方程（式）
equation of a straight line 直線方程（式）
equation of locus 軌跡方程（式）
equiangular 等角（的）
equidistant 等距（的）
equilateral 等邊（的）
equilateral triangle 等邊三角形
equiprobable 等概率的
equiprobable space 等概率空間
equivalent 等價（的）
error 誤差
error estimate 誤差估計
error term 誤差項
estimate 估計，估計量
estimator 估計量
Euclidean algorithm 歐幾里得算法
Euclidean geometry 歐幾里得幾何
Euler’s formula 歐拉公式，尤拉公式
evaluate 計值
even function 偶函數
even number 偶數，雙數
evenly distributed 均勻分佈的，均勻分布的
event 事件
exact differential form 恰當微分形式
exact solution 準確解，精確解，真確解
exact value 準確值，精確值，真確值
exclusive 不包含
exclusive disjunction 不包含性析取
exclusive events 互斥事件
exhaustive event 窮舉事件
existential quantifier 存在量詞
expand 展開
expansion 展式
expectation 期望
expectation value, expected value 期望值，預期值
experimental design 試驗設計，實驗設計
explicit function 顯函數
exponent 指數
exponential function 指數函數
exponential order 指數階，指數級
express ... in terms of... 以… … 表達
expression 式，數式
extension 外延，延長，擴張，擴充
extension of a function 函數的擴張
exterior angle 外角
external bisector 外（平）分角線，外（角）平分線
external division 外分
external point of division 外分點
extreme point 極值點
extreme value 極值
extremum 極值

face 面
factor 因式，因子，因數
factor theorem 因式定理，因子定理
factorial 階乘
factorization 因式分解，因子分解，因數分解
factorization of polynomial 多項式因式分解，多項式因子分解
fallacy 謬誤
false 假（的）
falsehood 假值
family 族
family of circles 圓族
family of concentric circles 同心圓族
family of straight lines 直線族
feasible solution 可行解，容許解
Fibonacci number 斐波那契數，黃金分割數
Fibonacci sequence 斐波那契數列，斐波那契序列
figure (1) 圖（形）； (2)數字；(3)（數）位
finite 有限（的），有窮（的）
finite population 有限總體
finite probability space 有限概率空間
finite sequence 有限數列，有限序列
finite series 有限級數
finite set 有限集
first approximation 首近似值
first derivative 一階導數
first order differential equation 一階微分方程（式）
first quadrant 第一象限
first quartile 第一四分位數
first term 首項
fixed point 不動點，（固）定點
fixed point iteration method 定點迭代法
floor function 下取整函數
focal axis 焦軸
focal chord 焦弦
focal length 焦距
focus ﹝foci﹞ 焦點
folium of Descartes 笛卡兒葉形線
foot of perpendicular 垂足
for all x 對所有 x
for any x 對任一 x
for each x , for every x 對每一 x
formal proof 形式證明
formula ﹝formulae﹞ 公式
four fundamental operations of arithmetic 算術（基本）四則運算
four-figure table 四位數表
fourth quadrant 第四象限
fraction 分數，分式
fraction in lowest term 最簡分數
fractional index 分數指數
fractional inequality 分式不等式
free vector 自由向量，自由矢量
frequency 頻數，頻率
frequency distribution 頻數分佈，頻數分布，頻率分佈，頻率分布
frequency polygon 頻數多邊形，頻率多邊形
frustum 平截頭體，平截頭台，平截頭墩
function 函數
function of function 函數的函數，複合函數，疊函數
functional notation 函數記號
fundamental theorem of algebra 代數基本定理
fundamental theorem of calculus 微積分基本定理

Gaussian distribution 高斯分佈，高斯分布
Gaussian elimination 高斯消去法
general form 一般式
general solution 通解，一般解
general term 通項
geoboard 幾何板
geometric distribution 幾何分佈，幾何分布
geometric mean (1)幾何平均數；(2)等比中項
geometric progression (1)等比數列，幾何數列；(2)等比級數，幾何級數
geometric sequence 等比數列，幾何數列
geometric series 等比級數，幾何級數
geometry 幾何（學）
global maximum 全局極大（值），總體極大（值），整體極大（值）
global minimum 全局極小（值），總體極小（值），整體極小（值）
golden ratio 黃金（分割）比
golden section 黃金分割
Gougu theorem 勾股定理
gradient 斜率，傾斜量
gram (g) 克
graph 圖，圖形，圖像
graph paper 圖表紙
graphical method 圖解法
graphical representation 圖示，以圖像表達
graphical solution 圖解
greatest common divisor (gcd) 最大公因數，最大公因子
greatest term 最大項
greatest value 最大值
grid lines 網格線
grouped data 分組數據，分類數據
grouping terms 併項

half angle 半角
half-angle formula 半角公式
half-closed interval 半閉區間
half-open interval 半開區間
head （錢幣的）正面
height 高（度）
helix 螺旋線
hemisphere 半球體，半球
hendecagon 十一邊形
heptadecagon 十七邊形
heptagon 七邊形
Heron formula, Heron’s formula 希羅公式，海倫公式
heterogeneous 非齊次的
hexadecimal number 十六進制數，十六進位數
hexagon 六邊形
hexahedron 六面體
higher order derivative 高階導數
highest common factor (H.C.F.) 最高公因式，最高公因子，最大公因數
Hindu-Arabic numerals 印度─阿拉伯數字，印度─阿剌伯數字，
印度─阿拉伯數碼，印度─阿剌伯數碼
histogram 組織圖，直方圖，矩形圖
homogeneous 齊次的
horizontal 水平（的）
horizontal asymptote 水平漸近線
horizontal component 水平分量
hour (h) 小時
hyperbola 雙曲線
hyperbolic function 雙曲函數
hypotenuse 斜邊
hypothesis 假設
hypothesis testing 假設檢驗

icosahedron 二十面體
identical 恆等（的）
identity (1)恆等（式）；(2)單位元
identity element 單位元（素）
identity law 同一律
identity mapping 恆等映射，恆同映射
identity matrix 單位矩陣
identity relation 恆等關係（式）
if and only if (iff) 當且僅當
image (1)象；(2)像（點）
imaginary axis 虛軸
imaginary circle 虛圓
imaginary number 虛數
imaginary part 虛部
imaginary root 虛根
imaginary unit 虛數單位
implication 蘊涵（式），蘊含（式）
implicit definition 隱定義
implicit function 隱函數
imply 蘊涵，蘊含
impossible event 不可能事件
improper fraction 假分數
incentre 內心
incircle 內切圓
inclination 傾角，斜角
inclined plane 斜面
included angle 夾角
inclusion mapping 包含映射
inclusive 包含的，可兼的
inclusive disjunction 包含性析取，可兼析取
inconsistent 不相容（的），不一致（的）
increasing function 遞增函數
increasing sequence 遞增數列，遞增序列
increasing series 遞增級數
increment 增量
indefinite integral 不定積分
indefinite integration 不定積分法
independence (1)獨立；(2)自變
independent equations 獨立方程（式）
independent events 獨立事件
independent variable 自變量，自變數，獨立變數，獨立變量
indeterminate (1) 不定的；(2) 不定元，未定元
indeterminate coefficient 不定係數，未定係數
indeterminate form 不定（形）式，未定（形）式
index﹝indices﹞ 指數，指標
induction hypothesis 歸納（法）假設
inequality (1)不等式；(2)不等
inequality sign 不等號
infer 推斷
inference 推論
inferential statistics 推論（性）統計（學）
infinite 無窮（的），無限（的）
infinite decimal 無盡小數，不盡小數，無窮小數，無限小數
infinite population 無窮總體，無限總體，無窮母體，無限母體
infinite sequence 無窮序列，無限序列，無窮數列，無限數列
infinite series 無窮級數，無限級數
infinite set 無窮集，無限集
infinitely many 無窮多，無限多
infinitesimal 無窮小（的），無限小（的）
infinity 無窮（大），無限（大）
inflection point 拐點，反曲點
inflexion point 拐點，反曲點
inherent error 固有誤差
initial approximation 初始近似值
initial condition 原始條件，初值條件
initial point 起點，始點
initial side 始邊
initial value 初值，始值
initial-value problem 初值問題
injection 單射，內射
injective function 單射函數，內射函數
inner product 內積
inscribed circle 內切圓
integer 整數
integrable 可積（的）
integrable function 可積函數
integral 積分
integral index 整數指數
integral mean value theorem 積分中值定理
integral part 整數部分
integral solution 整數解
integral value 整數值
integrand 被積函數
integrate 積，積分，求……的積分
integrating factor 積分因子
integration 積分法
integration by parts 分部積分法
integration by substitution 代換積分法，換元積分法
integration constant 積分常數
intercept (1)截距；(2)截段
intercept form 截距式
intercept theorem 截線定理
interior angle 內角
interior angles on the same side 同傍內角
interior opposite angle 內對角
intermediate value theorem 介值定理
internal bisector 內分角線，（內）角平分線
internal division 內分
internal point of division 內分點
interpolating polynomial 插值多項式
interpolation 插值（法），內插（法）
interquartile range 四分位數間距，內四分位距
intersection (1) 交集；(2) （相）交；(3) 交點
interval 區間
interval estimation 區間估計，區域估計
invalid argument 不對確論證
invariance 不變性
invariant (1) 不變的；(2) 不變量，不變式
inverse 逆（的），反（的）
inverse circular function 反圓函數，反三角函數
inverse cosecant 反餘割
inverse cosine 反餘弦
inverse cotangent 反餘切
inverse function 逆函數，反函數
inverse mapping 逆映射，反向映射
inverse matrix 逆矩陣
inverse proportion 反比（例）
inverse relation 逆關係
inverse secant 反正割
inverse sine 反正弦
inverse tangent 反正切
inverse trigonometric function 反三角函數
inverse variation 反變（分），逆變（分）
invertible 可逆的
invertible matrix 可逆矩陣
irrational number 無理數，不可比數
irregular 不規則
isosceles triangle 等腰三角形
iterate 迭代
iteration 迭代
iteration form 迭代形
iterative function 迭代函數
iterative method 迭代法

joint variation 聯變（分），連變（分）

kilogram (kg) 千克，公斤
kilometre (km) 千米，公里
kite 鳶形，鷂形

L’Hospital’s rule 洛必達法則
Lagrange interpolating polynomial 拉格朗日插值多項式
Lagrange theorem 拉格朗日定理
last term 末項
latent root 本徵根，特徵根
lattice point 格點
law of indices 指數（定）律
law of trichotomy 三分律
leading coefficient 首項係數
leading diagonal 主對角線
least common multiple (L.C.M.) 最小公倍數，最低公倍式
least value 最小值
left-hand limit 左方極限
Leibniz’s rule for differentiation 萊布尼茲法則
lemma 引理
length 長（度）
level of significance 顯著（性）水平
like surds 同類根式
like terms 同類項
limit 極限
limit of sequence 序列的極限，數列的極限
limiting case 極限情況
limiting position 極限位置
line 線
line of greatest slope 最大傾斜線，最大斜率的直線
line segment 線段
linear 線性（的），一次（的）
linear differential equation 線性微分方程（式）
linear equation 線性方程（式），一次方程（式）
linear equation in two unknowns 二元一次方程（式），二元線性方程（式）
linear inequality 一次不等式，線性不等式
linear interpolation 線性插值（法），線性內插（法）
linear programming 線性規畫
linearly dependent 線性相關（的）
linearly independent 線性無關（的）
literal coefficient 文字係數
literal equation 文字方程（式）
litre (L)(l) 升，公升
local maximum 局部極大（值）
local minimum 局部極小（值）
locus﹝loci﹞ 軌跡
logarithm 對數
logarithmic function 對數函數
logic 邏輯
long division method 長除法
lower bound 下界
lower boundary 下邊界
lower limit 下限
lower quartile 下四分位數
lower sum 下和
lower triangular matrix 下三角形矩陣
lowest common multiple (L.C.M.) 最小公倍數，最低公倍式

Maclaurin expansion, Maclaurin's expansion 麥克勞林展開式
Maclaurin series, Maclaurin's series 麥克勞林級數
magnitude (1)量；(2)數量；(3)長度；(4)大小
main diagonal 主對角線
major arc 優弧，大弧
major axis 長軸
major sector 優扇形，大扇形
major segment 優弓形，大弓形
mantissa of logarithm 對數的尾數，對數的定值部
many-sided figure 多邊形
many-to-one 多對一（的）
many-valued 多值的
map into 映入
map onto 映上
mapping 映射
mathematical analysis 數學分析
mathematical induction 數學歸納法
mathematics 數學
matrix 矩陣
matrix operation 矩陣運算
maximise 極大化
maximum point 極大點
maximum value 極大值
mean 平均數，平均值，均值
mean deviation 平均偏差
mean value theorem 中值定理
measure (1)度量；(2)測度
measurement 量度，測量
median (1) 中位數；(2) 中線
meet 相交
mensuration 測量法，求積法
method of completing the square 配方法
method of elimination (1)消元法；(2)加減（消元）法
method of interpolation 插值法，內插法
method of substitution (1)代換法，換元法，置換法；(2)代入（消元）法
method of successive substitution 逐次代換法
metre (m) 米，公尺
metric system 公制，十進制
midpoint, mid-point 中點
millilitre (mL)( ml) 毫升
millimetre (mm) 毫米
minimise 極小化
minimum point 極小點
minimum value 極小值
minor (1)子行列式；(2)劣（的），小（的）
minor arc 劣弧，小弧
minor axis 短軸
minor of a determinant 子行列式
minor sector 劣扇形，小扇形
minor segment 劣弓形，小弓形
minus 減
minute 分
mixed fraction 帶分數
mixed number 帶分數
modal class 眾數組
mode 眾數
modelling 建模
modulus 模，模數
monomial 單項式
monotone 單調（的）
monotonic convergence 單調收斂
monotonic decreasing 單調遞減（的）
monotonic function 單調函數
monotonic increasing 單調遞增（的）
multinomial 多項式
multiple (1)倍數；(2)倍式；(3)多重
multiple angle 倍角
multiple root （多）重根
multiple-angle formula 倍角公式
multiplicand 被乘數
multiplication 乘法
multiplication law 乘法定律
multiplicative inverse 乘法逆元（素），乘法反元（素）
multiplicity 重數
multiplier 乘數，乘式
multiply 乘
multi-valued 多值的
mutually disjoint 互不相交（的）
mutually exclusive events 互斥事件，不相容事件
mutually perpendicular lines 互相垂直線

n factorial n 階乘
Napierian logarithm 納皮爾對數，自然對數
natural logarithm 自然對數
natural number 自然數
necessary and sufficient condition 充要條件，必要且充分的條件
necessary condition 必要條件
negation 否定式
negative 負（的）
negative angle 負角
negative index 負指數
negative integer 負整數
negative number 負數
neighbourhood 鄰域
net (1)淨（值）；(2)網（格）；(3)摺紙圖樣，展開圖
Newton method, Newton’s method 牛頓方法
Newton-Raphson method 牛頓－拉弗森方法
n -gon n 邊形
nonagon 九邊形
non-collinear 不共線（的），非共線（的）
non-commutative 非交換的
non-linear 非線性（的）
non-negative 非負的
non-reflexive 非自反的
non-singular 滿秩的，非奇（異）的
non-singular matrix 滿秩矩陣，非奇異矩陣
non-transitive 非可遞的
non-trivial 非平凡的
non-zero 非零
norm (1)範（數）；(2)模方
normal (1) 法線；(2)垂直的，正交的；(3) 正態的，常態的；(4) 正常的，正規的
normal curve 正態分佈曲線，正態分布曲線，常態分佈曲線，常態分布曲線，正規曲線
normal distribution 正態分佈，正態分布，常態分佈，常態分布
normal form (1)法線式；(2)範式，正規形式
normal vector 法向量，法矢量
normalise 正規化，常態化
notation 記法，記號
n th derivative n 階導數
n th root n 次根
n th root of unity 單位的 n 次根
null 零（的），空（的）
null hypothesis 原假設，零假設，虛假設
null set 空集，零集
null vector 零向量，零矢量
number 數
number line 數線
number pattern 數型
number system 數系
numeral 數字，數碼
numeral system 記數系統
numerator 分子
numerical 數值的，數字的
numerical analysis 數值分析
numerical integration 數值積分（法）
numerical method 數值方法

objective function 目標函數
oblique 斜的
oblique asymptote 斜漸近線
oblique cone 斜圓錐
oblong 長方形（的）
obtuse angle 鈍角
obtuse triangle 鈍角三角形
octagon 八邊形
octahedron 八面體
octal number 八進制數，八進位數
octant 卦限
odd function 奇函數
odd number 奇數，單數
one-one correspondence 一一對應
one-one mapping 一一映射
one-tailed test 單尾檢驗（法），單側檢驗（法）
one-to-many 一對多（的）
one-to-one 一對一（的）
only if 僅當
onto mapping 滿射
open interval 開區間
open sentence 開（放）（語）句
operation 運算
opposite angle 對角
opposite interior angle 內對角
optimal solution 最優解
order (1) 次；(2)（次）序；(3) 階，級；(4)重，折
order of a matrix 矩陣的階
ordered n -tuples 有序 n 元（組）
ordered pair 序偶，序對
ordered relation 有序關係
ordered set 有序集
ordered triples 有序三元（組）
ordinary differential equation 常微分方程（式）
ordinate 縱坐標
origin 原點
orthocentre 垂心
orthogonal 正交（的）
orthogonal circles 正交圓
orthogonal projection 正（交）投影
orthogonality 正交性
outcome 結果

pairwise disjoint 兩兩不相交（的）
pairwise mutually exclusive events 兩兩互斥事件
parabola 抛物線
paradox 悖論
parallel 平行（的）
parallel lines 平行線
parallelepiped 平行六面體
parallelogram 平行四邊形
parallelogram law of addition 平行四邊形加法
parallelogram method 平行四邊形法
parameter 參數，參變量
parametric equation 參數方程（式）
parametric form 參數式
partial fraction 部分分式，部分分數
partial sum 部分和
partial variation 部分變（分）
particular solution 特解
partition 分割，劃分
Pascal’s triangle 帕斯卡三角形，巴斯卡三角形
pattern 規律，模型
pegboard 有孔板
pencil of lines 線束
pentagon 五邊形
percent 百分率，百分數，百分比
percentage 百分法，百分數
percentage error 百分誤差
percentage point 百分（比）點
percentile 百分位數（值）
perfect number 完全數
perfect square 完全平方
perimeter 周界，周長
period 週期
periodic function 週期函數
permutation 排列
permutation with repetition 有重排列
permutation without repetition 無重排列
perpendicular (1)垂線；(2)垂直（於）
perpendicular bisector 垂直平分線，中垂線
perpendicular line 垂（直）線
pictogram 象形圖
pie chart 圓形圖，圓瓣圖
pinboard 釘板
place value 位值
plan 平面圖
plane 平面
plane figure 平面圖形
Platonic Solid 柏拉圖立體
plot 作… … （圖）
plus 加
point 點
point circle 點圓
point estimation 點估計
point of contact 切（觸）點
point of division 分點
point of inflection 拐點，反曲點
point of inflexion 拐點，反曲點
point of intersection 交點
point-slope form 點斜式
Poisson distribution 泊松分佈，泊松分布，卜瓦松分佈，卜瓦松分布
polar coordinates 極坐標
polar equation 極方程（式）
polar form 極形式
polygon 多邊形
polygon law of addition 多邊形加法
polygon method 多邊形法
polyhedron﹝polyhedra﹞ 多面體
polynomial 多項式
polynomial equation 多項式方程（式）
population 總體，母體
population mean 總體平均（值）
position vector 位置向量，位置矢量
positive 正
positive index 正指數
positive integer 正整數
positive number 正數
posterior probability 後驗概率
postulate 公設
power (1) 冪，乘方；(2) 檢定力
power function 冪函數
power series 冪級數
power set 冪集，勢集
precision 精確度
prime number 質數，素數
primitive function 原函數
principal angle 主角
principal axis 主軸
principal value 主值
principal value interval 主值區間
principle of mathematical induction 數學歸納法原理
principle of superposition 疊合原理，重疊原理
prior probability 先驗概率，事先概率
prism 稜柱（體），棱柱（體），角柱（體）
prismoid 平截頭稜錐體，平截頭棱錐體
probability 概率，或然率，機率
probability density function 概率密度函數
probability distribution 概率分佈，概率分布
probability generating function 概率母函數
problem 應用題
produce 延長
product 積，乘積
product and sum formula 和積互變公式
product rule 積法則
product sample space 積樣本空間
product set 積集
product to sum formula 積化和差公式
progression (1)數列；(2)級數
projecting lines 投影線，投映線
projecting plane 投影平面，投映平面
projection 投影，投映，射影，射映
proof 證（明）
proof by contradiction 反證法，歸謬法
proof by contrapositive 反證法
proper fraction 真分數
proper integral 正常積分
proper subset 真子集
property 性質
proportion 比例
proportional 成比例的
proposition 命題
propositional calculus 命題演算
propositional inference 命題推演
protractor 量角器
prove 證（明）
Ptolemy Theorem, Ptolemy's Theorem 托勒密定理
purely imaginary number 純虛數
pyramid 稜錐（體），棱錐（體），角錐（體）
Pythagoras’ theorem, Pythagorean theorem 畢達哥拉斯定理，畢氏定理
Pythagorean triplet 畢達哥拉斯三元數組，畢氏三元數組

quadrant 象限
quadratic equation 二次方程（式）
quadratic function 二次函數
quadratic inequality 二次不等式
quadrilateral 四邊形
quantifier 量詞
quartic equation 四次方程（式）
quartile 四分位數
quintic equation 五次方程（式）
quotient 商（式）
quotient rule 商法則

radial component 徑向分量
radian 弧度
radian measure 弧度法
radical 根，根式，根號
radical axis 根軸，等冪軸
radical centre 根心，等冪心
radius﹝radii﹞ 半徑
random 隨機（的）
random experiment 隨機試驗
random number 隨機數
random sample 隨機樣本
random variable 隨機變量
range (1)值域；(2)區域，範圍；(3)極差，分佈域，分布域
rank 秩
rate （比）率
rate of change 變（化）率
ratio 比（率）
rational expression 有理式，有理表達式
rational function 有理函數
rational index 有理（數）指數
rational number 有理數，可比數
rationalisation 有理化
raw data 原始數據
raw score 原始分（數）
real axis 實軸
real number 實數
real part 實部
real root 實根
reciprocal (1)倒數（的）；(2)互反（的），互逆（的）
rectangle 矩形，長方形
rectangular coordinates 直角坐標
rectangular distribution 矩形分佈，矩形分布
rectangular formula 矩形公式
rectangular hyperbola 等軸雙曲線，直角雙曲線
rectangular number 矩形數
rectangular prism 矩形稜柱（體），矩形棱柱（體）
rectilinear figure 直線圖形
recurrence formula 遞推公式
recurrent 循環的，遞歸的
recurring decimal 循環小數
reduce 簡化
reducibility 可約性，可化簡性
reducible 可約的，可化簡的
reductio ad absurdum 反證法，歸謬法
reduction formula 歸約公式
reflection 反射，鏡射
reflex angle 優角，反角
reflexive 自反的
reflexive relation 自反關係
region 區域
region of acceptance 接受區域，接收區域
region of rejection 否定區域
regular cone 正則錐（體）
regular polygon 正多邊形
regular polyhedron﹝polyhedra﹞ 正多面體
regular prism 正稜柱（體），正棱柱（體）
regular pyramid 正稜錐（體），正棱錐（體）
relation 關係（式）
relative error 相對誤差
relative frequency 相對頻數
relative maximum 相對極大
relative minimum 相對極小
relatively prime 互質，互素
reliability （可）信度
remainder 餘數，餘式
remainder term 餘項
remainder theorem 餘式定理
repeated trials 重複試驗
resolution of vector 向量分解，矢量分解
resultant vector 合（成）向量，合（成）矢量
rhombus 菱形
right angle 直角
right circular cone 直（立）圓錐（體）
right circular cylinder 直（立）圓柱（體）
right prism 直（立）稜柱（體），直（立）棱柱（體）
right pyramid 直（立）稜錐（體），直（立）棱錐（體）
right-angled triangle 直角三角形
right-hand limit 右方極限
Rolle theorem, Rolle's theorem 洛爾定理，羅爾定理
root 根
root-mean-square 均方根
rotation 旋轉
round down 下捨入，不進位捨入
round off 捨入，四捨五入
round up 上捨入，進位捨入
row 行
row vector 行向量，行矢量
ruler 直尺

sample 樣本
sample mean 樣本平均數，樣本均值
sample space 樣本空間
sampling distribution 抽樣分佈，抽樣分布，樣本分佈，樣本分布
sampling technique 抽樣技術
sampling theory 抽樣（理）論
sandwich theorem 迫近定理
scalar 純量（的），無向量（的），標量（的）
scalar matrix 純量矩陣，標量矩陣
scalar multiplication 純量乘法，標量乘法
scalar product 純量積，點積
scalar triple product 純量三重積
scale 比例尺，標度，圖尺，尺度
scalene triangle 不等邊三角形，不規則三角形
scatter diagram 散點圖，散佈圖，散布圖
scientific notation 科學記數法
secant (1) 正割；(2) 割線
secant method 割線法，正割法
second (s) 秒
second derivative 二階導數，二次導數
second order ordinary differential equation 二階常微分方程（式）
second quadrant 第二象限
second quartile 第二四分位數
section (1) 截面；(2)截線；(3) 截點
section formula 截點公式
sector 扇形
segment of a circle 弓形
semicircle 半圓
semi-conjugate axis 半共軛軸
semi-major axis 半主軸，半長軸
semi-minor axis 半副軸，半短軸
semi-regular polyhedron 半正多面體
semi-transverse axis 半貫軸
semi-vertical angle 半頂角
sentence 句，語句
sequence 數列，序列
series 級數
set 集（合）
set square 三角尺，三角板
sexagesimal number 六十進制數，六十進位數
shape 形狀
shear 剪（切），剪力
shell method 外殼法
SI, Le Système international d'unités 國際單位制
side 邊，側
sign (1)符號，記號；(2)正負號
significance level 顯著性水平
significant digit 有效位
significant figure 有效數字
signum 正負號函數
similar figures 相似圖形
similar triangles 相似三角形
similarity 相似（性）
simple equation 簡易方程（式）
simple iteration method 簡單迭代法
simplify 簡化
Simpson integral, Simpson's integral 森遜積分，辛普森積分
Simpson rule, Simpson's rule 森遜法則，辛普森法則
simultaneous equations 聯立方程（式）
simultaneous inequalities 聯立不等式
sine 正弦
sine formula 正弦公式
singleton 單元集
single-valued function 單值函數
singular 奇（異）的
singular matrix 降秩矩陣，奇異矩陣
skew distribution 偏斜分佈，偏斜分布
slant edge 斜稜，斜棱
slant height 斜高
slide rule 計算尺
slope 斜率，斜度，傾斜，坡度
slope-intercept form 斜率截距式，斜截式
solid (1)立體；(2)固體
solid of revolution 旋轉體，迴旋體
solution 解，解法
solution of equation 方程（式）解
solution of triangle 解三角形，三角形解法
solution set 解集（合）
solve 解
Soma Cube 索馬立體
sound argument 真確論證
span 生成
special angle 特殊角，特別角
sphere (1)球形；(2)球面
spheroid (1)球體；(2)橢圓體，迴轉橢圓體
spiral 螺線
square (1) 平方，二次冪；(2) 正方形
square matrix 方（矩）陣
square number 正方形數，平方數
square root 平方根，二次根
squeeze theorem 迫近定理
standard deviation 標準差
standard equation 標準方程（式）
standard error 標準誤差
standard form 標準式，標準型
standard normal distribution 標準正態分佈，標準正態分布，標準常態分佈，標準常態分布
standard score 標準分
standard unit 標準單位
statement 陳述，述句，語句
stationary point 平穩點，駐點
stationary value 平穩值
statistic 統計量
statistical analysis 統計分析
statistical chart 統計圖表
statistical data 統計數據
statistical significance 統計顯著性
statistical test 統計檢驗，統計試驗
statistics (1)統計（學）；(2)統計量
stem-and-leaf diagram 幹葉圖，莖葉圖
step function 階梯函數
straight line 直線
straight line graph 直線圖像
strictly monotonic 嚴格單調
strictly monotonic function 嚴格單調函數
subject 主項
submultiple angle formula 半角公式
subnormal 次法線
subsequence 子序列，子數列
subset 子集
subsidiary angle 輔助角
substitute 代入，代換
subtend 對向
subtract 減
subtraction 減法
successive approximation 逐次逼近，逐次近似
successive derivative 逐次導數，逐次微商
successive differentiation 逐次微分（法）
sufficiency 充分性
sufficient and necessary condition 充要條件
sufficient condition 充分條件
sum 和，總數
sum to infinity 無限項之和
sum to n terms n 項和
sum to product formula 和化積公式
summation 求和（法），總和
summation formula 求和公式，總和公式
superimposing 疊和，疊合
supplementary angle 補角
surd 根式，不盡根
surface 面，表面，曲面
surface area 表面面積，曲面面積
surface of revolution 旋轉曲面，迴轉曲面
surjection 滿射
surjective function 滿射函數，映成函數
syllogism 三段論
symbol 符號，記號
symmetric difference 對稱差
symmetric expression 對稱式
symmetric relation 對稱關係
symmetry 對稱（性）
synthetic division 綜合除法
system (1)系統，體系；(2)組，系
system of circles 圓系
system of numerals 記數系統
system of straight lines 直線系

table 表
tabulate 製表
tabulation form 表列式
tabulation method 列表法
tail (1)（錢幣的）反面；(2)尾部
tangent (1) 正切；(2) 切線（的）
tautology 恆真命題，恆真式
Taylor expansion, Taylor’s expansion 泰勒展開式
Taylor series, Taylor’s series 泰勒級數
Taylor theorem, Taylor’s theorem 泰勒定理
term 項
terminal point 終點
terminal side 終邊
terminating decimal 有盡小數
tessellation 密鋪，鋪嵌，嵌圖
test 檢驗，試驗，測驗，檢定
test criterion 檢驗標準
test of significance 顯著性檢驗
tetrahedron 四面體
theorem 定理
theoretical probability 理論概率
theory （理）論
third quadrant 第三象限
third quartile 第三四分位數
three-dimensional space 三維空間
torus 環面
total probability 總概率，全概率
touch 切（觸）
trace 跡
transcendental function 超越函數
transcendental number 超越數
transform 變換，轉換
transformation 變換，轉換
transitive 可（傳）遞的，可遷的
transitive law 可遷律
transitive property 傳遞性
transitivity 傳遞性
translation 平移
transpose (1)移項；(2)轉置
transpose of matrix 倒置矩陣，轉置矩陣
transversal 截線，橫截的
transverse axis 貫軸，橫截軸
transverse component 橫截分量
trapezium 梯形
trapezoidal integral 梯形積分
trapezoidal rule 梯形法則
travel graph 行程圖
tree diagram 樹形圖
trial 試，試驗
triangle 三角形
triangle inequality 三角不等式
triangle law of addition 三角形加法
triangle method 三角形法
triangular matrix 三角（形）矩陣
triangular number 三角形數
triangular prism 三稜柱（體），三棱柱（體），三角柱（體）
trichotomy law 三分律
trigonometric equation 三角方程（式）
trigonometric function 三角函數，圓函數
trigonometric identity 三角恆等式
trigonometric ratio 三角比
trigonometric table 三角函數表
trigonometry 三角學
trinomial 三項式
triple (1)三倍（的）；(2)三元組
triple angle 三倍角
triple product 三重積
trisect 三等分
trivial solution 平凡解
true 真（的）
truncation error 截斷誤差，截尾誤差，捨位誤差
truth table 真（假）值表
truth value 真（假）值
turning point 轉向點
two-dimensional space 二維空間
two-point form 兩點式
two-tailed test 雙尾檢驗，雙端檢驗
type I error 第一型誤差，第一類誤差
type II error 第二型誤差，第二類誤差

unary operation 一元運算
unbiased estimator 無偏估計量，不偏估計量
unbounded function 無界函數
undefined 未定義（的）
undetermined coefficient 待定係數
unequal 不等
ungrouped data 未分組數據，不分組數據
uniform (1)一致（的）；(2)均勻（的）
uniform cross-section 均勻橫切面
uniform distribution 均勻分佈，均勻分布
unimodal distribution 單峰分佈，單峰分布
union 併集，和集
unique 唯一（的）
unique solution 唯一解
uniqueness 唯一性
unit 單位
unit area 單位面積
unit circle 單位圓
unit imaginary number 單位虛數
unit matrix 單位矩陣
unit vector 單位向量，單位矢量
unit volume 單位體積
universal quantifier 全稱量詞
universal set 全集，宇集，泛集
unknown 未知數，未知量
unlike terms 異類項
upper bound 上界
upper boundary 上邊界
upper limit 上限
upper quartile 上四分位數
upper sum 上和
upper triangular matrix 上三角形矩陣

valid argument 對確論證
validity (1)（有）效度；(2)對確性
value 值
variability 可變性，變異性
variable 變量，元，變元，變數
variance 方差，變異數
variation 變數，變分
vector 向量，矢量
vector product 向量積，矢量積，叉積
vector space 向量空間
vector triple product 向量三重積
Venn diagram 溫氏圖，范氏圖，文氏圖，維恩圖
verification 檢驗，驗證
verify 檢驗，驗證
vertex﹝vertices﹞ 頂（點）
vertical 垂直（的），鉛垂（的）
vertical angle 頂角
vertical asymptote 垂直漸近線
vertical component 垂直分量
vertically opposite angles 對頂角
volume 體積
volume of revolution 旋轉體的體積，迴轉體的體積

weighted average 加權平均數，加權平均值
weighted mean 加權平均數，加權平均值
whole number 整數
width 闊（度），寬（度）
without loss of generality 不失一般性，不失普遍性

x -axis x 軸
x -coordinate x 坐標
x -intercept x 軸截距

Yang Hui triangle 楊輝三角（形）
y -axis y 軸
y -coordinate y 坐標
y -intercept y 軸截距

zero (1)零；(2)零點
zero matrix 零矩陣
zero vector 零向量，零矢量

HKDSE Practice Paper

2012-01-11T21:39:00.000+08:00

觀乎今日的數學科練習卷 (Practice Paper)，
我嘗試總結一下（當中我嘗試記下一些問法較特別的題目）。

Section A(1)，35 分
Q1 指數定律（3 分）
Q2 主項變換（3 分）
Q3 因式分解（3 分）
Q4 中一百分率(成本 $360，標價八折後仍賺 30%，求標價。（4 分）
Q5 樽和杯的容量比為 4 : 3，若7個樽及9個杯的總容量為11升，求樽的容量。（4 分）
Q6 已知 A(13,157^o)、B (14,247^o) 及 C(15,337^o) 為極座標上的點。
(a) 若 O 為原點，A、O、C 是否共線？試解釋說明。
(b) 求三角形 ABC 的面積。
Q7 圓的幾何特性（4 分）
Q8 直角座標上的點的反射、旋轉及軌跡（5 分）
Q9 (幾盞鬼的一題) 關於 IRQ 最小值及最大值的估算（5 分）

Sect A(2)，35 分
Q10 續多項式（3+3 分）
Q11 變分法（4+2 分）
Q12 D-t Graph 的應用（2+3+2 分）
Q13 統計圖的應用（3+4 分）
Q14 圓的幾何特性 + 座標幾何（2+7 分） <--- 這以往都在會考乙部才出現的。

Sect B，35 分
Q15 標準分的應用（2+2 分）
Q16 排列與組合在概率的應用（2+2 分）
Q17 複數的應用（2+5 分）
Q18 立體圖形的三角學（2+4+2 分）
Q19 G.P （2+10 分）

總結：
Sect B 較以往略淺，Sect A(2) 較以往略深。
單靠以往應付會考數學的策略需稍作調整（例如：時間分配）。
我會於稍後時間在此分享心得。

以下則透露一下首 10 條多項選擇題，
即使今年諗中四，不妨一試身手。

Q1 x³(2x+x) = __________. (展開多項式)
Q2 If 3a + 1 = 3(b-2), then b = __________. (主項變換)
Q3 Factorize p² - q² - p - q. (恒等式 + 併項法)
Q4 If m(x-3)² + n(x+1)² is identical to x² -38x + 41, then m = __________. (代入法)
Q5 If x⁴ - x³ + x² - x + 1 is divided by (x + 2), find the remainder. (餘式定理)

Q6 If the equation 3x²+2kx-k=0 has equal roots, then k = __________. (判別式的應用)
Q7 Find the slope/equation of lines with a given figure...
Q8 Given the graph of y=ax²-2x+b (open downwards, vertex @ 2nd quadrant, -ve y-intercept),
which of the followings is/are true? I. a > 0 II. b<0 III. ab<1
Q9 Solve 4x>x-3 or 3-x<x+7. (聯立不等式)
Q10 John buys a vase for $1600.
He then sells the vase to Susan at a profit of 20%.
At what price should Susan sell the vase to have a profit of 20%? (中一百分率的應用)

內接、外接、外切、內切

2012-01-06T14:27:00.000+08:00

翻看讀書時的筆記，發現自己所畫的內心及外心，
當然也包括圓外接三角形，以及圓內切三角形等...
大家當時怎樣區分「內接」、「外接」、「外切」、「內切」等字眼呢？

這都要由《幾何原本》第IV卷中的定義入手：
1.當一個直線形的各角的頂點分別在另一個直線形的各邊上時，這個直線形叫做「內接」於另一直線形。
2.類似地，當一個圖形的各邊分別經過另一圖形的各角的頂點時，前一個圖形叫做「外接」於後一個圖形。
3.當一個直線形的各角的頂點都在一個圓周上時，這個直線形叫做「內接」於圓。
4.當一個直線形的各邊都切於一個圓時，這個直線形叫做「外切」於圓。
5.類似地，當一個圓在一個圖形內，切於這個圖形的每一邊時，稱這個圓「內切」於這個圖形。
6.當一個圓經過一個圖形的每個角的頂點時，稱這個圓「外接」於這個圖形。
7.當一條線段的兩個端點在圓周上時，則稱這條線段「擬合」於圓。
[來源]

[動手做]
若只能用(無刻度的)直尺及圆規，
1. 如何在一個已知圓內作一個與已知三角形等角的內接三角形？
2. 在一個已知圓外作一個與已知三角形等角的外切三角形。
3. 如何作已知三角形的內切圓？
4. 如何作已知三角形的外接圓？
5. 如何作已知圓的內接正方形？
6. 如何作已知圓的外切正方形？
7. 如何作已知正方形的內切圓？
8. 如何作已知正方形的外接圓？

概率遊戲 Probability Games

2012-01-03T23:14:00.000+08:00

前言：我特別喜歡概率，可能我鍾意玩遊戲的原故。在已知的規則下，我會盡量掌握對自己有利的策略（好勝心？）。到長大後帶領遊戲，也喜歡因應玩家選取的策略臨場改變規則（話事人專利？），令遊戲的過程保持新鮮感及挑戰性。XD

課堂中教師總示範「擲銀(toss a coin)」、「擲骰(roll a dice)」的機會遊戲，
網上資源也倒豐富，向各位推薦這個，
除了像真度不錯，還有往績統計，教師可稍後或順勢引入「期望值(expected value)」。
擲銀（基本玩法／進階玩法）
擲骰（可調較一至三粒骰子）
抽幸運匙（７人輪流抽７條匙，先抽好定後抽好？）

緊記，相關的次數未必跟期望值完全吻合，那只是概率的基本假設（即使你大量試驗）。

當然教師也可介紹一些如Monty Hall Problem的經典題目。如課堂時間許可，我推薦學生欣賞以下動畫，這動畫利用家傳戶曉的故事介紹中學概率，撰寫人之一正是開發小朋友齊打交的朋友。

概率論起源：1654年費馬和巴斯卡在書信中討論「賭局腰斬，如何瓜分賭金」的問題，有些數學史家就把這視作是概率基本原理的開始。例如：擲四個銅錢，出現0、1、2、3、4次正面的情況有多少種？【解：1、4、6、4、1 種（巴斯卡三角的第五列數字！）】

校對問題 Proof-reading Mistakes

2012-01-02T13:39:00.002+08:00

前言：話說在下的姨婆託我批改其孫女上繳JUPAS的文章，我雖然不是教英文科，但其本的文法尚且可以，同時這類文章最重要是流暢，不宜冗長。於是我想起以下概率題目。

[問題]一篇文章，
經 A 校對後發現 a 個錯誤，
經 B 校對後發現 b 個錯誤，
當中有 c 個 A 也發現的錯誤（這裡假設 c < b），
問該篇文章尚有多少個未發現的錯誤？

[分析]
假設該篇文章共有 t 個錯誤，
故 A 應找到全部錯誤的 a/t，
而這個分數應大約等於 c/b。那麼，

a/t = c/b

t = ab/c

所以，尚未發現的錯誤等於 t-a-b+c=(a-c)(b-c)/c

[例]一篇學生文章，
經Miss沈校對後發現20個錯誤，
經李sir校對後發現10個錯誤，
當中有8個沈老師也發現的錯誤，
所以尚未發現的錯誤「應該」等於
(20-8)(10-8)/8 = 3 個
（如是者，應即帶李Sir去驗眼吧...XD）

[來源]
Pólya, G. "Probabilities in Proofreading." Amer. Math. Monthly, 83, 42, 1976.

三角形的心、歐拉線、歐拉圓、費馬點

2012-01-01T16:01:00.000+08:00

關鍵字：外心、內心、垂心、重心、三線共點、歐拉線、費馬點

以下是我很喜歡的自學教材(一)教材(二)，若在課室使用投影機，請確保房間夠暗唷。

此外，對任意三角形，
「三邊的中點」、「三條高線的垂足」及「垂心和三頂點連線的中點」，這九點共圓，這個圓稱為 "九點圓" ，且其半徑為 ½ R (R 為三角形外接圓的半徑)。九點圓亦叫做 :
歐拉圓 (Euler Circle) < 我較喜歡的稱呼~ 龐斯萊圓 (Poncelet Circle) 費爾巴哈圓 (Feuerbach Circle)

此外，不得不提的還有費瑪點(Fermat Point)，費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)本身是一名律師，數學是其業餘的嗜好，話雖如此，他在數學上的成就不比職業數學家差，雖則無「發表」論文，但是他幾乎與同期所有歐洲大數學家保持通信。話說他收到一個問題：

要找出三角形裡最小點的位置，
這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短。

套用今日的情況，如果 M 記要開分店，讓這分店到這三個屋苑(A,B,C)的距離總和是最短，那麼這個位置(F)就叫做費馬點。它的「作圖法」及「幾何證明」是吸引我的地方。

幾何證明本身分2個情況：
(1)三角形全部內角內角都小於120^o　
(2)三角形其中一隻內角不小於120^o
記得以前初初接觸該題目，我竟意想不到情況(2)的出現...Orz

根據情況(1)，用規尺作圖的技巧，
按三角形的邊長作三個等邊三角形。
連接 CC'、BB'、AA'，
則三條線段的交點就是所求的點。

證明步驟
(1)證明 CC'、BB'、AA'三線共點(collinearity)
(2)證明P點的唯一性(uniqueness)
可惜的是，我所用的步驟涉及圓形的定理，若以初中生作對象，使其明白三線共點的證明應十分費時。課時內不易處理（外心、內心、垂心、重心其實也涉及三線共點，但在下即使任教「精英班」，觀其反應，都只能輕輕帶過 Orz），諸位若有什麼更好的視覺證明(visual proof)，請不吝賜教。

教師延伸閱讀：尋找費馬點：從一道數學應用問題談起

數學教師文摘 Maths Teachers' Digest

2012-01-01T15:16:00.000+08:00

故名思義，筆者希望在此收集一些華語的數學教育文章，促進知識的分享及交流，
無論你是數學主修生，有意投身有關數學教育的人、數學教師、數學書編輯、數學教授，
歡迎來郵至 sk2@alumni.cuhk.net。

3 solutions (without word) to a single question

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v12/v12_p58to60.pdf
學術成份不高，但卻是我第一次投稿獲刊登的愉快經驗。
關於無言證明（Proof without word），這裡及那裡都有相當好的例子。
讀者不妨多加發掘。

Chan Yip-Cheung, A geometry problem with different solutions

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v14/16ChanYC.pdf
承上所述，這是用不同方法去處理一道具幾何題目。
我鼓勵投身數學教育的同工嘗試發掘更多「一題多解」的例子。
這麼，你才會不斷發現，數學看上來總可以不一樣。

蕭文強著，「三心兩意」的數學教師

http://hkumath.hku.hk/~mks/09MathsTeacher3h2m.pdf
一位我相當敬佩的數學老師、數學教授，為推動數學及數學教育不遺餘力。

蕭文強著，數學史和數學教育：個人的經驗和看法

http://hkumath.hku.hk/~mks/shortmathhistory_chinese.pdf
節錄自《數學傳播》，原文刊於第16卷第3期（1992），23-29頁。

蕭文強著，概率萬花筒

http://www.edb.gov.hk/FileManager/TC/Content_4957/cabinet%208.pdf
是我當年學概率，令我樂在其中的好好讀物~

黃兆麟著，聽覺學習「不等式」

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v20/10WongSL_hearing.pdf
筆者是我一位大學同學，
由教學實習至入職以來多作嘗試，
我相信同一課題的教學千變萬化，
但不多年輕同工會嘗試分享投稿，
祝願他的教學熱誠與日俱增。

梁子傑著，米凱爾點與垂心

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/content/Edumath/v20/15LeungCK_miquel.pdf
在數學教育界十分活躍，算得上是多產的寫手。
正在教授初中關於「垂心」卻不知所為何事的同工，不妨細看。
（恐怕連教科書的編輯們也未必知為何要教）

梁子傑著，談天說地話數學

http://www.edb.gov.hk/FileManager/SC/Content_4957/cabinet%204.pdf
多產的寫手，其文筆對有恴從事數學教育工作的朋友，相當合脾胃。

張小平，未進過學校的數學天才巴斯卡

數學傳播 32卷2期, pp. 54-61
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d322/32206.pdf

===========================
以下都是我個人好建議有心人定期瀏覽，
持之以恆，你的心性和學養才有進境。

數學教育(EduMath)

http://www.hkame.org.hk/html/modules/tinyd2/
此乃香港數學教育學會出版的刊物，
旨在提供不同崗位數學教育工作者討論的園地，
讓學會內外的資訊得以交流，
數學教育之理念與經驗得以分享。

數學傳播

http://w3.math.sinica.edu.tw/media/default.jsp
此乃台灣中央研究院數學研究所發行出版的刊物，
旨在傳播數學知識，促進數學教育，
內裡也有好多高質素的文章。

數學知識

http://episte.math.ntu.edu.tw/index.htm
中央研究院數學所及台大數學系的合作成果，
媲美香港學生開發的「數學資料庫」。

我的閱讀手記

2011-12-29T15:12:00.001+08:00

評分以☆☆☆為中等，最少為1☆，最多為5☆。

J. L. Lagrange, "Lectures on elementary mathematics (1901)"

網上閱讀：http://www.archive.org/stream/lectureselementa00lagriala#page/n7/mode/2up
正在閱讀中...稍後再寫書評
程度：☆☆☆
趣味性：☆☆
可讀性：☆☆
學術地位：☆☆☆☆
新老師必讀：☆☆☆
隨便問下你：如何判斷7的倍數？

George Pólya, "How to Solve It"

中譯本：G．波利亞，《怎樣解題》
書介(中文)：http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/25.jsp?page=3&id=25
維基簡介(英文)http://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It
我所持的是九章的版本，不過事後也在維基也找到相關重點。
有段日子，我嘗試在課堂鍛鍊某幾個題問技巧，發現相當有用。
至少對自己協助學生審題也頗有幫助。
程度：☆☆☆
趣味性：☆☆
可讀性：☆☆☆
學術地位：☆☆☆☆
新老師必讀：☆☆☆☆☆
隨便問下你：

曹亮吉著，《阿草的數學聖杯：探尋無所不在的胚騰》

天下文化(2003)
http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/39.jsp?page=4&id=39
在大三的時候，受到家鳴教授的推薦而買的，
是其中一本令我喜歡阿草及天下文化的出品。
程度：☆☆
趣味性：☆☆☆☆
可讀性：☆☆☆☆
學術地位：☆☆☆
新老師必讀：☆☆☆☆
隨便問下你：彈琴時兩音合奏，為何有時悅耳，有時卻格格不入？

曹亮吉著，《阿草的歷史故事》

天下文化(2002)
http://www.math.sinica.edu.tw/mrpc_jsp/book/40.jsp?page=5&id=40
趁太太做facial而留在書局看的，
因本身的數學內容在其他地方也讀過，
只用上個半小時便看畢，但過程相當愉快。
程度：☆☆☆
趣味性：☆☆☆☆
可讀性：☆☆☆
學術地位：☆☆☆
新老師必讀：☆☆☆
隨便問下你：為何每年的復活節不在同一天？閏年及閏月等是如何安排的？

C. Adams，J. Hass，A. Thompson, "How to Ace Calculus: the Streetwise Guide"

中譯本：師明睿譯，微積分之屠龍寶刀：笑傲極限、連續、導數、積分法
天下文化(2003)
書介(中文)：http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010214057
當年去台北影結婚相時經 www.books.com.tw 訂的，
連《微積分之倚天寶劍》共一書兩冊（價錢比香港書展價還理想），作者的文筆有別一般寫大眾數學書的人，市井之餘不失數學的味道，好適合作為初接觸（亦只限第一次）微分Differentiation的高中生（甚至自修生）。
程度：☆☆☆
趣味性：☆☆☆
可讀性：☆☆☆☆☆
學術地位：☆☆
新老師必讀：☆☆☆☆
隨便問下你：在大學選修數學，怎樣選你的任教老師？

C. Adams，J. Hass，A. Thompson, "How to Ace the rest of Calculus: the Streetwise Guide"

中譯本：師明睿譯，微積分之倚天寶劍－打遍泰勒級數、多重積分、偏導數、向量微積分
天下文化(2003)
書介(中文)：http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010218232
這書是《微積分之屠龍寶刀》的續集，
內容問於大一下學期及大二上學期微積分的課題：
數（序）列與級數、收斂、極座標、向量、偏導數，及多重積分。
正因如此，對讀了好些微積分的朋友（尤其是non-major Maths的本科生），這本書的內容能令你重燃愛火，雖未必令你更上一層樓，但跟上冊都是很好的備課教材，對數學教育工作者，作者作了一個很好的示範，數學是可以包裝成為濃郁肉湯。[G. Pólya, Ten Commandments for teachers, J. Educ. Fac. & College of UBC. 3(1959), 61-69]
程度：☆☆☆☆
趣味性：☆☆
可讀性：☆☆☆☆
學術地位：☆☆
新老師必讀：☆☆☆☆
隨便問下你：在大學選修數學，期末考會考些什麼？

翁秉仁著，《沒有王者之路：幾何原本》

大塊文化
書介(中文)：http://classicsnow.net/events/n14_n19/n18.html
書名前半句來自所有數學人耳熟能詳的典故：

歐幾里德是古希臘的著名數學家，他編寫了幾何學中很重要的一本著作，書名「幾何原本」。當時的國王托勒密，也經常向他請教數學問題。有一次，國王做一道幾何證明題，接連幾天都沒有做出來，就問歐幾里得，能不能把幾何證明弄得簡單一點。歐幾里得認為國王想投機取巧，於是不客氣的回答說：「陛下，幾何學裡沒有王者之路。」這句話的意思是說，即使你貴為國王，你要學數學，還是得按部就班地來，沒有偷懶方法或是捷徑。

記得我大二已經買了九章出版社的《幾何原本》，
影畢業相也拿它作為手上的道具，話雖如此，
但畢竟自己未有耐性把它完整的讀完，
「知識上知道」它只利用幾條公理，
就能夠推導出好多好多的新定理，
直至有次接觸這書，那時我剛好重新摸熟規尺作圖的各種技巧，
上了年紀，多了些圖畫的表達，
令我較易重新了解《幾何原本》的寫作過程，
即使只是蜻蜓點水的示範，已令我感受到《幾何原本》的威力，
令我重拾動力去再了解好些新但學校不會教的幾何定理，
同時整理自己過往幾何課的教學手法，
無論是老師或學生及大眾都值得接觸的科普讀物。
程度：☆☆
趣味性：☆☆☆☆
可讀性：☆☆☆☆☆
學術地位：☆☆
新老師必讀：☆☆☆

Euclid, "Elements"

中譯本：藍紀正、朱恩寬譯，《歐幾里得幾何原本》，九章出版社，台灣，1992。
網上閱讀（中譯本卷一）：http://www.archive.org/stream/06057513.cn#page/n8/mode/2up
書介(中文)：http://classicsnow.net/events/n14_n19/n18.html
《幾何原本》對數學發展的影響超過任何別的書，它最初是手抄本，以後譯成各種文字，
發行量僅次於《聖經》。中譯本是1607年義大利傳教士利瑪竇和徐光啟，
根據德國人克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾裡得原本》（15卷）合譯的，
定名《幾何原本》，幾何的中文名稱就是由此而得來的。
他們翻譯了前6卷，後9卷由英國人偉烈亞力和中國科學家李善蘭在1857年譯出。
理論上，今日大多數的數學教科書的內容以至演譯手法都依據該書。
不過，該書最初中譯本缺乏圖畫，我也是看九章的中譯本，
輔以英文原版作參詳，但數裡天地網站有很清晰方便的記錄。
參考：《幾何原本》內容簡介
延伸閱讀：康明昌，《「幾何原本」四百年》。數學傳播32卷4期, pp. 16-29。
程度：☆☆☆☆
趣味性：☆☆
可讀性：☆☆☆
學術地位：☆☆☆☆☆
新老師必讀：☆☆

花剌子密立遺囑的故事（連比的應用題）

2011-12-29T01:41:00.001+08:00

題到比和率的運算，
不得不談阿拉伯數學家花剌子密立遺囑的故事，
那時正值他的妻子正懷著第一胎。但好景不常，
在孩子出生前，這位數學家便死了。

（死者已矣，但故事未完唷！）

之後，發生的事更困擾大家，
事關他的妻子幫他生了一對龍鳳胎，
而問題就發生在他的遺囑內容：

如果我親愛的妻子幫我生個兒子，
我的兒子將繼承三分之二的遺產，我的妻子將得三分之一；
如果是生女的，我的妻子將繼承三分之二的遺產，
我的女兒將得三分之一。

當你看完遺囑後，
應該知道他們面對的困擾吧。
如何按數學家的遺囑，
將遺產分給他的妻子、兒子、女兒呢？

思路提示：若 A：B = 2：3 且 B：C = 5：3，如何求 A：B：C？

規尺作圖：導論

2011-12-28T23:23:00.000+08:00

前言：看到香港奧數在數年前引入「規尺作圖」的題目，心裡倒是高興，因為能「做到」這類題目給予很大的滿足吧（也可能自己對這類題目因見識少而有新鮮感，那些年還未掌握箇中技巧而多花好些精力）。於是我找回 5 年前曾撰寫的文章，希望做一些較詳細的紀錄。

「規尺作圖」的每一步驟，只可做以下事情：

(1)兩點間聯一直線；
(2)以一點為圓心，已知長為半徑作圓；
(3)取得兩直線、兩圓或一線一圓的交點。

對於用圓規及直尺的經驗，相信很多同學都曾嘗試繪製等邊三角形或正六邊形吧？Cleave Book裡有好些圖案可供喜歡的朋友發揮創意。如果加埋量角器，要畫出任意正多邊形可謂毫無難度（對n邊形，每隻外角必定是360^o/n吧）。但是在古希臘時代，作圖只使用沒有刻度的直尺（unmarked ruler）和圓規（compass）。目前為止，邊數小於100，可以尺規作圖的正多邊形如下：

3、4、5、6、8、10、12、15、16、17
20、24、30、32、34、40、48、51、60、64
68、80、85、96

亞基米德正是用此幾何技巧，
繪製圓內接和外切正96邊形，
藉其周界的上下限確定圓周長度，
進而得到圓周率介於3.14163及3.14286之間
（準確至小數點後 2 位，都算厲害吧？）

一般而言，只要是有理數，
甚至經過有限次四則運算以及開方得出的數量，
都可以用規尺繪製出來，如 2 的開方，
你可以畫一等腰直角三角形（腰長為1），
斜邊的長度必定是 2 的開方（1.414...）。

我們把這些量叫作『可作圖幾何量』。

希臘人強調作圖只能用直尺圓規，
為什麼要這樣限制呢？有下列三點原因：

1.希臘數學的基本精神，期望用最少假定（定義、公理、公設）演繹最多的定理。對工具上自然也應限制最少的程度。

2.根據＜幾何原本＞對作圖做的公設（1.任何兩點之間可聯一直線；2.直線可任意延長；3.以任何中心任何半徑可作一圓），作圖工具就只能用尺規。而畢氏學派主張圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學中最基本的研究對象，有了尺規，圓和直線已經能夠作出，這些都促使尺規作圖成為金科玉律，流傳至今。

3.柏拉圖主張通過幾何學習達致邏輯思維的訓練，正如體育鍛練體格，運動須受各種規則器械等限制，同樣訓練思維的幾何學也應該對作圖工具有所限制。

訓練邏輯思維為什麼不直接學習邏輯規律而要借助幾何學呢？理由是幾何學能給予人強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中，邏輯的推理和結論還可以通過實際的觀測來驗證，使抽象規律和感性認識結合起來，收到相得益彰之效。兩千多年來的實踐證明，通過幾何學習來培養邏輯思維能力，的確是行之有效的方法。［來源：梁宗巨著，數學歷史典故，九章］

有些問題好像很簡單，但做起來卻很困難，直到一千多年之後才證實無解。最有名要數以下幾何三大難題：

化圓為方：求作一正方形使其面積等於一已知圓
三等分角：把任意角分三等份
倍立方：求作一立方體是其體積是一已知立方體的兩倍

以下軟件可給大家作熱身之用，讀者可直接下載，一試身手。且看能否破解下列問題：

1. 如何繪製45^o、60^o及75^o的銳角？
2. 給予A, B, C 三點（他們不在同一條直線上），
(a) 如何作一直線，使得三點至該直線的距離相等？
(b) 如何作一圓形，使該圓通過該三點？
(c) 如何作一點，使該點與該三點的總距離為最小值？
3. 如何作一三角形ABC，AB = 5，AC = 4，且通過A點之中線等於3？
4. 如何作一三角形ABC，AB = 6，angleACB = 60^o，且通過C點之中線等於5？
5. 給予已知三角形ABC，如何作線段 AB 及 AC 上之兩點 E 及 F，使 EF//BC 且 AE CF？
6. 給予已知一線段，如何平均分三等份？
7. 給予已知一四邊形，如何作一面積相等之三角形？
8. 給予平面上三個圓，如何作一圓與這三圓相切？

Q8 是很有名的「阿波羅尼斯問題」，該3個圖形可以是點、直線或圓

相關書籍推介


相關網站推介
幾何作圖（Lii & Hjr）
http://163.30.150.88/lii/flashMath/diaGraph.htm
這是專為中小學老師設計，我個人最愛它無文字，夠簡潔，教學動畫之中是我至今較喜歡的。

大哉言數（李柏良的網頁）
http://www.mathsgreat.com/const.html
李柏良先生從事教師培訓、視學和課程發展多年，不知他仍否在EDB的數學教育組工作，但毫無疑問，裡面的內容也夠豐富。

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html
拜讀曹老師的「阿草的XXXX」天下文化出品，是我云云數學書中保留較長的系列。撰文時他任教台大數學系，現在應該正享受退休生活。

整除性的檢定 Divisibility Tests

2011-12-22T00:00:00.000+08:00

「2的倍數有何規律？」
「最後個位數字必然是2的倍數囉。」
「咁...4的倍數呢？」
「最後2位數字必然是4的倍數囉。」
「咁...8的倍數呢？」
「最後3位數字必然是3的倍數囉。」
「5的倍數呢？」
「個位數字必然是5或0囉。」

「那麼，7的倍數又有何規律？」
記得我在初中時用的是「截尾法」。對任何數，
(1)先把最尾的個位數字捨去；
(2)將捨去後的數减該數字的兩倍。
重複(1)及(2)，直至你看出它是7的倍数為止。

(截尾法來源：《數：上帝的寵物》，談祥柏著。ISBN：7-5320-4801-2，上海教育出版社，1988，頁4)

以 674253 為例，
把 3 捨去後得 67425 ，減 3 的兩倍後得 67419，
把 9 捨去後得 6742，減 9 的兩倍後得 6724，
把 4 捨去後得 672，減 4 的兩倍後得 664，
把 4 捨去後得 66，減 4 的兩倍後得 58（不是 7 的倍數），
故 674253 不能被 7 整除。

若果該數是1000以下，直接驗算當然較好啦～

分析:
設原數為 A = 10x + y，
截尾後的數為 B = x − 2y。
故此 A - 3B = 7x + 7y，即 A = 7(x+y) + 3B
（若 B 能被 7 整除，則 A 亦能被 7 整除，反之亦然）
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。
至於 11 及 13 的的整除性，
「截尾法」其實也適用（只是尾數分別乘以1及4而已）。

挑戰：
1. 你可以用相同方法（尾數乘以2），來判定其他數字的整除性嗎？
2. 你可以用類似方法，來判定其他數字的整除性嗎？
當然你也可問我「117的倍數有何規律？」，
但「截尾法」恐怕比用正常的除法好不了多少。

=======================
以下談的是其他方法。

「1000以下且是7的倍數有何規律？」

我這裡利用數論的「同餘（congruences）」的引理（lemma）：
(1)若A為7的倍數，則將A加或減7的倍數後，仍為7的倍數。
(2)若A除以7的餘數為k，則將A加或減7的倍數後，則餘數仍為k。

分析:
設原數為 A = 100x + 10y + z，
考慮 B = 2x + 3y + z（即百位乘2，十位乘3，個位乘1，然後相加）
故此 A - B = 98x + 7y，即 A = 7(14x+y) + B
（若 B 能被 7 整除，則 A 亦能被 7 整除，反之亦然）
所以 A 與 B 被 7 除的整除性相同。

以 253 為例，
百位乘2，十位乘3，個位乘1，相加後得 22（不是 7 的倍數），
故 253 不能被 7 整除。

根據引理(2)，253及22除以7的餘數也相同！

「1000以上且是7的倍數有何規律？」

將此數由右而左，每三位數字一組，拆成多個三位數，
再梅花間竹給予正號、負號、正號、負號、...
然後將這三組數相加，如為7的倍數，則原數必為七的倍數。

以 39247852 為例，
考慮 +852-247+039 = 644，
再用上面的方法或直接除 7，禮成！

練習：
546、5934516、3451459802384，哪些是7的倍數？
挑戰：
同學能否模仿上述的方式來找一找：13倍數的判別法？

李柏良先生就整除性於今年八月上載 J.L.Lagrange 的判別法，
我個人覺得有趣，不失作為教師參考。
（但方法容易記錯，老師需要稍加備課，不能隨口就講得流暢）

後記：重新執筆，事緣一次跟小學老師的交流會中，駭然發現連老師也不知道（即不會主動學數也不會做網上搜尋），也在一次聖誕聯歡會跟學生玩「拍７遊戲」（玩法：輪流報數，碰到 7 的倍數或者含 7 的數字就拍手，犯錯者受罰……）時感到懊惱，感覺應有很多人對數學不是望而生畏（那也許是結果），而是不知如何入手，久而久之就敬而遠之。

一則關於摺紙圖樣的問題

2011-12-20T17:49:00.001+08:00

問：一個直立正六角錐體最少要剪開多少條邊，
　　才可拆開立體成摺紙圖樣？【答案：６條】

解：直立正六角錐體有７個面，故最少要有６條接合邊。
　　由於直立正六角錐體共有１２條邊，故只須剪開６條邊。

推廣：一個多面體最少要剪開多少條邊，
　　　才可拆開立體成摺紙圖樣？（答案請以Ｆ、Ｅ表示）

梅氏線、塞瓦點、托勒密定理、西姆松線、巴斯卡線

2011-12-20T14:00:00.000+08:00

梅涅勞斯定理(Menelaus theorem)（梅氏線）
△ABC 的三邊BC、CA、AB 或其延長線上有點P、Q、 R，則P、Q、R 三點共線的充要條件是(AR/RB)(BP/PC)(CQ/QA)=1。

塞瓦定理(Ceva)（塞瓦點）
P、Q、R 為△ABC三邊BC、CA、AB上的點，則AP、BQ、CR 三線共點的充要條件是(AR/RB)(BP/PC)(CQ/QA)=1。

托勒密定理(Ptolemy theorem)
任何圓內接四邊形，其對邊長度的積之和等於其對角線長度的積。

西姆松定理(Simson theorem)（西姆松線）
從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

巴斯卡定理(Pascal theorem)（巴斯卡線）

在圓上分別取六點，
依順時針為A、B、C、C'、B'、A'，且
AB＝AB'與A'B之交點，
AC＝AC'與A'C之交點，
BC＝BC'與B'C之交點，
則AB、BC、AC三點共線。

[其他參考]

給中三同學的校內選拔試

2011-12-07T21:42:00.000+08:00

每年下學期中，都是「培正數學邀請賽」及「香港青少年數學精英選拔賽」的日子，這幾年在選拔的過程都做得好馬虎（係測驗卷揀個高分，上堂有「醒少少」的人做代表），於是我今年下定決心，叫多幾個學生，攪了個校內選拔。

獲邀的學生中有些有上增潤班、公文數之類，但長遠計我也不宜旨意學生有這些「優勢」，事關有這類經驗也不保證這些同學好有數字感，好識睇圖、睇比例，知道點樣按題目要求分CASE……於是我「參考」近兩屆短答題，擬定好些題目，每條附以一些「提示」，作為踏台石，看看哪些比較有做數SENSE，好作選拔，有了名單，之後再做系統化操練。（事關當年我母校的恩師只是一下子俾一大疊奧數 Past Paper…Orz）

給大家試試好些文字題啦！愛數的朋友，且看看你自己的數學有幾靈活。

將1911 寫成兩正整數平方之差。

（提示：恒等式、1911=637x3）

在0 至500之間，只能被奇數整除的

正整數有多少個？（提示：數字性質）

若 n 除以 2004 時的餘數為 1234，

則 2n 除以 2004 時的餘數是多少？

三位正整數之中，數字之和為偶數的三位數（例如: 123、790）

共有多少個？（提示：分別考慮「百位為奇數」及「百位為偶數」）

用1, 2, 3, 4組成一個四位偶數，

若每個數字只可用一次，

問有多少種不同寫法？

若k 個連續數之和為 2010，

求k 的最大可能值。

某中一級補習班中，有10 名學生修讀數學科，12 名學生修讀中文科，13 名學生修讀英文科。已知該補習班共有 23 人，且每人至少修讀以上其中一科，那麼最多有多少名學生修讀了全部三科？（提示：畫圖解題）

邊長為整數的三條邊可以組成多少個

周界為27 的三角形？（提示：設最長的邊為Y）

個人認為，鍾意同數學做朋友的，也應該看數學課外書（或本身有睇開數學書的習慣），但這種人好似買少見少咁…

相似立體 Similar Solids

2011-11-28T00:00:00.000+08:00

題到相似立體，多數同學應記得邊長比、面積比及體積比吧？就是把物件按比例放大 k 倍，長度是原來的 k 倍；面積是原來的 k² 倍；體積是原來的 k³ 倍」（這也解釋 1 m = 100 cm , 1 m² = 10000 cm² , 1 m³ = 1000000 cm³）

這裡不得不欣賞造物主對動物身型的設定。

舉個例，若把恐龍按比例縮縮縮...縮到老鼠咁大，它的腿比老鼠的腿仲要粗，事關腿是用來支持體重，實際上它的腿只需和老鼠相若已足夠它用。或是把老鼠按比例放大後，變成原來的 100 倍，四條腿的橫面便是原來的 10000 倍（即一萬倍），而體積卻是原來的 1000000 倍（即一百萬倍），它的腿每單位面積要承受原來重量的 100 倍。（咪玩啦！莫講話周圍走，連企都有困難。）不難想像，陸上最大動物，理應比海裡的小得多，例如藍鯨在水裡，水可以負擔它的體重。

即便是空中的動物，更不可能過重！若把蝴蝶放大 10 倍，它的體重要增長 1000 倍，而翅膀的面積只增長了 100 倍。這樣，它就是拼命也不能飛了。至於麻雀的翅膀，全身中所佔的比例比昆蟲大得多，但都有重量限制，況且相對較小的身體，卻要為翅膀提供營養也夠困難的。所以，飛鳥就不能很大了。

另一邊廂，哺乳動物也不可能太小，因為要保持體溫。體積相對地小，表面積就相對地大，這樣的小動物，散失溫度是很快的。這怎麼活得了？

［小測試］
參考下列附圖，大家覺得，數學上，它們是相似立體嗎？

(答案放在最後)

(一)

(二)

(三)

上圖的標價合理嗎？

(更想問的是，你會用什麼準則訂價？)

與學生、數學教授、家姐討論這個問題，發現各人的思考方式，所引發的對話(diagolue)都不同，即使我想帶出「(物料)面積之比」、「(容量)體積之比」，其實成本也可是其他線性關係(如 P = A + kB)...所謂「處處留心皆學問」，對老師及學生，培養對生活的觸覺，總會發現這世界數學無處不在。

答案：(一)是、(二)是、(三)否

排列與組合中的分類法（加法法則）

2011-11-25T11:21:00.003+08:00

「排列與組合（Permutation & Combination）」乃新高中數學科新加的課題，網上教材可謂多不勝數，但也有些共通的注意事項。本文希望留下參考資料，讓包括自己在內的教育同工或莘莘學子作預習及溫故知新。

首先，在數學化（Mathematising）的過程中，鼓勵教師依據學生的「經驗」選用相關事例。

例題：

某調查中訪問了 200 人，他們均擁有數碼相機或電子手帳。若有 168 人擁有數碼相機， 97 人擁有電子手帳，該調查有多少名受訪者既擁有數碼相機又擁有電子手帳？
A survey was conducted and 200 people who had digital cameras or PDAs were interviewed. If 168 of them had digital cameras and 97 of them had PDAs, how many interviewees in the survey had both digital cameras and PDAs?

猶記得向學生展示題目，只有少數人很快指出答案，多數同學卻無從入手……我在想，今時今日的電子手帳會否也有攝影功能？雖則今日的學生大多有手機；而且選取的數字也稍為大了些。於是，我改用了以下校園味較重的例子：

中五ｘ班38名學生均有學習小提琴或結他，若有25人學習小提琴，22人學習結他，問中五丁班有多少名學生同時學習小提琴及結他？
All 32 students in S.5A played either violin or guitar. If 25 of them play violin and 15 of them play guitar, how many students play both violin and guitar?

首先，我任教的該班的確有38人，雖不知他們是否喜歡小提琴或結他，但感覺會較埋身而不至於脫離群眾。然後就是拿出耐心和誠意，把他們的方法加以引導和整理，最後畫上兩個部份重疊的圓圈（即venn diagram，不必交代太多，學生好不容易產生內在的思考）作解說，使其掌握「分類法」中涉及的「加法定律（Addition rule）」，以下附上一些簡單例子，相信即是小學生也不難掌握。

某快餐店提供 6款漢堡包和 4 款甜品，問有多少款食物可供選購？【答案：10款】
由灣仔修頓遊樂場往中環皇后像廣場可乘電車（藍線、紫線、綠線及橙線）、港鐵（港島線）、城巴（1、5、11、25、75、97），問有多少種交通工具可供選擇？【答案：10款】
整數1至30裡面，共合有多少個3或4的倍數？（提提同學，整數1至30裡面，3的倍數及4的倍數分別有10個及7個）【答案：15種】

預告：排列與組合中的分步法（乘法法則）

蕭文強：三心兩意的數學教師

2011-10-30T16:30:00.000+08:00

前言：有次星期日準備返教會之際，看到蕭文強教授在「香港公開大學數學教師素養講座」談及數學教師的素養，也應太太的要求，終於找到這條片~

第二部份(9m16s)／第三部份(9m02s)／第四部份(9m07s)／第五部份(9m08s)／第六部份(5m35s)

裡面一句很有意思：教(teach)與學(learn)是一體兩面的。
當然，我也順道找到文字版作為存檔！歡迎轉載。

〔香港公開大學其他短片〕

求積法複習 Revision on Measuration

2011-10-03T12:55:00.000+08:00

正在學習利用 http://docs.google.com 將教學上用開的文件、試算表等放上網，看來效果不錯（犯不著要勞煩學校 IT 組同事要定期更新科組網頁），功能上自然沒有動畫、按鈕，但勝在是免費，不用向微軟繳付高昂的版權費。

數學筆記電子檔 Downloadable Notes (Taiwan Version)

2011-07-01T07:00:00.000+08:00

一、(完整！WORD檔) 小港高中數學科的莊豐收老師，把其第一至四冊複習講義開放給大家參考。
http://teacher.hkhs.kh.edu.tw/harvest/web/news.html
(第二冊第三章檔案有問題，打不開，其他都OK。)

另外逛其他老師的網頁時，發現一句很受用的話。

引用:

來自：這裡。

證嚴上人：制心一處，無事不辦。

人做事的時候，常因為同時有很多事要處理而沒有專一的去做一件事，因此常常導致很多事都無法做好。因此應該排好輕重緩急的順序，一一去做，所有事將可迎刃而解。

二、(完整！PDF檔&WORD檔)<<最推薦這個！寫的超詳細，學生自己看也會懂！>>
另外，建中數學科的林信安老師，也把完整的資優班跟一般教學及複習講義都放在他的網頁上。
網址在：http://math1.ck.tp.edu.tw/林信安/math.htm
關於其上的資料，引述建中數學科的話如下，

引用:

不管你是普通班或者資優班的數學老師，這個網站提供給數學老師非常完整的上課教材。

對於一般高中課程部分，網站提供高三複習講義、分單元章節的課程講義、歷屆指定科考自然組與社會組試題、歷屆學測試題與解答、北區模擬考試題等，這些可以提供上課所需的備課講義與課後的測驗，尤其是當老師在教高三時，需要大量的測驗與複習講義，更是可以從這個網站找到不錯的題目。

特別介紹他的分單元章節的課程講義，林老師將高中數學內容有系統的介紹，非一般講義只是公式重點與練習題而已。

至於在資優數學課程部分，林老師將他在資優班上過的專題課程全部奉獻出來，提供新接資優班的老師一份很好的參考教材，也使不熟悉的老師不會為了專題課程的準備而心慌。

另外，還有下面這個(也是超推薦！完整！WORD檔)

http://math1.ck.tp.edu.tw/課程與延伸/課內教材/課內教材.html

三、雄中蔡宗龍老師的上課教材(完整！WORD檔。可是目前網站掛點中‧‧‧)在
http://web.kshs.kh.edu.tw/math/tsai/lecturenote1.html
蔡宗龍老師有綜合各家版本的例題，感覺也很不錯。

其他網友幫忙備份的版本：
一上
1-1-1　1-1-2　1-1-3
1-2-1　1-2-2　1-2-3　1-2-4
1-3-1　1-3-2　1-3-3
1-4-1　1-4-2　1-4-3　1-4-4　1-4-5　1-4-6
一下
2-1-1　2-1-2　2-1-3　2-1-4　2-1-5
2-2-1　2-2-3　2-2-4　2-2-5
2-3-1　2-3-2　2-3-3　2-3-4　2-3-5　2-3-6　2-3-7
二上
3-1-1　3-1-2　3-1-3　3-1-4
3-2-1　3-2-2　3-2-3　3-2-4　3-2-5
3-3-1　3-3-2　3-3-3
3-4-1　3-4-2　3-4-3　3-4-4
二下
4-1-1　4-1-2　4-1-3　4-1-4
4-2-1　4-2-2　4-2-3　4-2-4　4-2-5
4-3-1　4-3-2　4-3-3

四、 (完整！PDF檔)中一中李吉彬老師的一到六冊講義
在 http://www.binglee.idv.tw/xoops/ (WORD檔。目前該連結好像有問題＝＝)
or http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2007/02/blog-post_1517.html

重點整理式的編排。

高一上　第一冊：第一章第二章第三章第四章
高一下　第二冊：第一章第二章第三章
高二上　第三冊：第一章第二章第三章第四章
高二下　第四冊：第一章第二章第三章

or

第一冊: 集合邏輯函數, 數與坐標, 數列級數, 多項式
第二冊: 指數對數, 三角函數(1), 三角函數(2)
第三冊: 平面向量, 空間向量, 方程組與行列式, 圓與球
第四冊: 圓錐曲線, 排列組合, 機率統計(1)
第五冊: 機率統計(2), 平移旋轉, 矩陣, 不等式
第六冊: 極限, 高中微積分

另外，推薦李吉彬老師寫的＂換一半公式的介紹與證明＂。

五、 (完整！FlashPaper檔)高雄市中正高工進修學校教師福氣老師的
重點整理&講義： http://www.ccvs.kh.edu.tw/teachers/fuchi/high101.html ( FlashPaper 檔案，感覺很不錯：P)
影音教學： http://www.ccvs.kh.edu.tw/teachers/fuchi/high102.html (適合學生)
一大堆資料： http://home.so-net.net.tw/cfc21/

六、(完整！PDF檔)HiNET 名師學院：　http://eteacher.elearn.hinet.net/course_senior.jsp?sbj=hm#hm
可以下載的講義裡面包含了重點整理與不少精彩好題

七、建中數學科文士豪老師的高三總複習教材(WORD檔)
http://math1.ck.tp.edu.tw/文士豪/review3.htm
只有部分內容，不過內容依然值得咀嚼。

八、楊梅高中許技江老師的講義，雖然只有部分內容。(WORD檔)
http://teach.ymhs.tyc.edu.tw/t1086/Resource/index.htm

九、建中數學科李曜進老師的講義，只有部分內容，仍然值得參考。(WORD檔)
http://203.64.26.199/李躍進/WORD講義.htm

九、臺北縣立三民高中　數學科的講義(完整！WORD檔。可是目前網頁掛點中‧‧‧)
http://www.smsh.tpc.edu.tw/course/high/math/web/
有一～四冊及數學甲、乙，公式加題目。題目跟公式都選的不錯。

十、(完整！HTML網頁。)高中數學重要公式整理
http://content.edu.tw/senior/math/tn_t2/formula_web/index.htm
最早我是在教育部的學習加油站看到這網頁的連結，台南二中數學科製作的重點公式整理，非常方便。

十一、(完整！WORD檔)大陸的資料，高中數學總複習之基礎知識要點共14章
http://www.so138.com/sov/95657891-588b-4721-a71a-4da3077ddbd5.html

內容簡介：
高中數學總複習之基礎知識要點(共14章)
01--知識要點：高三數學總複習—集合.doc
02--知識要點：高三數學總複習—函數.doc
03--知識要點：高三數學總複習—數列.doc
04--知識要點：高三數學總複習—三角函數.doc
05--知識要點：高三數學總複習—向量.doc
06--知識要點：高三數學總複習—不等式.doc
07--知識要點：高三數學總複習—直線和圓的方程.doc
08--知識要點：高三數學總複習—圓錐曲線方程.doc
09--知識要點：高三數學總複習—立體幾何.doc
10--知識要點：高三數總總複習—排列組合.doc
11--知識要點：高三數學總複習—概率.doc
12--知識要點：高三數學總複習—極限（實驗修訂）.doc
13--知識要點：高三數學總複習—導數（實驗修訂版）.doc
14--知識要點：高三數學總複習—複數（實驗修訂版）.doc

十二、(完整！PDF檔)中一中，賴瑞楓老師的教學講義<<超推薦！>>
http://jflaith.myweb.hinet.net/book.htm
or http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/book.htm
or http://juifenglai.googlepages.com/e5.htm

賴老師的網頁
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai
or http://jflaith.myweb.hinet.net/
or http://jflai.blogspot.com/

裡面的技術交流區，還有賴老師的多年心得。一般電腦的中文字體都內定為12號字體，用在講義或考捲上感覺稍微小一些，如果將其放大116%，將A4變成B4，則字體大小剛好。又A4紙張大小剛好，底稿保存方便，易於收藏整理。　

十三、高雄女中，廖瑞鰲老師的網站，適合用 FireFox 瀏覽。(PDF檔)

完整，但是量少，且是以題目為主，加上一些些主要重點的複習，用 FireFox 才好看到 pdf 檔的連結。

http://home.so-net.net.tw/kunglieh/

十四、萬芳高中數學領域教學網，題庫資源 → → 裡面的分冊講義(WORD檔)
http://tea.wfsh.tp.edu.tw/s-math/exam/

題目式的引導，沒有太多教學式的敘述，以題目引導觀念。

第一冊講義

第二冊講義	第一章a	第一章b	第二章a	第二章b
	第三章	第二冊全	第二冊全解答

第三冊講義

第四冊講義	第一章	第一章龍騰版	第二章
	第三章	第三四章龍騰版

第五冊講義

第六冊講義好像還沒有建構好‧‧‧

十五、某網路上碰巧看到的複習講義，好像還沒有編完滴樣子！＝＝
01基礎概念
02數系
03數列與級數
04多項式
05指數與對數
06三角函數的基本概念

十六、開南商工，共同科目，數學科，綜高科，數學重點整理(WORD檔)
綜高科重點集錦

一、數論	二、數列與級數
三、多項式	四、指數與對數
五、三角函數	六、平面向量
七、空間向量	八、圓與球面
九、圓錐曲線

十七、光華女中數學科，數學教學講義，目前只有第一冊完成。(WORD檔)
http://www.khgs.tn.edu.tw/teach_res/highmath/

十八、曾文農工，數學科的講義，目前只有第一冊(WORD檔)
http://210.59.17.1/math/
http://210.59.17.1/math/book.htm

十九、高雄縣立文山高中　吳安樂老師的進度及複習講義(完整，PDF檔，題目為主。)
http://www.wsm.ks.edu.tw/teacher_web/wu/senior/senior.html

二十、高中數學常用公式與常用結論(簡體字的資料)
利用 google 搜尋

二十一、建中數學科　陳嘯虎老師　的重點整理及習題含祥解(完整！PDF檔！推薦！)
http://math1.ck.tp.edu.tw/陳嘯虎/teach.html

二十二、國立鳳山高中的補充教材與複習教材
（補充教材1~4冊皆連不上，但複習教材與高三補充教材可以下載）
有簡單的重點整理與題目蒐集
http://web4.fssh.khc.edu.tw/course/mat/content.htm

二十三、台北市立麗山高中數學科的教材庫
有一些單元的 PDF or WORD版本的教學講義以及練習試題，沒有很完整
http://pc11.lssh.tp.edu.tw/finaldown/hits.php?kid=15

裡面有一份【資優數學補充教材】，蠻有趣的內容。

其他資料：

一、許志農老師的網站上有非常豐富的資料！！！
適合對數學有興趣的人！！ ^__^
http://math.ntnu.edu.tw/~maco/arith.htm
http://math.ntnu.edu.tw/~maco/talks.htm

二、高中數學競試試題選！對於數學競賽有興趣的人，推薦！
http://www.math.ncu.edu.tw/resource/teach/chen/test.html

三、考高中教甄的書推薦清單。
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=27523

四、由治平高中數學科教師趙文煜老師

所設的老趙的數學園地裡面的老趙的數學園地 ─ 數學題庫

蒐集有歷屆指考(聯考)、學測(推甄)、 IMO 及各數學競賽試題，題目蒐集的很新。

很多考古題，很推薦！

五、大陸數學網站【高中數學網】( http://www.gzmath.com ) 含有豐富相關教材與文章。

其中的高中數學解題的思維策略列舉不少高中數學解題的思維技巧，十分推薦！

還有橢圓與雙曲線的經典性質50條也很值得參考！

六、教育部的銜接高中數學課程教材（94年版）
http://www.math.ccu.edu.tw/chinese/94sutdy/20050526/index.htm

七、大安高工老師架設的 Infomath 資訊網
http://www.infomath.idv.tw/

八、高中教師甄試數學科考古題
http://mymigo.myweb.hinet.net/

作者很好心的放上的部份題目跟答案以供練習。

九、全國教師會的高中職教甄考古題讀書交流區
http://forum.nta.org.tw/examservice/forumdisplay.php?f=24

有不少考古題，且有很多熱心的老師一起討論、提供多種解法、想法。

十、國立高雄大學應用數學系　南區高中學生數學科學研究人才培育計畫　的講義資料
http://www.math.nuk.edu.tw/senior/speech.htm

十一、環球城市數學競賽(International Mathematics TOURNAMENT of The TOWNS)　考古題
http://ccmef.chiuchang.com.tw/info/intermath/intermath.html

十二、How to Solve Problems and other documents.
http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/club.php

十三、中山大學應用數學系，雙週一題　網路數學問題徵答
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/

適合給高中生腦力激盪，幾乎都是高中生就可以做得出來的題目。

十四、Art of Problem Solving Forum (推薦！)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/index.php

十五、亞太數學暨國際數學奧林匹亞的參考資料，裡面有很多很棒的資料喔！
http://www3.stat.sinica.edu.tw/olympiad/question.htm
or 利用 google 的 site 指令搜尋參考資料

十六、中學數學挑戰徵答(很可惜只有 1997 年度而已)
http://www.math.ntnu.edu.tw/solution/solution.html

十七、 MathPalyer 的狂想世界─精選試題
http://blog.udn.com/Mathplayer/article?f_ART_CATE=93806

十八、 YLL 數學討論區
http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/index.php

十九、樑子傑網上文集（香港的中學數學教師，教材篇很不錯，帶有大量數學史的資料。）
http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/

二十、MathLinks EveryOne 論壇
http://www.mathlinks.ro/Forum/index.php?f=214

二十一、高雄中學數學科，學測、指考、TRML 的歷屆試題收集
http://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam.htm

PuzzleMaker

2011-06-20T16:00:00.001+08:00

前言：好不容易把手上的試卷給批改了（合格率如何？不敢想像家長日聲淚俱下的場面），其實整個學年也忙得很，不過趁有空，希望做一些對自己或教學同工有用的材料。

暑假後又是新學年開始，有否擔心中一新生的英文水平應付不了（要是貴校以英語授課）？算啦，你擔心也要上班唷。這裡要介紹名為 PuzzleMaker 的網站。我嘗試根據香港中一上學期的幾節課做了以下好些填字拼圖，偶爾放在工作紙裡面倒也不錯。同工們覺得有用的，不妨直接取用或自行創作吧。（以下是我曾用過的Keyword~）

KEYWORD: heptagon, hexagon, nonagon, octagon, pentagon, polygon

KEYWORD: add, answer, bracket, difference, divide, equal, multiply, product, quotient, subtract, sum

KEYWORD: circle, kite, rectangle, rhombus, square, trapezium

KEYWORD: duration, height, length, price, speed, temperature, weight, width

KEYWORD: arithmetic, Fibonacci, formula, geometric, negative, positive, sequence, square,substitution, term, triangular

KEYWORD: acute, angle, circle, classify, construct, curve, degree, draw, find, line, measure, minute, obtuse, plane, point, protractor, put, ray, read, reflex, right, round, second, straight

KEYWORD: cone, cube, cuboid, cylinder, prism, pyramid, solid, sphere

KEYWORD: equation, root, setup, solution, solve, unknown

密鋪欣賞 Tesellation

2010-11-18T22:00:00.000+08:00

前言
來源不詳，但應該比教科書更加悅目吧？

能把圖形沒有重疊、沒有空隙的鋪在平面上，便是密鋪。

問題：哪些幾何圖形能夠單獨密鋪呢？(答案在下面)

密鋪圖形可以有無窮變化，只要悉心設計，
可以得出很多美麗圖案，最常見到的便是地磚。
（見下圖，謹向那些鋪路工人致敬！）

　

除了用正多邊形密鋪平面外，也可用一些有趣圖案來密鋪平面。
箇中奧妙就是懂得應用「平移」、「旋轉」及「反射」原理。

純粹用平移原理，不妨試試自行設計，方法如下：

剪一個長方形或正方形；
在圖形的左面剪出一小部份，把它貼在圖形的右面；
又在圖形的上面剪出一小部份，把它貼在圖形的下面；
把這個新圖案不斷複印，獨一無二的密鋪圖形便大功告成 ^.^

註：同樣的方法可用在三角形上架，大家不妨用這個JAVA軟件動手試試。

不得不提，當然是要介紹荷蘭畫家 M.C. Escher的傑作，包括一系列不可能的建築，以及轉變中的圖形，前者像是〈Ascending and Descending〉、〈Relativity〉，後者像是〈Sky and Water〉、〈Reptiles〉。去片~

其畫功是否很出神入化呢？
若嫌上面的JAVA軟件太普通，不妨再試這個，那蠻好玩的。

延伸閱讀：
鋪磚在建築的應用
http://www.mcescher.com/
密鋪的數學

問題答案：
所有三角形、四邊形和正六邊形都可以密鋪。
正五邊形和正八邊形就不能密鋪。

因式分解 Factorization

2010-10-11T18:00:00.000+08:00

R：「激氣啊！批改了 n 份家課，不少學生還是把 a² - b² 寫成(a - b)²...」
S：「你能收齊家課，實屬萬幸...」
R：「......」

一般中二時教授的因式分解（Factorization），
那時只感覺把累贅冗長的多項式逐步還原，
就像把以前「多項式乘法」個答案還原一樣。

R：「到底做這類題目有什麼要注意架？」
S：「嘿嘿，等我傳授你『因式分解三大絕招』啦！」

絕招一　簡易因式分解
　　　　　　即抽負號　(當所有項都是負 / 減數)　　　　　詳見：Q2,
　　　　　　　　數字　(即是最大公因數)　　　　　　　　詳見：Q1, 4
　　　　　　　　字母　(即是公因式，留心其指數)　　　　詳見：Q3, 4
　　　　　　　　括號　(括號是提示，不要立刻拆)　　　　詳見：Q5

絕招二　併項法　　　　(首先要做好配對，小心抽負步驟)　詳見：Q6,7

絕招三　利用恆等式　　(先做降冪序！頭尾都是括號完全平方) 　詳見：Q8,9.10

R：「抽負號...抽數字...抽字母...好複雜哩~」
S：「行動最實際，或許你試做下面的習題啦~」
R：「......好啦」

程度一（限時：20分鐘）
1.　6 + 15a
2.　-20w - 10
3.　m + 8m²
4.　8b²c + 16ab - 32ab²
5.　6d(e+f) - 3d(e+f)² + 9d²(e+f)
6.　2a + ac + 2b + bc （網上練習）
7.　2a³ - 3b²c + 2ab² - 3a²c
8.　1 - 4y²
9.　x² + 12xy + 36y²
10.　36m² - 60mn + 25n²提示：36m² = (___)²/ 25n² = (___)²

程度二（限時：10分鐘）
11.　2s² - 50t²
12.　16y² - 4 z²
13.　1 - (a-b)²
14.　(x-2y)²-(2x-2y)²
15.　(x²+2x+1)+xy+y

R：「利用恒等式...如果我班化骨龍肯背熟果三條恒等方式就好啦」
S：「且慢...如果見到像上面Q9, Q10的情況，看看下面的做法是否有用」

x² + 12xy + 36y²
= x² + 6xy + 6xy + 36y²
= x(x + 6y) + 6y(x + 6y)
=______

36m² - 60mn + 25n²
= 36m² - 30mn - 30mn + 25n²
= 6m(6m - 5n) - 5n(6m - 5n)
=______

R：「哦.....用併項法！好犀利啊 Orz」
(趁 R 想得入神，S 於是匆忙行開了)

學數心得（2010 年簡易版）

2010-07-24T13:00:00.001+08:00

今個學年太忙了，「學數心得」系列暫時擱置。
（其實係我沒向學生要求去寫）

不過也從自己的資料庫中，找回一個很久寫落的簡易版。
（下面是大綱，不失為數學同工在開課日使用）

趣味數學書（轉載自阿湯電視）

2010-07-23T00:48:00.002+08:00

打從四年前應有線邀請接受訪問，自言不擅面對鏡頭，故這 blog 在視訊方面一向都以搜集為主，但心想若有老師現身說法（例如做些書籍介紹），那就太好啦。

這是頗新的資訊，我個人特別喜歡阿湯在 2:50 中提到那三本天下文化出版社的「從...看數學」的系列！湯副校，支持你~

橙汁的故事

2010-07-20T23:00:00.004+08:00

(那是半年多前的一則小事了...)

有次約母親食飯，餐飲點了杯橙汁。
橙汁來了，忘了對話如何引發，
母親除不自覺應用了「均衡橫切面」的特性，
但最後竟啟發我有以下的「守衡」發現。

教師研習

2010-07-15T23:00:00.001+08:00

找來了某次上教學分享時所用的匯集檔，
希望對來年新入職的數學老師有用。

會考數學攻略

2010-03-14T13:00:00.005+08:00

（以下經驗，說了多遍，還是要說）

本文以會考數學科奪 C 為討論前題。

（你肯用上網做學習，心態和數理能力一定不會太差)

數學分為「剪裁課程」和「整體課程」，文科生讀好前者，必定及格。
若果你語文欠佳，又想會考最少有 14 分，你的數學科最好有Ｃ。
而且數學科取 Pass/Credit 的百分比，無論男女，
無論是否日校生，皆比中英兩科高得多！（見附件頁5）。

考試形式
卷一考試時間：08:30-10:30
　　　　甲一：佔 33 分，七至八題（限時約 25 分鐘）；
　　　　甲二：佔 33 分，三至五題（限時約 30 分鐘）；
　　　　乙部：佔 33 分，四題選三題（3 分鐘內選好做哪三題！）；
全卷滿分為 99 分，要取得 C，
最少要得 65 分（合格分約 35 分，另假設卷二也達標）
卷二考試時間：11:15-12:45
　　　　甲部：佔 36 分，剪裁課程；
　　　　乙部：佔 18 分，整體課程；
全卷滿分為 54 分，要取得 C，
最少要得 38 分（合格分約 25 分，另假設卷一也達標）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分數指標以 CE2009 作參考

會考前倒數
（一個月前）
●　做歷屆試題，須先溫後做，別邊溫邊做（當考試一樣限時）

●　做溫習時把題目分類，方便重溫：
　　→看答案才明白的題目(綠筆打剔)
　　→看答案都不明的題目(紅筆圈起)

●　作答卷一時，見到「Write down…」，
　　同學無需列寫演算步驟，以免浪費時間
　　（試題中有極多常見字眼，當中暗示你應用指定方法，盡量記）

●　溫 MC 時很多題目可借圓規、量角器按比例作圖解題

●　卷一乙部３大熱門課題
　　Co-Geometry (Circle)
　　Probability & Statistics
　　3-D Application (Trigonometry)

●　卷二３大熱門課題（佔約一半題目）
　　Co-geometry (circles/triangles)
　　Measuration & Area/Volume
　　Trigonometry

（一星期前）
●　較好生理時鐘，溫唔夠好過瞓唔夠
●　今天考完一科，別理結果，收拾心情準備另一科
●　確保八達通及零錢充足，慎防天氣影響交通
●　預備熟用的計算機兩部，常用的原子筆、鉛芯筆各兩支
●　塗改液不建議用，用了可能忘記作答
●　避免在試場著凉，背包常備小外套

（當日）
●　找個往同一試場的伴食個靚早餐，既有人陪又可放鬆心情
　　但吃早餐時不要再討論數學，以免更加緊張

●　卷一宜計劃一下自己怎樣分配作答時間，夠鐘就要轉題目。
　　涉及 fraction 的步驟宜用兩行，正楷字比潦草字令閱卷員睇得舒服。
　　完卷前 5 分鐘別做新題目。應覆查自己的答案/單位/塗改未寫的地方。
　　能力較弱的考生應全力做好甲部。
　　很多人只會話自己大意但事後無警愓，警覺性不足！
　　我有個學生用計數機把 15x27 看作 17x25 而不察覺

●　卷二要快做，別期望有時間覆卷。
　　若未看出答案，應剔除去肯定錯的答案（或打星號留空，但別太多）。
　　通常頭幾題數期望學生很快做到，別以為時間充裕。
　　乙部試先答自己溫習時有把握的課題。
　　完卷前，確保無空格，試填你認為最好的答案。

勸勉大家：「一係咪去報考，一考就要做到最好！」

推薦網站：會考數學溫習室
內含 CASIO fx-3650P程式、近 10 年MC詳解、初中數學重溫等

學生評語

2009-08-20T18:00:00.001+08:00

正在構思一些給學生堂課、工作紙的「四字評語」，
原則是點到即止，不偏不倚，如實反映，
希望學生感覺到老師的心意！

開始做數、太慢了吧、別放棄啊
再接再厲、再下一城、加油加油
略有小成、快完成啦、快一半啦
最後衝刺、難不到你、只餘少許

大家還想到其他嗎？

馮．諾伊曼﹝John Von Neumann）

2009-08-13T08:00:00.006+08:00

前言
當下失眠，用了近兩小時整理這網誌，以文字為記，
希望自己，以及各位數學老師今天不會，將來也不會。
（可能我已經係咁，不過大家錫住我，唔當面踢爆啫）

話說有位數學老師，講完一堂微積分後，有個學生走來問他：

「阿 sir，你最後o係黑板上那條問題，我唔係好明你點計 wor~」
這位老師於是轉頭盯著黑板上那個問題，看了約一分鐘，然後答：

「e^x。」這位學生聽了也不明白，於是再問：

「我知呢個係正確答案。阿 sir，我係唔明條數係點計出黎啫~」
這位老師轉而盯住這位學生一會兒，若有所思，然後移開視線，然後答：

「e^x。」這位學生開始失去耐性：

「但阿 sir 你都無話我知，你係點攞到個答案囉~」
這位老師把頭轉向她，神情嚴肅的答：

「同學，你到底想我點啊？我唔係用左兩種方法話你知點計咩？」

啟發
很多時候，老師未必憶起想當年自己做學生，學習有關課題的情況。
今日學生視作來自火星的數學，對老師昔日可以是美味的咖哩魚蛋。
加上老師面對教改，加上老師隔足一年，一次又一次教授同樣課題，
老師根本不易理解，何解學生仍然「唔係好明」。

以上聞說是博奕論（game theory）開山祖師的馮．諾伊曼﹝John Von Neumann，1903-1957）的課堂逸事。生於匈牙利，成名於美國，化學工程師出身，但期間自學數學，23歲取得博士學位。先後在柏林大學和漢堡大學任教，23歲成為普林斯頓高等研究所的終身教授。

從生卒年份，可知 Von Neumann 少年時正值戰亂。

聞說二次大戰期間，他擔任製造原子彈的顧問，為原子彈的設計方案提出許多重要建議，又於1944年參與世上首部電子計算機的設計及開發。雖然我極之反對用大殺傷力武器去制止戰爭，但電子計算機的發明破解大量納粹德軍機密，在結束歐洲戰事上，應記一功。同年他與奧斯卡．摩根斯坦（Oskar Morgenstern）合著的《博奕論與經濟行為》（The Theory of Games and Economic Behavior），亦奠定他們在經濟學的江湖地位。

傑出貢獻背後也少不了其過人才能，以下故事略見一斑。

在一次雞尾酒會裡，有人問他：「已知家明及婉君相距20km，雙雙以時速10km/hr 迎面而來。若有一隻小蜜蜂由家明飛向婉君，再飛回家明，來來回回直至他們相遇，如果蜜蜂飛行時速為15km/hr，問牠來來回回總共飛了多少 km？」

「答案咪係15km。」Von Neumann 思索片刻便指出正確答案。

見到他答得快而準，提問者遂而指出：「一般人知道每一次來回的距離愈來愈短，是等比數列，答案涉及無窮級數求和的方法（當時這可算是複雜數學，豈知今天只是會考程度的課題？）。許多人試圖用複雜的方法求解這道題目，但不知道『那二人一小時後相遇，而蜜蜂一小時飛 15km，要求的答案是 15km』的簡單道理，絕大多數數學家總忽略能解決這個問題的簡單方法。」

提問者以為 Von Neumann 準是知道這簡單方法，然而 Von Neumann 卻是語出驚人：「其實，我真係你講個種，用無窮級數求和的方法計算答案。」

後記
就第一個故事，對老師對學生對課題當然可有深不見底的反省，
不過若上堂前學生能做預習，而堂上卻無法聽明課題，
那問題多數在於老師。(總之記住要做足預習~)

斐波那契（Fibonacci）

2009-07-15T22:00:00.000+08:00

前言
得悉來年空降，任教中一，故嘗試更新手上的教學資源。
今次選上的是梁子傑老師早年製作有關斐波那契（Fibonacci）的介紹。
只是「兔子問題」我轉用 Miffy，學生會喜歡吧？
背景用剩色的版面則為配合我用黑板教學。
（有些學校用投影片時要拉屏幕，結果大半個黑板被遮掩而不能用吧？）

考慮到學生的學習差異，故我把其他有關的例子放在下面，
作為課後延伸或學會探究活動，未嘗不可。

註：出現黑色背景時，教師可拉起投影屏幕，
先著學生分組討論，後用 chalk & talk 記下學生討論結果。

補充資料：植物的數學奇趣（香港討論區）

不一樣的老師？

2009-06-25T21:00:00.000+08:00

看過一位學生描寫教她數學科的班主任，感慨萬分。
跟這位老師相比，我的學生連六四事件也不能跟我對嘴，
學生成績下滑帶來的憂心教我笑不下去，
在公眾地方也不再那麼隨便放聲大笑，
問數既人也少了（正確的說法是嫌太少），
我把口也愈來愈尖酸刻薄！愈來愈現實！
對人也不輕易賣帳。只消三年，我竟變成這樣子？

作文日期：2006-03-24

在學校，老師的地位好像永遠比學生高一等，因為老師是長輩，所以他們也擺出長輩的樣子，比如很嚴肅，或者滿腹處世經緯似的。這一套方式對學生來說並不管用，造成學生和老師之間的距離。

班主任卻是另一種人，他的年齡跟同學相差少於十年，可謂大家活在同一個年代，沒有代溝。班主任永遠不會擺出一副高高在上的樣子，大家最記得的一定是他燦爛的笑容，像陽光般能暖化人心的微笑，笑起來還挺可愛。老師是位十分有風度的男士，無論你是男或女，他總會用禮貌地跟大家談話，而且處處顯露出關心。

老師每每在「公眾地方」出現，例如梯間、操場、走廊，都會引來一大群同學圍著他，儘管他沒有太多時間，他仍會不厭其煩地為同學講解，解答同學的問題，為同學分擔煩惱。記得有一堂課，同學們吵得無法上課，他表現得有點生氣，他仍然以學生為大前提，他說：「我很不開心。」，同學們安靜下來，老師繼續說：「我不開心，是因為部分同學不懂，又不聽講解，回到家裏又不會做功課，測驗不及格時，又會感到悶悶不樂。因為你們不開心，所以我更不開心。」聽完他的一番話，不少同學都很感動，哪會有一個老師以學生的情緒為先？哪個老師會在你難過的時候，陪你一起難過？

那一天放學的時候，和同學二人一起到教員室找班主任，老師坐在近門口的位置，一聽到同學的呼喚聲，他掛著招牌的笑容走出來，那個像溫泉水的笑容讓人一下子放鬆起來。老師是個數學高手，我和同學都來問他數學習題的。「老師，您可不可以簡介一下《幾何原本》？」我們問。老師說：「基本上，《幾何原本》是．．．我可以上網找一找資料給你們。」說完，老師轉身為我們搜集資料，不一會兒，他已經把資料列印出來。然後他繼續教我們數學習題，有時他會笑一笑，說：「數學只是生命的一部分。」大家馬上聯想到下一句：數學卻是不可缺少的一部分。「老師，你今日好惡哦！」我笑著說。「嘿，今天有幾個學生不專心...」我們從來不怕說真心話，不用拘泥於師生關係。他會滔滔不絕地說很多話，像一個很熟悉的知己般，而且毫無保留地教導學生。

老師真是一個很好的人，除了好外，實在找不到別個更貼切的形容詞。他會在你失落的時候開解你，在你成功的時候讚揚你，當別人對你的才幹顯出不屑的時候，唯獨他會欣賞你，他會讓你重拾自信。讀了這麼多年書，終於遇上一個不一樣的老師，用心去對待學生的老師。

文中所指，我感覺那更似另一位同事。

圓周率 Pi

2009-05-14T22:00:00.005+08:00

第三度構思《面積和體積》中有關圓周率的課題，
考慮到有學生已經學過，
是故我用下面的powerpoint邀請全班學生試答，
學生反應也出奇地理想。
（至少他們知我有備足課）
各位同工，不妨就個人的教學風格，加以利用吧，另外也做了這份筆記。
（不過因近期擬卷工作頻繁，我打算稍後才向學生派發，作為增潤）

各部位名稱
O ＝圓心,
AB ＝弦,
OM ＝弦心距，
CO＝弧，
∠COD＝圓心角，
∠CED＝圓周角，
PQ＝過P點之切線

每道題，學生「自然」會問各個選項的意思，我遂其所願，娓娓道來。
（講「掌故」也得留意學生的精神狀態，一切點到即止，甚至欲言又止，哈）

下回分享：圓面積的計算

博奕論趣談

2009-05-08T13:00:00.001+08:00

有幸跟一班中六的年輕人去港大聽講座，是關於博奕論中的 Zermelo's Theorem (策墨羅定理)：

兩個對奕的玩家輪流下子，若無隱瞞情報，
而遊戲在有限步結束時又沒有和局，
則其中一方有必勝策略。

兩小時的全英語演講，加事後一小時的體驗式對奕，看到大家由被動到認真思考，心裡感到無限欣慰，哈。裡面就我們一些兒時打井、對奕等簡單遊戲有以下提問(我嘗試翻譯一下啦)：

一個遊戲能否出現和局？
若不，其中一方可有必勝策略？
那麼，是先下手為強，還是後者？
最後，那個必勝策略的原則又是什麼？

用這個遊戲試試看啦！那是博奕論大師 John NASH 20歲時，
在普林斯頓大學攻讀博士期間發明的玩意。

筆記下載[PDF]

歡迎提問、留言，我樂意稍後回應。

cos 62.4o = ???

2009-04-22T21:30:00.004+08:00

前言
這原本是我於 2007 年撰寫的一段文章，今次我加插一個自製的對數表。

好不容易，終於找回這個，相信生於 1980 年或以前的人，多少對昔日的數學課多有回憶吧？封面以維港作為背景（天星碼頭更清晰可見），我跟學生講：「這本對數表是我學數的回憶，請好好傳閱（circulate with care）」但諷刺的，是我們的當權者寧可執行「合約」，也不願意保存我們引以為傲的維港景觀...

從學數的觀點，我覺得「學習數學」與「學習歷史」密不可分，至少從操作上，讓學生明白昔日一道簡單如「cos62.4^o + sin19.7^o = ???」的算術題，已經殊不簡單吧？

「HOW do you find the value of cos62.4^o in 1971?」我在黑板上寫道。

掀到「餘弦」那一頁，由左邊第一欄開始搜索...

找到啦，答案是 cos 62.4^o = 0.4633，厲害嗎？

學數心得（08093A44）

2009-04-15T22:44:00.000+08:00

首先，學好數學學好其他科有什麽分別呢？數學與其他科不同之處就是要學好數學一定要明白當中的方法。而其他科例如：中史、西史，總之是文科的科目，都可以說不用明白當中的方法。數學有一種獨特之處就是「一理通百理明」，即是說如果你明白了當中的方法，所有的問題都會迎刃而解。這就是數學的獨特之處。為什麽我會什樣說呢？數學是雖要理解，而大部分男性的理解力是比女性強，所以在學習數學男性就比女性強。

我認為理想的數學堂是應該有數學味，這樣學生就不會感覺悶，從此就對數學沒有興趣或是討厭數學。如何令數學堂有數學味呢？就是要從老師入手，當老師教授一些較抽象的課題時，老師可以拿一些幫助到課題的道具，這樣我認為會較容易理解。其實，還有其他方法的：在課堂時搞一些笑話或讓同學放一陣的休息，令同學能較容易理解。

我曾經克服的數學困難是我在中一時，面對數列，當時我遇到一條數學題，令我想了差不多一個小時。這一條數學題是功課的最後一條。終於我找到答案，那時我也十分開心。到了上課日，老師問在家課上有冇遇到一些困難？當時幾乎全班舉手，但是我懂得那條數怎樣做有很大的成就感。接着，數學老師叫我出來向全班解釋，結果，得到了全班的掌聲。我真是有大的成就感。

數學必須按時做練習。數學必須要操練。這樣才會成功。如果因為躲懶而不做練習或不操練。這樣就會失敗。因為我也有這樣的經歷，曾經我也這樣的失敗，到了考試的時侯，我的腦海一篇空白。我才明白這個道理：數學必須按時做練習。數學必須要操練。這樣才會成功。

從幼稚園到中三，我一直學習數學。我明白了數學在日常生活，都會被應用得到。我在知道學數學的重要性。這就是我從幼稚園到中三的學數心得。在數學上，我即是遇到困難，也要積極面對。這樣所有的問題都會迎刃而解。

學數心得（08093A41）

2009-04-15T22:41:00.000+08:00

對我來說，要學好數學十分難，因為數學與其他科不同！例如讀中史和西史我可以靠死背，數學不能死記「1+1=2」，中文在考試時不懂也可以撞答案，但數學是真的要做到完全理解，但要理解就要加上少許天分，要對數學有觸覺，雖然數學是由一些數字和符號組成，但內裡包含著前人數千年既經驗，沒有觸覺，就會被一條數學題困擾著。總之，學好數學除了和其他科一樣要多做練習外，還要加上天分。

我認為理想的數學堂必須要互動，例如笑談數學歷史或發問一些趣怪的數學題，這樣做亦能給我們一個準備。一堂數學堂有55分鐘，如果整整一堂都是坐著計數，一定令人覺得悶，沒有心機計數，就可能做了其他事，例如和同學聊天或睡覺等。除此之外，老師應該作多元化的解釋，如運用電腦和立體圖像作更具體的解釋，只用黑板有時會十分抽象。老師不能太死板，讓同學在愉快中學習到新知識，亦讓同學發現到數學的神奇和有趣之處！

我記得在我小學的時候，因為我是學加減數之後才學乘除數，沒有先乘除後加減的概念，加上自己大意，不會理會這些理念，計完之後總會認為自己是對的，以致常常計錯。幸好後來學會覆卷，每次計完都會看看自己有沒有寫錯數字和特別注意自己經常錯既地方，把錯既機會減至最低。

學數學我們必須按時做練習，不可一天做了七天既練習數量，因為這樣是不會有深既基礎，練習除了令我們加快計數的速度，更可加強我們對數學的觸覺，絕對是我們天天都應做的事。另外，現代社會很多學童喜歡玩電腦遊戲，我們可以玩一些網上數學遊戲，例如數獨都是十分益智的遊戲，讓我們愈學習於遊戲。除此之外，我們也應該在空閒時看多一些數學書籍，一來增加對數學的知識，二來可以培養同學對數學的興趣，因為要有興趣才可令你持續地練習數學，所以我們應多看數學課外書。

還記得我小學時，老師常常給我們很多數學功課我們，當時的我當然只會怨，但當我升上中學的時候，發現我比普遍同學都快吸收數學，很快明白老師的解釋，而且加上我小學時計得數多，發現數學其實很有趣，能成功計到一條難題，滿足感也是十分大的。總而言之，學數一定要有恆心，時常做練練習；一定要小心謹慎，多留意自己常錯的地方，當我們做到這些，其實學習數學都可以十分容易的，再看到自己能成功計到數學難題，那種滿足感是第二樣東西不能取代的！

學數心得（08093A40）

2009-04-15T22:40:00.001+08:00

數學科在我心目中，和其他科目很不同。除了生物科外，我最喜歡的科目便是數學科。而且，我對數學的好感度一直有增無減。我認為數學較其他科為獨特，其他科目要背資料，雖然很多人認為數學科都要背公式，但其實只要明白那條公式的由來，根本不需要背公式，考試就不怕會忘記，自然就會拿到高分。我認為數學很吸引是因為它的範疇很大，不是單單在計數，還有很多其他有趣的項目，例如密鋪平面，繡曲線等，它們不用計算，卻十分有趣。所以，我其實是非常認同「數學真有趣」這句話。而且，數學其實能夠應用於日常生活中。例如出外吃飯不懂計數，到街市買東西不懂計數，這樣會很容易被人騙。所以數學能讓我們成為精明的消費者。

在我心目中，理想的數學課，是要有互動，老師不能只是在講課，如果是這樣的話，同學很容易上課睡覺，或者在做其他的東西。我認為上課間中要有一些比賽，增加同學對數學的興趣，讓同學知道他們上的不是一堂只是在計數的沉悶課。最好，比賽會有獎罰，增加比賽的刺激性，令同學更投入，增加同學追求答案的精神。
　
我曾經有學數困難，不過很多時候我都會經過長時間的思考，如果真的不能自己解決，我才會去問別人。
　
我並沒有按時必做的習慣。只有那些我認為自己不熟練的題目，我才會要求自己每星期最少要做二十條數學題目。

個人經歷方面，我自己有三個學數原則，就是做，想，問。

我認為學數學最重要就是要多練習，因為數學其實不能對著那些題目便能明白。最好就是到書店買本難度較高的練習，然後自學，真正明白如何去應變不同的問題，一定會有進步。另外，放學回到家裡，我一定會重溫當日老師所教授的課題，而且最好盡快做完當天的功課，加深記憶。這樣，到考試的時候，便不用花更多時間來溫習。此外，我會經常在日常生活應用數學，買東西的時候，我會用心算，這樣可以訓練自己計算快些。當我有困難的時候，自己真的不能解決，我便會去問別人，尋求解決方法。有時，當我完成某些難題後，我會很享受成果，亦會認為之前的辛苦不算甚麼。
　　　　

學數心得（08093A33）

2009-04-15T22:33:00.000+08:00

在香港，每個人都必須接受教育，中、英、數更是必修的科目。有人問，為什麼要學習語文？我說文字是人類的精神食糧，缺乏語文修養的人，就等於失去味覺，生活也變得枯燥乏味。那麼，為什麼要學習數學呢？難道數字也是精神食糧麼？不，我認為數學並不是一種科目，而是了解人類的思考方法及邏輯推理的一種過程。透過學數，我們了解到前人的智慧及思考方式，對於自己和下一代都有更深遠的影響。

學習語文和學習數學，兩者有何不同呢？中文與英文的學習方法都是大同小異的，並沒有太大的差別。因為它們都各具五大範疇：閱讀理解、寫作、聆聽、說話及文法。很多語文教師都說：「語文要經過浸淫才會學精」，所以我認為經常閱讀課外書籍比學習任何範疇都來得重要。
另一方面，學習數學的方法則截然不同。雖然數學都能以浸淫來習得，但這種學習方法只能學，不能精。數學要學得精，需要透過實踐，明白理論，才能融會貫通。從小我便聽數學老師說過千百遍：「一理通，百理明」及「條條大路通羅馬」等話語。其實他們形容得非常貼切，要解題，就必須找出解題方法，方法用得正確，答案自然不會錯。但是否只有一條方法去解同一條題目？肯定不是。你可以去發掘，直至發掘出其他方法為止。讓我舉一例：１＋１＝２，這條算式有不同的方法去理解。最簡單理解成１個蘋果加１個蘋果便共有２個蘋果，這是加法運算。但你亦可以理解為一個蘋果供應商，分別給了１個蘋果給２位小朋友，小朋友們便有２個蘋果了，１（１＋１）＝２，這是運用了乘法分配性質。同樣是一條算式，一個答案，思考方法卻千變萬化，難道這並不是數學的獨特之處嗎？

我認為上數學課並不只能在計數，應要有同學互相分享意見的時間。課堂的三分一時間用來計數，其餘的應要是師生的分享。例如老師出幾條算式，學生應在指定時間內找出答案，然後讓學生分享他們的思考方法。因為方法是千變萬化的，所以方法一定會有不同。但分享過後，老師可以教導他們怎樣才能找出最快及最精簡的方法，從而引申出其他的公式。這樣的數學堂，才是真真正正啟發學生思考的數學堂，而不是被公式所規範，學生不斷被操練，最終只會令學生對數學失去興趣，在數學中找不出樂趣。因為樂趣是要自己去尋求的，這樣的滿足感是老師或同學都不能給予的，只能靠自己才會得到快樂及滿足。

以我為例，很多人都認為我頭腦很好，數學好也是必然的。雖然我頭腦好這一點不容置疑，但我不認為我的數學很好，只是做數時比其他人謹慎而已。在基本的數學上我只是達標，但當一些算式需要靈活的腦筋時，我就會走進死胡同。這個時候，你就需要不恥下問了，因為同學之間可以互補不足，令大家都有交流的機會。但大前提是要你去發問，你不發問，別人不能理解你的問題，自己也不能找出解決的辦法。雖然不全是自己的力量，但當自己計算出正確答案時，這時的滿足感會從心頭裡湧出來，像是雨落在地上時的爆破一樣，無人能阻止，無人能給予。

另一方面，我認為數要學得好，必須養成謹慎及忍耐的習慣。因為你要不怕煩悶，不怕繁複去做每一條數，但同時亦要複查過程和答案是否正確，當你再三確認時才是做好一條數。但你也許會問，在考試時你這種做數方法一定會花很多時間，能及時完成整份試卷嗎？我的答案是「不能」。因為不能，所以才要操數，不然那來時間給你複查？但操練的目的不是要背誦每一條數的解答方法，而是要接觸多一些問題的出題形式及解答時的思考方式。這樣你才會知道什麼時候用什麼公式，這樣才是學好數學的過程。

無論怎樣，每個人的學數心得都有所不同，所以我的經驗只供人們參考。但正因不同，才會有交流的機會。每個人都應交流自己的心得，不論是數學，而是所有經驗，才能反思自己的錯處及欣賞別人的好處。香港的學生正缺乏這種學習方法，但我們可以嘗試，說不定會有意外的收獲呢！

學數心得（08093A30）

2009-04-15T22:30:00.002+08:00

學習數學是要經常練習的，而跟其他文科當然是截然不同，文科是要對事件的理解和記憶，而數學需要推理能力外，還需要持之而恆的練習、謹慎和小心的習慣。雖然說數學特別勁的人是有天份的，有聰明的頭腦，但是我相信不斷改善自己不足之處，喜歡發問，一定能夠把數學成為自己長處。

說到理想的數學堂，我覺得有分不同時候。在幼稚園時，理想的數學堂的當然是以玩遊戲的方式來學習數學，小孩子比較喜歡互動式的學習環境，容易掌握基本算數方法。而小學的理想的數學堂應是以問答形式，小學生可能開始對遊戲方式感到無聊或幼稚，老師盡可能多發問，要求學生多回應，從而訓練學生多回答數學問題，對數學的理解和解題能力。到中學，學應籍著課堂時間和老師互相討論數學難題或交流學習方法。想要認真的學習和投入數學，基礎是不容忽視的，所以理想的數學堂對學生十分重要。

小學時我的數學特別遜色，而且要到數學輔導班，因而我經常到圖書館借一些數學趣味書籍，希望改善我的數學。書中大致是一篇故事，然後有很多數學難題，我最喜歡跟媽媽一起討論難題，從而提升了我對數學的興趣，而我的成績也進步不少。

學數心得（08093A23）

2009-04-15T22:23:00.000+08:00

數學對於我來說是一種有趣的學問，在日常生活會時時刻刻地運用。

我認為數學相對中文科，中國歷史科，歷史科難，因為這些只是背誦便可，但數學則不但要背公式，還要把公式活學活用，並要透過公式把有關題目解答；數學相對化學物理就較易，因為數學在生活中一定會運用到，就例如商場減價他們會 3折 / 70% off 以表示該貨物的定價，而且人對於錢較為敏感，所以買之前都左計右計，但相反物理，化學都要先理解後背誦，並且在生活不能時時用到，所以往往令人忘記。所以若然要學好數學，就要日日都做多些數學練習，例如老師吩咐你做 5 題數學練習，你自己就要另做 4 題或較多的數學練習，藉此加深記憶。

每個人都有理想的數學課，即使是偉大的數學家或是路邊的乞丐都有自己的理想數學課，所以藉藉無名的我都有理想的數學課，我的數學課是希望可以跳出課室，到街上尋找有關數學的理論或公式，例如我們可以透過一份三文冶，從而認識畢氏定理，這樣不但可以加深對畢氐定理的認識，還可以把他吃掉，真是一舉兩得。並且我希望數學課可以多做數學練習，藉此可以操練我們的計算和思考的速度，因而可以有效地完成考試。但我亦希望老師能夠體諒我們，於測驗時能夠有較少的功課。

於小學二年級時，我對乘數表十分抗拒的，因為乘數表對我來說是極具艱辛的，因為乘數表只可靠背誦，很難明白十分傷頭腦，幸好有良師，他不介意放學後教我如何有效地背誦乘數表。最後我在測驗中取得佳績。所以透過那次的經歷後，讓我明白到「世上無難事，只怕有心人」的道理。

對於數學，每個人都有不同的成功之道，而我也不例外，即使我未算是成功的人，但我也會堅持向成功邁進。當每次老師給我較少功課時我都會做書本或工作紙有關的題目，並且有時間還會預習有關課題，有時還會與同學相討有關難題。

其實談起自己對數學的個人經歷，不禁令我想起，小一時我因不懂計算加減數，以後討厭數學，直至，小三，我的數學老師，盡他所能教我數學，當年，我記得，日日都要留堂，日日都要做數，雖然辛苦，但我知道苦盡甘來，因為我在測驗中取得佳績，並那位老師獎勵了我，藉此，我已經不再討厭數學，並覺得數學真有趣！

學數心得（08093A20）

2009-04-15T22:20:00.000+08:00

學數心得─對這個題目面言，我覺得甚有興趣。我認為除了數學外，其他科目要學好，很簡單，一字記之曰「背」，最多都只是要理解。但數學要學好，真的比它 (其他科目)更複雜，更富趣味性，要學好數學完全不用背，靠上堂集中及理解程度，多向老師發問，多思考，做多些練習，汲取經驗，多預習備課，但這些很容易做到，最難的是自己對數學的熱誠。首先要對數學產生感情，數學不像其他科目只是背書、背書再背書的樣子，而真的是靠天生對數字敏感(天份)和熱愛數學，更加對它起了感情，做數成為習慣，像對自己一般的看待，這樣才是學好數學的第一步，但也是最重要的一步。當中任何缺少一樣都很難學好數學。若果有天份但討厭數學，只靠自己少許的聰明或天份而驕傲，不理數學，把數學放在最後一位，考試不溫數學，儘管會合格，但得著不到數學背後的偉大意義和趣味性，亦埋沒了自己的天份，真的是很浪費。這些就是學好數學的獨特之處，其他科目是不需要的。

我理想的數學堂最緊要的是開心地上課。我覺得數學堂悶，令腦子對數學的那份衝動都消滅，令心情低落，根本做不下數來，相反開心地上課可以令學生更投入課堂。再者，我覺得上每一課數學堂前，老師可以給學生一道數學難題，激發起學生的心情。問完之後，可以開始教書，直到下課前的十五至二十分鐘，可以給學生嘗試做些練習，一來遇到不懂都可以問老師，二來讓老師得知學生的進度，調節下一節數學堂的進度。到最後，老師可以呼籲同學在家中預習下一課的教學內容，不但令老師教得快，同學亦學得更輕鬆，更易理解。

我的學數困難不多，不過一個大意已經足以致命：做數做得不小心。由小到大，我唯一可以與名列前茅看齊的科目都只是數學，我很熱愛數學，就算是教人數學或埋頭苦幹地研究數學，我都很樂意，很享受，我覺得數學很奇妙，聽到老師教書，教定理、定律，當中往往都是很得意、很有趣的，令我想繼續探究下去，而且做對每一題數令我有很大滿足感。但自己天生粗心大意，經常做數學都會不小心地錯，這個困難困擾了我整個小學生涯，當時真的錯得很不抵，次次都是不小心地錯。到中學時，我覺得不可以一錯再錯，是時候找方法糾正，所以我問人找方法，得出來的總結是，做測驗卷時盡量先以最短的時間完成所有題目，不管做錯或是對，總之一做做到最尾，不要停，到最後剩餘的時間才重新仔細地檢查一次。到現在我都繼續用這個方法，不過未見效用，所以放棄了。

說到個人經歷，我覺得數學或數字一定離不開日常生活。我由小到大習慣出外吃飯會在埋單前自己為該一餐計算總額。我記得小時候，有一次跟一家人到某某茶餐廳吃午餐，到埋單後我才記得要計算該餐的總額，自己心算計，發覺計多我們兩元，我立刻走回要求收銀員退回這二元，我想把這兩元還給爸，他竟然說給了我吧。其實我很喜悅，因為這兩元，仿佛象徵了我自己人生賺的第一兩金，這個兩元顯得好特別，又想起原來普普通通一個加式已經可以很有用，自此我每次都會先計一計，兩元又兩元，兩元又兩元可以很多錢呢！

學數心得（08093A17）

2009-04-15T22:17:00.002+08:00

數學這個詞，我們從小便認識它。它由數字組成，擁有千變萬化的形體，總令人丈二金鋼摸不著頭腦，卻又吸引人深深著迷。

數學一直緊扣著我們。從幼稚園時，我們便開始學習數學，把數字一至一百每天抄寫一次。關於數字的玩具遊戲層出不窮，那時天真的小孩便對數學感到有趣、好奇和新鮮，當然對數學全然是好感；小學時，老師教授的數學有變化了，與幼稚園的數學截然不同。我們學習加減乘除的要訣，而且認識了價值，便可以偷偷地獨個去買零嘴。背懂乘數表後，就能在考試中取得高分，只要多做練習，這個階段的數學可謂得心應手；升上中學後，我們更深入認識數學這個大家庭 ─ 因式分解、幾何、畢氏定理等，這些課題都需要良好的理解能力，若不，便只是一知半解，到考試來臨時便不敷應付。這個階段，我們需要學習的愈來愈多、愈來愈深入、愈來愈複雜，同學之間的能力就在此分出高低。

就學習而言，相比其他科目，學好數學這門學問來得重要，因為能終生受用。數學與我們的生活息息相關：日常生活的應用、商家的買賣、股票買賣、金融貿易等，這全都是數學。某些人認為數學只是精通加減乘除，能解決生活上最基本的就足夠，而對於學習深奧煩擾的定理，或是無趣的公式不明所以，後來才了解到學習數學，是對日後選擇多種行業的技能的幫助。

我與數學已相處了十多年，現在對它只有煩厭的感覺。學習數學可說是例行公事。每天坐在位子上，托著腮，努力專心聽講。身處課室中，旁邊每位都是死氣沉沉的，這氣氛真的很難受。每每簡單的題目不願多做，太艱深的又提不起勁去想，同學對於學習數學的興趣有減無增。我認為老師的教學方法是最重要的，深信作為數學老師的，會有一定的本領教導學問給學生，新晉的教學方法亦能引起對同學學習數學的興趣。

數學心得（08093A13）

2009-04-15T22:13:00.000+08:00

(學好數學VS學好其他科)
自小，隨著年齡的增加，要學的科目就愈來愈多。中史、西史、地理……但唯一離不開的就是語、數、英。而我也特別愛數學，雖然在初次接觸到化學，物理時，那些神奇的實驗和新奇的知識，確實令我著迷不少，不過仍然不減我對數學的一往情深。如果要打個比喻的話，數學就像我的母親，自小教導我「生活的知識」；而在成長路上接觸到的新科目，就像是我一路以來認識的好朋友，但人總不能因愛自己的好朋友而舍棄自己的母親，正如我也不會因此而舍棄對數學的愛。有人說過「世界萬物都有數學的影子」，所以學好數學對我來說，就等於可以更好地了解世界萬物。把從數學中學到的生活化數學，應用回生活中，那是學數學有別於其他科目的獨特之處；正如通過一條小小的三角學概念（費馬點？），來建成一條貫通各地的大橋，可見學好數學與我們的生活是如此的息息相關。

(理想的數學堂)
「數學堂悶死了……不如上體育堂打球還好了……」「整堂對著數字，計數…計數…人生比計算機還慘！」也許很多同學都會在數學堂如此呻吟。為何他們令願上體育堂都不上數學堂呢?原因就是因為他們懂得在體育堂中找樂趣，而不懂在數學堂中找。所以，樂趣—是理想的數學堂不可劃缺之一。因為我想大概沒有人會希望，在地獄般悲涼的課堂上數學，不然人們怎麼會如此嚮往天堂?當然，理想的數學堂還應有同學的積極參與和合作，加上老師的趣味教學。只要同學和老師都能真正地投入和享受數學的世界，數學堂也能變成充滿智慧與快樂的天堂，那才是數學的真正意義—享受數學。

(曾克服的學數困難)
對於自己的數學名次曾在級中打響過名堂，很多人都予以羨慕的目光。不過正所謂「台上一分鐘，台下十年功」，幾乎很多達到過自己目標的人都十分認同這一句話．而我也一樣，曾被數學道路上的石子絆倒過不少．就拿其中一樣來說：英文的數學題目－－那是對於一直在中國大陸讀書的我來說，確是一道不易在短時間內衝破的障礙．開始的時候確是有點兒不知所措，不過幸得父母的支持和哥哥的幫助，自己不停地查字典，做多一些英文的數學題目，以及哥哥給我的一些特別的中英數學詞彙，才使得我慢慢地跨越這道數學障礙．當然我也知道要解決這個問題也不是一朝一夕的事，所以我今後仍需加倍地努力，因為我知道以後還有更多的障礙等著我！

（按時必做的習慣）
所謂「機會總是留給有預備的人」，所以在學習新課之前　，我總會習慣性地作好預習．其實那是為了我在課堂上可以聽得更好，特別是遇上用英文教的那一課，預先查了不懂的生字，學起來就容易上手得多了．此外，我也習慣在學完每一個小節時，都會把這一節後面的練習盡力全部做完，以當是一節的複習；如此類推，每學完一章書也會這樣做．因為專家常說，人如果不常常溫習的話就會很快把學到的東西忘掉；而且孔子也常說：「溫故而知新。」，說不定我們在溫習的同時還能領悟到一些新的知識，那不是一石二鳥嗎？！

（個人經歷）
記得以前有同學說我做數太認真整齊，反正只是家課，勸我省口氣隨便做．不過我總是予以反對的態度，還送別人一段長篇大論的「大道理」，於是讓他們覺得我太過固執．我曾經在一本書上看過一些相似的內容，就是說有些人認為數學家很主見和固執，常常給人像牛一樣性格的印象，也因此令很多人認為數學是如此的乏味．後來我深思了一段時間，突然明悟到那反而是數學教給我的一個大道理－－要堅守自己的原則．因為數學有一個原則，就是它只有一個答案，你可以用不同的方法去解得答案，卻不可以胡亂地給它塞一個答案，那跟侮辱一個人有甚麼分別？！就是因為習慣了要自己認真地盡力做好每一條數學題，才培養出我堅守原則的性格．也是因為如此，我才發現數學對我的人生有著多麼重大的影響力。

（後感）
有人認為天才只需付出少許的努力就能成功，而愛迪生則認為：「天才等於百分之一的聰明加上百分之九十九的努力．「我不知道自己是一個天才還是普通人，但我只知道：只要我肯付出努力，無論我是天才還是普通人，都能有所得着！正如門捷列夫曾說的一句話：「終生努力，便是天才！」

數學心得（08093A03）

2009-04-15T22:03:00.000+08:00

如果拿數學和其他學科比較，根據我學習數學的經歷，我認為學習數學的獨特性是經常需要運用腦筋，把所學的公式和理論重組，分析，然後運用在不同的情況上。學習數學就像是把一大堆數字和符號混合，重新組成一些新的事物。不同於其他學科，只需要把所學的東西靈活運用便可，不用把一大堆東西混合。而且，其他科目學的都是由文字組成，而不是數字和符號。數學要把簡單的東西複雜化，又會把複雜的東西簡單化。而且，數學會把一樣東西研究得好透徹，但又會把東西還原最基本的面貌。

在我心目的理想學數堂應是──老師會向同學透澈講解每條公式背後的原理，讓同學明白為什麼這條公式會是這樣使用，不會令他們盲目使用。還有一堂理想的數學堂應是全部同學集中精神聽老師講解，一起做數，一起討論題目。在其他同學對題目有疑惑時，應幫助理解，形成一個良好的學習氣氛。

在學習數學的過程中，一定會遇上不少困難。我曾克服過的困難是把過去學到的數學知識運用到現在學的數學上。在現在學習的數學題目中，經常要運用到舊時學習的公式理論，而舊有的公式有一部份已被我忘記掉。所以要重新看一遍舊時的課本，然後再把題目做多幾次，令自己可以把知識運用到現有的題目上。還有，以前在看見一大堆數字時，都會感到十分煩惱，現在已懂得把數字分析，組合為不同的類別，然後用不同的方法運算，找出正確的答案。

現在我會定時計算一下現有課程的題目，令自己可以對課題有更深的認識。而且，我在放假的時候，都會拿以前的課本出來，把課本重新看一次，計算課本中的題目，看看有沒有什麼不明白的地方，令自己可以更加靈活運用所學的知識。

在我小學學習數學時，老師會先將課本內容講解一次，然後問有沒有同學不明白，有的話會向該同學講解多一次，其他同學就做書上的練習。到了中一時，老師多會比工作紙我們做練習，又會要我們把書中的全部練習完成。中二的時候，老師會詳細講解書中的內容，然後再從中抽取一些較難的題目給我們做，做完之後再和我們講解，或叫同學出黑板做題目。而且，當同學出黑板做題目，都會加平時分，鼓勵我們踴躍作答。

球體體積公式（西瓜肉的故事）

2009-03-01T11:00:00.001+08:00

問題：如何「證明」上述公式？

或者...

延伸閱讀：
自製教具驗證球體表面面積及體積公式
阿基米德的數學成就和研究方法

聯立二元一次方程

2009-02-01T00:00:00.000+08:00

加減消元法

從「開口中」淺談機會遊戲

2009-01-11T21:40:00.000+08:00

話說電視播放獎門人遊戲節目，玩到「開口中」遊戲，玩家要輪流由 1 至 100 開始嗌數字。玩到「41 至 45」現在輪到某女藝人，她應該嗌哪個數字，使她處較有利位置？還是無論她怎樣嗌，結果不是贏便是輪，所以兩者出現的機會都是一半一半？

大家意見如何？

M.C. 攻略

2008-04-19T19:00:00.003+08:00

又到公開考試的季節，這裡將一些流傳已久，
用來解答數學科卷二多項選擇題（或作對答案）的小技倆全面公開。

時間緊湊，別期望有時間複核答案，寧可你每一題小心作答。
選擇正確答案，一經發現立即作答，去下一題，不必再看其餘選項。如果未看出答案，應刪去無可能的答案。
題目一般由淺入深，首 36 題較淺易及直接，後 18 題所要求運用的概念及能力均較高。故開頭須盡快做，預留時間處理後面可能較深的題目。
如發現有難題，別花時間，應先選擇你覺得最好的答案，再在題號旁打星，若有時間，之後再看(當然不要打太多星號)。
即使時間不足，也別有空白題目(故聽聞有校內試規定答錯會倒扣分)。

下面關於代入法及圖解法的技巧，
令當年初中的我已經很享受做會考 M.C. 題。

代入法

圖解法

參考資料：
(短片庫)M.C.解題示範
會考數學資源庫
會考附加數學資源庫

網上課室

2008-04-15T21:00:00.001+08:00

曾經想問，會否有人製作真人示範的數學教育電視？

原來美國那邊已經做了很多功夫。這個名為 YourTeacher.com的網站，在 Youtube 放了近二百七十個示範教學，除了美式英語可能聽起來感覺陌生，大體上也不失作為課堂以外的延伸。

Video on The Slope Formula

Video on Finding Coordinates Using the Slope Formula

該片以座標幾何(Co-ordinate Geometry)為題，
中三同學只要聽力良好，也可大致掌握箇中內容吧。

初中簡易作圖

2008-04-01T20:00:00.001+08:00

常用工具

直尺 Ruler
量角器 Protractor
圓規 Pair of compasses
尖鉛筆 Pencil (Sharp)

複製某角作圖法 Re-Constructing an Angle

正六邊形作圖法 Constructing a regular Hexagon
等邊三角形作圖法 Constructing an Equilateral Triangle

角平分綫作圖法 Constructing an angle bisector

垂直平分綫作圖法 Constructing an perpendicular bisector
30度角、60度角作圖法 Constructing an angle of 30 and 60 degrees

內切圓作圖法 Constructing Inscribed Circle
外切圓作圖法 Constructing a Circumscribed circle(說明)

立體圖形

2007-11-19T21:31:00.000+08:00

前言
小病是福，不過早點康復較好。這陣子，遇到的學生質素參差，放學後的「追數工作」變成每天的指定項目。

正思量找哪些生活例子去闡明立體的反射面、旋轉軸，今云不愁沒有題材啦。考考大家：

問題一：哪些立體只有一個/兩個/三個反射面？

問題二：哪些立體具有兩重旋轉對稱軸？

隨手拈來的網上練習，讓抱恙的我輕鬆作個小休。

後話
不多於三分鐘的醫學資訊、診金連打針合共$240，但那時已接近晚上九時，憑家母走江湖的經驗，醫務所鋪租每月六十萬，眼見除醫生外還有5名護士，加上全日空調及其他開支，真難想像那醫生每天要看多少個街症才能收回成本？

學數心得

2007-10-17T01:00:00.000+08:00

[撰文：YKS (CYC 06-07 2A)]

打從我們一出生開始，我們已經注定了要走上一條必然的路──學習和接觸數學。因為我們無時無刻都運用着數學：去菜市場買菜的時候討價還價；上班一族的假期和花紅；班會旅行的預算和人數，通通都要用上數學。所以，如果這個世界沒有了數學的話，我真的不敢想像會變成怎樣。以下是我的個人心得：

數學最基本亦是最重要的是那10個數目字和4個數學符號。不過這些基本而又重要的東西可以組成成千上萬的式子。當我們都掌握了這些東西以後，便可以作簡單的運算了。

當然，只是一些簡單的運算是不足夠。因為數學還會分門別類，例如統計學、幾何圖形學等的類別。而我最感興趣的是速算的式子，因為如果速算能夠用得出神入化的話，會比計算機還要快。當然，熟能生巧──如果我們每天都有花一定的時間去練習的話，我想你很快便可以計算得「快而準」的了。

問題是：究竟要練習多少時間和用甚麼方法去練習呢？

其實練習的時間因人而異，如果是（速算的）初學者的話，一開始就別太過急進，因為太急進反而可能會產生反效果，令你討厭數學。其實我有一個挺好的辦法去練習一下速算：就是在乘車的時候可以留意一下附近的車輛的車牌號碼。因為車牌號碼有四位數學，前兩個數字和後兩個數字可以用來作乘法。其實不一定要兩位數乘兩位數，只要花多一點心思，便可以練習到各式各樣的速算。其實只要多留意我們身邊的事物，都可以用來計算和練習的。

當然，學習和將速算用得純熟的最重要的並不是練習的時間、方法，而是你對學習數學和速算的興趣。

數字感的隕落

2007-10-11T21:00:00.000+08:00

前言
正在向中三同學回顧一些正常用的「恒等式」，即是指 a² + 2ab + b² = (a+b)²，我著學生寫上「前的平方加二乘前後加後的平方」的十四字口訣，又強調因式分解的原則（把多項式變成一個單項式）。

但過程中，我卻發現整體學生對數字的感覺頗弱，因步驟要求學生把當中的項看成平方數，例如144m² = (12m)²。回想，以前由一到三十的平方大家都念得朗朗上口...今天，即使是簡單運算(我指是純粹十位乘個位)，學生動軋也用計算機，指頭也不見得靈活，真擔心。

我不是食古不化，要強逼每個學生用心算，課程中有些題目（例如貸款的問題）確實有使用計算機的必要。只不過，掌握計算機用法不等於掌握數理，只有用正確的輸入，計算機的答案才是正確，「人」才是解題的主角。比方說，我在黑板寫上：

7.08 x 6 - 13
-------------
5

學生往往說答案是 39.88！

找到下面的動畫，無論你是否上面所提及的那種人，偶爾做做，咪當健腦操啦。

[來源]

Rummikub 學界賽

2007-10-10T11:00:00.000+08:00

聲明：敝部與主辦單位沒有利益開係，以下宣傳純粹本著推動數學為原則。

今年仲夏曾撰文介紹，一個令筆者玩個不亦樂乎的「rummikub」，下月將有本港的學界公開賽。報名表、賽規及百搭牌運用方法等，請自行下載及列印。

查實早前收到通知，希望能於任教學生中選些精英，參加類似資優培訓。九月開課，新學年的學界賽又陸續展開。我也是過來人，不過那些精英的玩意很難深入群眾，當然，間中也有些人人可玩的思考題：

下圖中，共有幾個正方形？
取自1992年紐約市舉辦的第一屆「世界難題大賽」(來源)

後話
趁難得的「空堂」，我逐班印製宣傳資料連報名表，希望能吸引到一批有心人參賽啦。

淺談課外閱讀

2007-09-23T21:00:00.000+08:00

前言
年前看到方潤老師為數學類書藉作推介，一方面慶幸有同工整理書評(個人認為書評本身也頗從學生角度出發)，同時，綜觀其書介，自己也看過(果然英雄所見略同，哈~)。

近年教改提出「從閱讀中學習」，中小學普遍也在時間表分配每日半堂至一堂的閱讀課。昔日的課外閱讀跟課外活動等已經談不上課外，因為人人也沒有選擇，也必須參與。興之所致，我也嘗試找些值得數學老師一睇再睇的好書。

《怎樣解題》G. Polya著（天下文化）(圖右)

當年自己買了 G.Polya 三本關於數學教育的姊妹作：《怎樣解題》(圖左)、《數學發現》、《數學與猜想》（諗大學時，九章出版社是我不二之選，可能受到大學教授熱情推薦吧。但自上年去台北，遊走大小書店，我漸漸愛上天下文化）。

書名名乎其實，作者跟讀者解剖「解題過程」牽涉的原則、技巧，甚至發問的口吻，也有獨到的分析，可讀性高，值得反覆閱讀。我嘗試從書中找些例子：

「你是否知道一個與此有關的問題？」
回顧學生的經驗，即使對老師而言，能回顧自己在解題時碰到的困難及成功，都是開始解題的良方，諸如以前做過的習題，以前證明過的定理，甚或上一堂引入的公式等。

當然，時下資訊流通，很多書都附有目錄甚至網上書摘，各同工友好不妨自行試讀。

後話
其實，我是很喜歡上閱讀課，沉醉在閱讀世界之中。當然在課室做些閱讀推廣還可以接受，但最不希望自己是課室管理員，維持秩序同時卻犧牲自己近期少得可憐的閱讀時間。

大懲罰

2007-09-08T21:00:00.000+08:00

以下是一個數學老師與學生的對話：

老師：今天是九月X日，開學了！從今天起，數學科要有規有矩。上課要帶齊書本、堂課、文具、計算機及手冊，若欠帶任何一種用具，將會有以下罰則：
第一次，新學期，新開始，我原諒你，罰抄五個字；
第二次，算是開學大優惠，我再原諒你，罰抄五乘五個字；

學生甲：老師真的好人！我接受呀！
老師：當然！第三次，就要小懲大戒，罰抄五乘五乘五個字。
學生甲：一百幾十，都不是一個問題。那麼第四次呢？
老師：第四次？同一原理，就是五乘五乘五乘五個字吧！
學生甲：我知了！如果我欠帶十次，就是五乘五乘五乘五乘五乘五乘五乘五乘五乘五，即是．．．
老師：同學真聰明！
學生乙：（滴汗）五乘五乘五，再乘五乘五．．．好像是一個天文數字．．．
老師：（奸笑）總之，同學要切記欠帶用具，後果自負。

後記：中三數學的第一章是指數定律，剛好在學期初的第一堂需要講課堂規矩，相信這是一個有趣的引入，又是恩威並重的課堂罰則。

網誌@教學

2007-08-30T14:00:00.000+08:00

前言
適逢午後有教師發展工作坊，早前受訪後，心想好否向同儕分享，遂以「網誌@教學」為題，反正撰寫數學網誌一年多，該做點總結。

「網誌」是什麼？
(老掉牙的問題)按我理解，網誌 Blog 由 Web Log 演變而成。功能上，有國家將之變成傳統媒體外的新勢力(如本地的In-Media)，也有變成網上日記(如Xanga)，性質上，(1)網誌更新較傳統網頁多，有別於教科書甚至數學期刊；(2)人人也是作者及回應者，可以撰文及回覆；(3)不受時間地域限制。

「數學網誌」的原意
幾年前，發現自己所累積的網絡資源/有用連結雜亂無章，未能做到隨手可得，故嘗試用網誌的標籤(tag)，將之整理成私家網上資源庫，到後來也覺得共享文化值得提倡，遂而將之變成網誌，定期刊登不同內容，至於經常用到的連結則放在網誌旁邊。

「數學網誌」vs「數學教育」
網誌內容當然離不開數學，此外，教授中的課題有任何延伸資料，課堂中未說清的典故(例如東西方關於圓周率的歷史)，也可放在「數學網誌」之中；另外，網誌也提供一個學生寫作平台，較有名的包括台灣的YLL討論網，內裡放上很多由學生撰寫的數理定律。以過去的學年為例，我選擇某班全體學生，著其撰寫數個題目：「學數心得」、「數學日誌(一整天接觸到有關數學的紀錄)」、「專題寫作(見範例)」，也有些是學生在教授某個題目後找到的笑話；此外，每逢出席本地教育局的工作坊，我也將課堂要點分享；近年Youtube的普及，我也自行製作或轉載相關短片，務求令數學普及化。

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後話
個人認為，數學教育的本身，除了反覆操練的行為改變，教師本身的數學認知(cognition)及數學觀(perspective)怎樣引發學生的學習動機(motivation)、數學思維(thinking)同樣重要。從近年倡導的全方位學習觀點出發，筆者相信數學網誌/討論區等能有效突破教學資源、課室、教科書、甚至數學老師個人的局限，為學習數學給予延伸、拓闊、促進。

淺談劃線支票

2007-08-28T01:45:00.000+08:00

每逢進修，交報名費，若不想親身前往，唯一選擇便是網上申情或用郵寄。又如果，不能進行網上付款，常用方法便只有郵寄支票(在香港郵寄現金好像是犯法的，但一時忘掉是哪條香港法例)。

對在下而言，單是簽名本身已經是變幻無窮次次新，在銀行簽署要多番修正已屢見不鮮。另一個更頭痛的問題，是銀碼的中文寫法：

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100	1000	10000

(來源)

凡銀碼上有「1」、「2」、「9」之類的數字，寫法上皆令我感到非常頭痛

如果你也面對這個問題，希望下面兩個連結有用。
英文寫法：要先下載軟件，在視窗上輸入銀碼 (例: 3434.30) 然後把 "Cardinal" 轉 "Currency" 後按"Convert"
中文寫法：這個用法較簡單，在此不補充啦。

生活中忘記這些小技巧，網上世界均可隨手拿來，但考試場是無電腦供應的，各位同學仍得好好練習，多寫多記。

繪製橢圓形

2007-07-12T21:00:00.000+08:00

前言
上次登文已忘了是什麼時日，只知道由開始批改試卷，進而處理平日積累待處理的事務，加上試後各項活動(雖則活動的成功多有滿足感)，但這裡變相受冷落，要重新執筆，實在要多點心思。

早前參觀大學老師的數學室，找到這個，利用參數方程（parametric equations）畫出來的橢圓形：

教授圓面積時，我以正方形與長方形作類比，順道說明橢圓形面積公式。故相對於圓規，會否有所謂「橢圓規」呢？

延伸閱讀：橢圓規三款

心慌方：玩盡中小數學

2007-06-24T17:00:00.000+08:00

看過加拿大電影《心慌方(Cube)》系列的朋友，
多少對裡面的數學記憶猶新吧？

若非家姐深情推薦，連VCD也買回來，我恐怕錯過這驚慄電影，曾幾何時，我是很喜歡看驚慄片的（當然不只是純粹噴血的畫面那種）。

片中一開始是一個困在正方體的人，因為鏡頭所見的房間連地板、天花板都是同一設計。然後突然因某些機關致死（詳細點死就留番自己買碟睇啦），然後畫面接二連三有人會聚同一間房。我想家姐推薦我看這個，想必是戲中有個數學女天才，以及這個空間的數學設計。

按被囚的建築師提供的資料，「大立方體」高 432 米，她便以步距估測一間房的長度為 14 米(還記得初小時提及「永備尺」的概念嗎？)，也考慮每間房之間皆有空隙，故求得「大立方體」由 26x26x26 = 17576 間房組成。

經討論後，眾人起初決定往其他房間，以謀求出路。但房間本身有兩種：有機關的、安全的。但峰迴路轉的是，這些人竟返回最初的房間！在絕望之際，大家發現房間移動的規律，置身相同的房間，其實在「大立方體」裡卻在不同的位置。

導演在此也大玩數論及座標幾何呢：房間編號（由三組百位數組成）的可除性決定其是否安全；編號本身是笛卡兒坐標（Cartesian coordinate），而房間移動的規律也涉及幾何變換（要計算的話恐怕也少不了矩陣(matrice)的概念吧？）

除了數學內容，戲中人物對話裡的張力，尤其是話題談及數學時，多少也要點耐性，始終對有些人而言，數學早在兒時放在「恐懼名單」之中...

深情推薦各位買碟欣賞，該片絕對是低成本兼賣座的又一實證！

延伸：心慌方三部曲

電視專訪

2007-06-18T00:00:00.000+08:00

承蒙有線邀請，敝部派人接受訪問（訪問還有下半部，嘿嘿~）

與其說是訪問，其實對話（chitchat）內容已經有共悉，屆時有何變卦，看看字幕機也可解困。另外，節目統籌吩咐身上別要有藍色衣物，因為錄影室用藍色布幕做VIRTUAL SET，所有藍色的東西均會穿崩，有趣有趣。

言歸正傳，節目中示範兩個活動：

數字魔術，原文來自《數學拾趣》。
雙人脫困遊戲(5'47")，原文可參考這裡（第四頁）。

而對數表、魔力橋的介紹，早前也有提及，不過自己實在愧對先賢，適應錄影室的氣氛，對我已是一個挑戰，我在入面題到關於拓樸學（Topology），其實要我三言兩語讓大眾明白，自問我智慧有限，如今回想，思路紊亂，近乎不知所謂，希望這裡給大家一點補充啦。

我也提議介紹這兒時玩意，但礙於訪問時間所限而事先刪去了。

我想，若有任教設計與科技科(D&T)的老師協助，用粗電源線、細鐵絲、厚紙板等，打造一個大道具應該無難度（如圖）。

自行製作也簡單不過：
1.　用粗電源線彎出直徑4公分的圓環四個。
2.　將四個圓環分別用細鐵絲固定在厚紙板上。
3.　剪下一公尺長的粗電源線，彎成長柄。
4.　將各環依解題步驟一一套在長柄上，即可完成。

延伸閱讀：留客計。九連環、九連環分解步驟

座標幾何

2007-06-16T21:00:00.000+08:00

檢視學生試卷，發現他們在「座標幾何」的表現異常遜色。套用數佬的講法：「學生腦中已沒坐標感，更沒文字感」

查實以前的課程文件是很少提到ｘｘ感、ｙｙ感之類，但今日細看，與其說某某數學差勁，若能指出哪些範圍缺乏觸覺，聽起來至少「感覺良好」。這裡，我喜歡搜尋相關的網上遊戲，讓學生自行操作（manipulate），利用過程中多樣性培養學生的座標感。

這裡，當然不得不提笛卡兒坐標（Cartesian coordinate）啦～

笛卡兒由哲學家、自然界、科學應用來看數學，他認為數學的偉大在於其證明所依據的公理是無缺點的，數學是獲得確定和有效證明的方法，而且數學是形而上的。

「希臘幾何太過抽象，他只是用來訓練瞭解，使想像力大為疲勞的工具罷了！而代數太過於遵守原則和公式，計算過於繁雜，不是一門改良心智的科學。」

笛卡兒他把代數應用到幾何，在1637年，他寫了一本《幾何學》，讓幾何問題有一定的思考方法，也就是坐標幾何。基於坐標，幾何圖形可以被表示為坐標之間的運算關係，幾何問題也就變成解方程的問題了。

圖片來源：香港氣象中心
參考資料：笛卡兒(維基)、阿草的葫蘆
延伸閱讀：笛卡兒生平詳述

計算尺（slide ruler）

2007-06-15T01:00:00.000+08:00

終於找回遺忘已久的計算尺（slide ruler），那其實是我早前介紹對數表後一種衍生工具（圖中乃有滑尺的計算尺，也有圓形的計算尺）。被發明以後，乘除運算可以化為加減運算，對數計算尺便是依據這一特點來設計。

它的起源，大約要追溯到十六、十七世紀的歐洲，航海、貿易、天文學迅速發展。當中航海需要測量、繪製地圖、觀測星象，天文學家要確定行星的位置、製作天文數表，呢D工作都需要大數量的「乘、除、開方」運算，不但耗神費力且精準度不佳，直至有個德國數學家諗到呢樣野…

等比數列：１│１０│１００│１０００│１００００│１０００００│
等差數列：０│　１│　２　│　　３　│　　４　　│　　　５　　│

等比數列中的乘除法運算，可以轉化為等差數列中的加減法運算，例如要計算「100 x 1000」，因為它們對數是 2 及 3 ，而它們相加等於 5，5 是 100000 的對數，故答案是 100000。

這大致上是對數（logrithm）的基本思想，故後期的工夫便是煩一次，逐一計算每個數字的對數，寫成對數表，而往後的人則按表查數。雖然它唔算係偉大的發現，但係就大大化簡當時好多繁瑣的計算。

延伸閱讀：計算尺教學課程（by oscar）
進階閱讀：自然對數漫談

情迷魔力橋（Rummikub）

2007-06-11T01:00:00.000+08:00

上圖是我早前與小薯仔談及的數學遊戲「魔力橋」，初次接觸已是去年的事。機緣巧合，今年去同事家拜年時再見到這個，遂以文字為記，也希望將之推廣開去。

談到 Rummikub，我將之與 SCRABBLE、UNO，甚至麻雀扯上關係（只是後者不輕易帶入數學堂），當然本身能培養玩家組合、重組數字之能力。規則倒也簡單，玩起來卻變化無窮，不過，我傾向通過「試玩」，比起純粹閱讀說明書更快上手。到熟悉基本法，再視乎需要再看還未遲。

暫且不討論如何開局，容我做個小小示範，
已知玩家輪流發牌後的情況如下：
[使用 RSS 的用戶可能看不到下面數字的不同顏色]

你手上正拿著「4478666」。
現在到你出牌啦，你會怎樣做？

首先，眼前的牌主要分兩個原則歸類：(最少三隻牌)同色連續數、(最少三隻牌)同數字不同顏色。勝負關鍵在於，按上述原則，打出手上所有的牌，先手為勝。

策略一：
666湊成一組，
78與上圖右方那堆湊成一組，
把4放在上圖左上角那組
(但最後餘下一隻4！)

策略二：
取666與圖中555及777重組為567、567、67及5；
67與上圖左下方那堆湊成一組；
餘下的5與本身的44與上圖右上方123、5678
重組成12345、45678；
最後的78與上圖右下方湊成一組（完成！）。

還看得懂吧？正如一道數學題也有多種解題策略，再引入時間限制，絕對考驗玩家組織及決策的能力！

看著學生如此專注，沒有甚麼比這一刻令為師感欣慰。那是我第四次向周遭好友同事學生介紹該遊戲了。

聞說2007年度的本地賽於11/11舉行，都是從總代理打聽而來的(歡迎前往訂購，教師有八五折優惠)。

延伸閱讀：魔力橋(15日試玩版)

數學惡夢

2007-06-09T23:00:00.000+08:00

上圖是某學生在數學考試後，
因大受打擊而製的設計圖片。
失落之情，為師豈會不明白？

「看著分數的樣子，總是最誠實的。」

流行曲中的數學

2007-06-09T19:25:00.000+08:00

[撰文：小薯仔]

昨天與家妹到卡拉ok慶祝生日，在唱歌聽歌以外，
同時發現歌中隱藏了一些數學，例如下面的歌：

汽球　詞／曲：Peggy Hsu
黑的白的紅的黃的
紫的綠的藍的灰的
你的我的他的她的
大的小的圓的扁的
好的壞的美的醜的
新的舊的各種款式
各種花色任你選擇．．．

問題是：到底有幾多個汽球可供選擇呢？這裡有22個形容詞，但並不是代表只有22個，它們本身可以組合成不同款式的汽球，譬如：

我的　＋　黃的　＋　大的　＋　新的
他的　＋　白的　＋　小的　＋　舊的

由於這裡沒有假設曲中「四人」都有所有款式的汽球，所以問題應改為「最多有幾多種不同的汽球呢？」其實，這是一個組合的問題，試從不同的分類看：

顏色（8種）：黑的、白的、紅的、黃的、紫的、綠的、藍的、灰的
來源（4種）：你的、我的、他的、她的
形狀（4種）：大的、小的、圓的、扁的
外貌（4種）：好的、壞的、美的、醜的
新舊（2種）：新的、舊的

所以，可能組合(combination)數目＝ 8 x 4 x 4 x 4 x 2 ＝ 1024

咖哩魚蛋之經濟學

2007-06-07T00:00:00.000+08:00

[撰文：ricky]

記得年初某日，有幾位工友搬了一大盤香噴噴(又入味)的咖哩魚蛋到教員室，說是校長想到天氣寒冷，為一眾同事作打氣。心存感激同時，忽發奇想，這麼大手筆，那學生小息便無法享用這些美食(我校的咖哩魚蛋是連舊生也讚好的)？

「放心啦，小食部存貨充足，且校長是預先落訂的~」工友笑著回應。

作為數學的應用，庫存管理的探討變得普及，可能由於很多中學生在年宵市場大展拳腳，學校也刻意安排應用學習，教授相關的技巧。

以咖哩魚蛋為例，小食部會定期訂急凍魚蛋，並放在雪櫃儲存，每天也有一定銷路。從營商角度，至少要考慮兩點：(1)每次訂貨數量、(2)訂貨的週期。為方便探討，我先做以下假設：

每次訂購等量的急凍魚蛋
學生對咖哩魚蛋的需求變化是常數
小食部不會出現缺貨或囤貨問題
訂貨至收貨的時間是常數
訂貨成本(如運費開支)正比於訂貨量
存貨成本(如電費開支)正比於存貨量

由此，總成本=貨物成本+持貨成本+訂貨成本

若以圖像分別表示，總成本則是由三個函數(灰藍綠)相加而成的函數(紅線)：

明顯出現最小值，也是經典的邊際報酬遞減定律，由於x軸是關於訂購量，故值得探討的是，每次訂購多少，才使成本降至最低？

上面既然提及最小值，其實微積分的求導法(簡介、應用)正好大派用場。

延伸閱讀：進階問題(見例一、例二，歡迎回應)

點估計？

2007-06-06T22:00:00.000+08:00

[撰文：ricky]

前言：剛完成連續兩日的課程詮釋工作坊，聽到一個有趣的範例，而適逢今日是諾曼第登陸日，特此記錄，以茲紀念。

　
二次大戰期間，究竟德軍共製造多少部坦克？

提示：
話說德國人在製造坦克上，是把坦克從一開始便進行連續編號。而大戰期間，盟軍繳獲一些坦克，間接取得其生產編號。

這估計有什麼問題？

解答：
利用點估計(Point Estimate)的概念，用繳獲坦克中最大生產編號，乘以(n+1)/n，其中 n 代表繳獲坦克的總數，如繳獲20架坦克，最大的編號為100，那麼坦克總數為 100 x (20+1)/20 = 105。

延伸閱讀：點估計(powerpoint)

推車仔的魔力

2007-06-05T23:30:00.000+08:00

[撰文：小薯仔]

考試將至，出卷過後，與同工閒談未來幾日的數學堂安排，他的第一個反應是數學遊戲。既然他興致勃勃，當然不可錯過介紹自己心頭好的機會。如果大家不介意用腦的話，我誠意推薦這個數學思維訓練遊戲──「塞車時間」（Rush Hour）。

這是由日本人Nob Yoshigahara（1936-2004）所發明。全套玩具有一個遊戲盤、一輛代表自己的紅色跑車、數輛其他顏色的障礙車及彩色操作咭，一個系列有四十關，現在共有四個系列，遊戲難度各分為四級。遊戲規則簡單易明，在操作咭上，你的紅色跑車將被困於繁亂的車陣中，你需要按咭上指示把車輛放在遊戲盤上，並縱橫推動其他障礙車，以供紅色跑車一條直路逃出困局。

在我的推介中，只要不抗拒思考的，大人細路都會喜歡，並且頻頻跳級，越級挑戰。而我喜歡的程度是十級！如果有實物試玩，比較有快感，不過，大家亦可以到以下網站試玩止渴，希望大家喜歡。 ^.^

延伸參考：九章出版社的網頁介紹、Binary Arts網站　

後記：始終是考試將至，可能是他任教精英班的原故，所以可以放心介紹數學遊戲。相對於其他學生，恐怕積極推動考試溫習方為上上策，我都是繼續努力製作溫習工作紙吧！ ^_^!

新數學課程

2007-06-05T21:00:00.000+08:00

[撰文：Ricky]

老師甲：「喂，你間學校在新高中既課程組合攪成點？」
老師乙：「......」

雖知教統局年終無休開辦新數學課程工作坊，自己卻到今日才抽身參加。（任教初中數學的關係，幸得中三級提早考試，兼中二的精英班連複習亦已完成，不然，我討厭犧牲上課時間出席官方工作坊）

如無意外，今年的中一生，到 2009 年將成為首批面對新高中學制的學生；再者，屆時亦不再有獨立的附加數學（Additional Mathematics）、純粹數學（Pure Mathematics）、應用數學（Applied Mathematics）、數學與統計（Mathematics and Statistics），取而代之為單單一個數學科，運作模式主要為以下三種：

◎ 必修部份 (約270-338小時，佔10%-12.5%)
◎ 必修部份 + 選修單元一(微積分與統計) (約405小時，佔15%)
◎ 必修部份 + 選修單元二(代數與微積分) (約405小時，佔15%)

新課程給我即時的印象是：

「課程內容相似，授課對象卻截然不同！」將兩個公開試由二變一，少了一個面對壓力的機會，對學習動機不高的學生，能否投入三年的高中數學課實在成疑？未能投入，若然對他人構成滋擾，對課室中教師一人豈不是煩惱？十七八歲，怎麼說也是準成年的學生。

當然以上說話純粹放在心裡，新政策推行在即，可以做的是準備，別期望我們有議價能力。單單構思如何編班如何分配人手，相信已教所有科主任夠忙吧。

這裡筆者嘗試記錄部份重要答問，藉以分享。

為何將數學納入核心課程，而不勾出如附數、純數作選修科？
與其說數學如何重要之云云，想像課程中剔除數學後之嚴重後果(學科失衡)，避免學生少個機會選其他學習領域科目啦，確保學科(i.e.教席)既市場需求，哈...

課程文件中的用詞：

認識 vs 理解：我聽到的意思，大柢是後者涉及解釋及相關證明吧~
包括 vs 諸如：前者必須教授，後者可有其他選擇
（但考試主導下，恐怕兩者初期都無分別）

學與教方面，我覺得教師得辨清哪些是新加入的課題，哪些是初中的延伸課題，教學上多從學生學生角度出發，這裡的過渡問題不大。當務之急，反而是在編班上，組內組際之間宜謀求共悉，在本科與各科之間的利益取得平衡，對教師團隊的士氣有著穩定的作用。

延伸參考：新高中學制數學科課程介紹一覽

無獎問答遊戲：
留意連結，訪問中有哪些不完善的地方？
（參考單元；統計學的應用與誤用）
答案：(a)研究時段太長 (b)雙重否定 (c)涉及專用名詞 (d)問題內容敏感

數字音樂

2007-06-03T23:30:00.000+08:00

隨機聽到 Lover's concerto，令我聯想到林子祥的《數字人生》(填詞：潘源良)，那是我最初聽到的版本(後來才知那是改編的！)，於是隨便搜尋，竟讓我找到這個，歌詞中唯一一段文字，對今日重視數字的教育實在是當頭棒喝：

填滿一生，全是數字，誰會真正知是何用意
煩惱一生，全為數字，圓滿的掌握問誰可以

如今再聽，依然饒富趣味。

記得學期中段，我給學生開了一道額外的習作：「選擇假期裡的一整天，例如由九點起，將自己所見所聽所接觸，與數字有關的盡都紀錄」這樣做除好讓我有原因給予學生多一點「平時分」，其實也希望藉此，測試學生對數字(甚至是數學)在生活中扮演的重要性。

收到的習作為數不少，然而適當的解說(甚至只是單單讓學生互相觀摩比較)，其實學生可以體會甚豐。

範例

[撰文：HWW]
8:00-起床
→ 鬧鐘顯示6:00(時間的顯示)
→ 月曆─4月9日(日期的編排)
8:30-吃早餐
→ 飲牛奶時看到牛奶盒的營養含量的百分比(數量)
9:00-乘坐公共巴士
→ 巴士43A(次序的編排)
→ 巴士的車牌號碼
→ 用八達通時尚有$80.50(金額的多少)
9:30-到便利店
→ 一支維他檸檬茶$5.50(價錢)
→ 報紙上的六合彩號碼(抽中的或然率)
→ 報紙上的統計圖表(數據的顯示)
9:35-打電話
→ 2423****(電話號碼的編排)
10:23-圖書館
→ 圖書(書本的排列)
→ 圖書證號碼
1:00-砌模型
→ B15(零件編號)
4:00-玩電腦遊戲
→ 網址
→ 02194(帳號)
→ 1215*****(密碼)
6:00-煮飯
→ 盛油瓶子的刻度
8:30-用word做功課
→ 字型的大小、行高、邊長

由數字的廣泛應用到上述的音樂創作，若有機會，我會積極考慮將音樂跟數學來個crossover(官方稱為課程統整)。相信略懂樂理的朋友，如果對數理心慌慌，學習樂理怎麼也較困難吧？

輕鬆延伸閱讀：
(一)數字的聲調
(二)兩位美國高中生創作的 rap talk

進階延伸閱讀：數學與音樂的對話（師大學報）

圓面積

2007-05-13T17:00:00.000+08:00

上回談到自己開始圓周率、圓周的課題，弄清楚「公式」後，我嘗試示範解題，但觀乎教科書的例題似乎未夠「貼身」(但學生勝在留心聆聽)，我只是著學生分辨圖中有哪些「曲線」(arc)，算式便會有哪幾個部份(part)...

不過，沒有生活化的例子，對初中數學課多少總有美中不足的地方(雖然我知有教授不盡同意我所講)，是故我想到用下面的事例。

我的至愛：芝心批
(可能經驗告訴我，食物是年輕一代的常用語言。談起食，學生多少都眉飛色舞)

一方面我以芝心部份作為計算圓周的示範(若手裡也拿著一件薄餅效果更佳，大家可自行想像)，同時我也以此作下一單元的切入點(我在黑版畫上兩幅圖：四份一個大批、二份一個小批，前者半徑等於後者直徑)，然後著學生比較兩件的大小。

下意識裡，我相信學生多少會聯想到「圓形」、「面積」之類的概念，此刻我便播出下面的動畫：

(資料來源)

類似的動畫也有不少(但這在勝在有提問及可以調整分割的數目，夠互動嘛！)，關鍵在於教師能否掌握搜尋網上「即食資料」(無論是備課、做論文，多少也是新入行教師的基礎能力)，或是閒時有否做好教材庫的心力。

當然少不得的是圓周率的歷史，曾見到部份學校在此大做愛國教育，的確，中國古代數學家做得很出眾，不過，教師平日的教風，多少也反映某些立場，這裡可不必大肆宣揚吧。有關圓周率的歷史，我誠意介紹這個。

學數心得（大師篇）

2007-05-12T18:00:00.001+08:00

前言
記得諗碩士時，有個單元探討學校教育的範式(paradiagm)，講者轉載丘成桐教授的自述，那是他於 20/3/04 於中大演講時的內容。我想，整理學數心得系列時，若能找到一些特別人仕，能講出一些他們自己成長過程中的重要學習的反思，效果應該不錯。對學生除了是有用的參考，對作為教師，若能反省我們和學生是怎樣學習的，多少那能成為我們教學工作的參照和反思吧。

延伸閱讀：另一個準大學生的故事

周三徑一？

2007-05-09T11:50:00.000+08:00

前言

教授中二級最後的一節課，內容涉及圓形、圓周及圓面積的概念。包括在下，當年就讀小學時已經有所接觸（包括公式連證明，相關應用等），但當下所見，或許大部份對公式已有所印象，但亦有部份的同學概念含糊，亦有更多同學連公式之證明也毫無認識。

在舊校接觸這課題，學生頻頻喧嚷自己已掌握本課，於是大條道理上堂分心，即使你按能力照顧，提供不同程度的題目，出來的結果連初學的也比下去。可見得，如何掌握學生的先備知識，對課堂內容的著墨，尤關重要。

今日開始介紹「圓周」及「圓周率」。綜觀教科書及網上簡報，其中的「活動」建議包括：先用直尺量度圓形物件的直徑(d)，再將繩子圍在圓形物件上，並量度圓周(C)。最後計算 C/d 的近似值。

想到這裡，我想問：「如何確保圍在物件的繩子就是該物件的圓周？」由老師親自示範便解決？上面乃是我去年採用的方案，但發覺「量度誤差(measurement error)」頗為明顯。如何處理(treat)這個無法解決(solve)的問題？

對，正是這個兒時玩意。

這裡，我利用大小不同的呼拉圈，模擬昔日中國數學家祖沖之當日所為。

短片播完後，我在黑版上寫上「直徑」、「轉數」、「距離」三者，然後將呼拉圈放在黒板上，兩者的接觸點畫上記號，拿去木軌上的粉筆粉刷，然後慢慢讓它在木軌上滾動一圈(經量度後分別是60.7cm、1圈、190.7cm，結果)，計算出來的「答案」等於3.1416(嘿嘿~)。

學數過程中，模擬當時學習數學的真實性，同時面對的限制(如量度工具及其誤差)，在兩者之間如何取得平衡，正是數學老師的專業所在。

噢，鐘聲響了，也許容後再談更多細節。

學數心得

2007-04-23T14:00:00.000+08:00

[撰文：WKY]

數學是常出現於我們的日常生活當中，自我學習數學的日子以來，直至現在，除了基本的數學符號加、減、乘、除以外，我還學了很多有關數學的知識，如：分數、代數、方程、統計、幾何……數學的範疇實在多不勝數，學之不盡。

有人說過，數學這東西，一理通，百理明。是真的嗎？我想，的確如此，只要知道明白何時、如何運用那公式，接下來的題目便容易得多了。那學習數學有何難呢？我認為，最困難的地方，就是第一步，就是徹底理解那公式，如果不明白的話，做很多的練習也是徒然（因為全都是依著例子做的）。不過，我覺得有時即使明白那些公式後，並不代表所有題目都懂得做。如果那些題目問得較為複雜一些，或用另一個角度來問問題的話，我便不懂回答那些問題，當看過計算過程後，我又明白了當中的原因。

我想，只要多做一些關於那範疇且類型不同的數學練習題，日後再碰到那些較複雜的題目，就會容易計算得多了。我認為數學這科目是不能「偷工減料」的，不可能不做練習而學懂的，即使天資再高，也要努力做練習，才會把那範疇做得純熟。

有些人認為數學枯燥乏味，有些則覺得數學很有趣，我自認對數學沒太大感覺，既不喜歡也不討厭，不過遇到一道頗為艱深的數學題時，又成功計算到答案時，就充滿成功感；當遇到一些要列出很多計算步驟的題目時，就覺得非常麻煩，卻不能省掉那繁複的步驟。當做完這數學題時，想要重新看一次所有的步驟，卻看到那些令人眼花又密密麻麻的數字。

我覺得，想要把數學學好，還是要多做練習，這還不只呢，我們還不能討厭數學，如果不喜歡它，如何能把它學好呢？即使不能喜歡數學，也嘗試不去厭惡它吧。不過，數學真是挺有趣，幾個簡單的數字、符號和圖形就能夠做成這麼多複雜而有趣的問題，等待我們計算。從古代至今，多少人成為數學家，去計算或驗證那些數學問題？不只是那些數學家，我們也是很需要數學的，數學是離不開我們的生活。

近況淺談

2007-04-23T09:00:00.000+08:00

承蒙 jacky 兄的賞識，為這裡作推介，只是最近有點忙，除了應付自己的碩士論文，校內也忙著批改數學統測卷、登分云云；同時也得為六月大考著手擬卷的工作，加上學生活動，是故暫時引入《學數心得》系列，那是我著學生在復活節假期中撰寫的一個題目（待批閱的傑作尚有數十份），希望稍後時間能將之加以整理。

學數心得

2007-04-23T01:30:00.000+08:00

[撰文：SWY]

數學佔人生一個非常重要的部份，是我們每天都會接觸的東西。不論你做任何事，即使是像到街市買菜這麼簡單的事，也會牽涉到數學的慨念，例如你要懂得買多少斤菜，並要有對一斤菜的份量有一個概念，再按自己的需要，來決定買多少，並要付多少錢等這些基本的數學問題。由此可見，如果我們的數學學得不好，將會嚴重地影響我們的生活。但是甚樣才能學好數學呢！本人倒是有一些愚見！

在此請求各位將看以下內容的讀者，
懷著一顆想學好數學的心，
否則你們可不看下去了。

我認為要學好數學的首要條件，就是要有充足的睡眠和不怕麻煩的精神，因為這樣才會有清晰的頭腦和耐性，去應付那些令人苦惱非常的代數、公式甚麼甚麼的。如果你睡眠不足，整天都在打瞌睡，你又甚會有精神和耐性去完成和面對，那些需要長篇大論和雕鑽的方式來解釋才能得到答案的數式呢？其實很多聰明人只是因為怕麻煩，才會害怕學數學，埋沒了他們的數學天份和學數之心。

繼而就是要有戰勝困難的決心，不怕失敗，不要因為只是做錯了一道數題，就認為自已是一個數學笨蛋，永遠都害怕接觸數學。我們應不斷嘗試，靠自己從不同的途徑來衝破障礙，並累積這些成功解決問題的方法，反覆驗証答案是否準確，久而久之，做錯數題的機會便會大幅下降。

其實對每一道數的執著，也是非常重要。要真正了解和明白一道數，最好便是用不同的方法去找尋答案和試驗答案，不斷鑕研同一道題目。因為這樣的作法，再配合常做綀習，可助你熟練各種公式和定理，也可了解自已的程度到那裏，鞏固基礎，以應付日後更深奧的題目。

還有的就是做數學IQ題，讓自己動動腦筋之餘，也可訓綀思考的條理、速度和靈活度，以及培養對數字的感覺，和對數學的興趣。

當然不能缺少好奇心、勇於發問、常看課外書、謙卑向人請教、仔细觀察等你我皆知的東西，但懷著一顆想學好數學的心，還是最重要的。

學數心得

2007-04-23T01:20:00.000+08:00

[撰文：TSL]

其實以前，我自己覺得數學是一科令我非常討厭的科目，可能是因為我天生沒有數學的天份，或是對數學不感興趣，所以我就認定自己是「數學蠢材」。

當我要測驗時，我只會溫一會兒，所以理解程度會低。

我在那時候，每逢我遇到有關數學的困難時，我自己一定不會問老師，而且不會回家想清楚和問家人，令我的數學成績大大退減。當時，我真的是一個對數學毫無感覺的人，我的小學老師於是叫我去嘗試參加補習班，並否認我之前的想法。

於是我就嘗試老師給我的建議，經過一個月的補習後，我的數學成績進步了很多，在考試的時候，亦都得到很好的成績，至此，我都很努力去學習，希望打破我之前所想的愚蠢想法。例如：每當我學了一些數學的題目，我都會溫習，而且還會預先預習。現在，我仍然都會使用這個方法，保持著穩定的水平。

數學對於我來說，是一個既是惡魔，又是個天使的科目，有時會令我不開心，有時會令我很開心。學數的時候，雖然不時會出現障礙，令我很想放棄，但有人就認為只要有一顆對數學熱誠的心和堅持，就一定會成功。

當我遇到困難時，常常反問自己，為什麼要有數學這種科目，並會埋怨起來。可是，想了一會兒後，就會發覺當中的原因。在我學數的過程裏，我發覺其實學數是一種會訓練人堅持的科目，而且又可以從中得到快樂。

我開始想一種方法，是可以令自己的數學比之前好得很，在經過這個復活節的假期裏，我終於找到了方法，就是你要在學校去完成數學功課，當你有不明白的地方，就去問老師或同學，好讓你早些知道解決方法。

我希望我自己可以繼續喜歡數學，不會因一時的失敗而放棄或討厭。

學數心得

2007-04-23T01:10:00.000+08:00

[撰文：NKF]

數學是一種考腦筋和測試你的邏輯的遊戲。例如一加上二等於三是任何人都能夠明白的算術題，但為甚麼不等於十、七或九，這是因為數字有數字的性質和含意。幼稚園的老師會教你們一即是一隻手指，一樣物件等，那麼你會知道一究竟是甚麼東西。

當你升上了小學，學的事物層面便高了一層，老師你們的是日常生活的應用，更多又淺又易於明白的公式。當中好像速率，乘數表等典型例子。而中學只不過將你在小學的知識鞏固，然後再深入地詳盡介紹。

其實要學好數學，必須由基本功開始，然後慢慢學上去。之後，便要做好以下幾個要點，就已經可以了。

多看不同類型的書，從而廣泛吸收更多的數學知識。
遇上了不明白的地方，必定要立刻問老師或幫助到你的人。
每天學過的事，重複複習一次，看看有甚麼不理解的。
多與高年級的師兄或師姐交談心得，虛心學習。

我認為只要做得到以上的事，便能更容易掌握數學了。

很多的學生（尤其中學生）也認為我這樣說好像只須要修讀數學這一科一樣。為甚麼別的同學也可以讀到這麼多的科目呢？就是因為他們努力聽課，甚至將課堂中學到的事用記事簿記下重點，這不是他們努力的成果嗎？總而言之，甚麼科目也好，只要做好剛才的重點，已經成功了一大半。

雖然可能你留意到有一些學生上課好像不聽書，不過往往這些學生的成績就是名列前茅的幾位學生。如果是這樣的話，他們也很有可能有哥哥或姐姐幫助他們，或是他們獨自閱讀了他們的書，而且又能夠從而明白書裏究竟寫甚麼，也可能他們比較聰明。但以我的看法，一定要和自己說我並不是甚麼天才，我只是普通的學生，和其他同學差不多，不要因為聰明才被聰明誤。

看過這篇文章，我希望讀者能夠在學數或其他科目也更上一層樓，永遠也是進步的人！

惡搞「聯立方程」

2007-04-16T22:00:00.000+08:00

原文：人與豬的數學

人 = 吃飯 + 睡覺 + 上班 + 玩......(1)
豬 = 吃飯 + 睡覺........................(2)

將(2)代入(1)，
人 = 豬 + 上班 + 玩 ,
人 ─ 玩 = 豬 + 上班

結論：不玩的人 = 上班的豬

男人 = 吃飯 + 睡覺 + 掙錢.........(3)
　豬 = 吃飯 + 睡覺...................(4)

將(4)代入(3)，
男人 = 豬 + 掙錢
男人 ─ 掙錢 = 豬

結論：男人不掙錢等於豬

女人 = 吃飯 + 睡覺 + 花錢.........(5)
　豬 = 吃飯 + 睡覺...................(6)

將(6)代入(5)，
女人 = 豬 + 花錢。
女人 ─ 花錢 = 豬

結論：女人不花錢的都是豬

綜上所述，
男人為了讓女人不變成豬而掙錢！
女人為了讓男人不變成豬而花錢！

男人 = 豬 + 掙錢
女人 = 豬 + 花錢

結論：男人 + 女人 = 兩頭豬

學數心得

2007-04-15T13:00:00.000+08:00

[撰文：KCY]

數學對某些人來說是一門非常難的學問，對某些人來說卻十分容易這是理所當然的！每個人總會有自己的長處和短處假如數學是自己的短處，也不必因此而自責，只要盡力而為就可以了！

學數最重要是有恆心，因為數學是永遠不會學完的，不要害怕數學，要嚐試愛上數學，數學是可以很有趣的！當你千辛萬苦嘔心瀝血地完成一題數時你會有很大的滿足感（這是我的體會），我自問數學成績不錯。如果你害怕數學，每當你溫習時也會想：溫英文先，之後中文，之後中史，之後歷史．．．最後先數學。每當你準備溫習數學時也會想一個理由去逃避，這樣你數學的成績永遠也不會有進步。還有不喜歡數學的話，上課也不會專心，不專心上課又怎樣得到好成績？

不要抄功課，經常抄功課的話對學習是沒有幫助的，數學一定要自己做，錯不打緊，這樣才會令你對錯過的題目印象深刻。

教科書 x 漫畫

2007-04-01T10:00:00.000+08:00

來源：產經

曾（幻）想過他日自己設計揉合數學的漫畫（或加入漫畫元素的數學書），想不到這那麼快就有人推出，更料不到竟得到當地外務省支持。但要香港能發展至這種模式，恐怕保守的官僚及平日忙到死的家長們都不感興趣。

吳教授翻譯文部科學省的回應：「我們不否定漫畫可在教科書使用，但必須以限隨學習內容為前提。這本教科書卻有令學生只看漫畫，不理學習內容的可能性。」唉，觀乎很多數學動畫，我也不否定他可在教學使用，然而學生（特別是小學生）在這個成長關鍵時候，接觸這麼多動態映像，對專注力，具體一點甚至閱讀書本的耐力，我恐怕這也造成難以預計的代價。

我無意將動畫一併妖魔化，然而社會連電視也充斥大量轉換的畫面（要數經典例子，我曾數過一個麥記廣告，裡面總共有近五十個 frame，每個出現平均少於兩秒，至少我雙親根本跟不上廣告內容），我想，用漫畫取代動畫，又是否較可取的做法（至少平日，我也偶爾在黑板畫漫畫去解應用題）？

延伸閱讀：吳教授《日本漫畫教科書的爭論》

內聯網的數學題

2007-03-23T05:50:00.000+08:00

有 A,B,C,D 共 4 部電腦，想利用「擲銀」方式決定任意兩部電腦之間會否連線，如果出現正面，則連線；如果出現反面，則不連線。連線的電腦當然能互相傳訊，請問全部電腦能互相傳訊的概率。

請把想法和過程寫下。
提示：試用圖像繪畫 4 部電腦連線的情形。

靈感來源：美國高中生數學競賽。

一題多解考創意

2007-03-07T00:23:00.000+08:00

如圖，已知ABCD乃一正方形，角OCD與角ODC均等於15度。
證明三角形OBA乃等邊三角形。

[題解]

大家可想到第八個方案？

數學資優生

2007-02-11T18:00:00.000+08:00

上週參加一個研習課，講者提到培育數學資優生的策略。即或我們的教育以考試主導，但至少對自身專業有所要求的同工，下表倒不失為一個教學自評的指標。

會上，講者提出所謂「加速式教學法」。個人認為，這些安排用在第一組別的學生也普遍合用，其實課堂目標明確，提問到位，安排主要時間進行堂課，之後隨即安排小測，務求保持課堂的緊湊，當然，不排除自己抗拒費盡心機攪下活動，純粹刺激學生的感官吧。

從世界杯中看數學

2007-02-06T22:00:00.000+08:00

[撰文：KCY]

去年世界杯戰況激烈，當你欣賞賽事時，可有想過世界杯也有數學的學問，你又知道多少呢？如讀者細看預賽成績單的話，你會發現只要積分達到 5 分者便肯定出線，分數達 4 分者，也有機會晉級；但分數少於 3 分者，便肯定出局。究竟這些涉及甚麽數學學問呢，原來這些跟成績單有關，分析詳見如下：

由成績單發現，各隊的勝、和、負場數和都為 3，亦即每隊要與同組的其他球隊比賽一場，所以同組共賽6場。如果所有賽事都分出勝負的話，即將場數乘以 3，積分總和就為 18。但出現和局的話，就會令「積分總和」少了 1 分，如此類推，如果 6 場全都和局，「積分總和」便會減至12。從上述可知每組的積分總和會在 12 至 18 分之間。

但為何說 5 分的球隊一定出線呢，是因為如果甲隊積分為 5（即取得 1 勝 2 和），有了 2 和，即表示積分總和最多只得 16，這樣不會令它出局。但如果計算出來的積分總和為 16 分以下，甲隊便有可能出局，但出線機會仍然非常高的。又為何說 3 分以下便一定出局呢，因為它能晋級的 4 個可能亦非常低，看以下詳述：

一．甲隊得ｌ勝 2 負﹝5 分），乙，丙同得ｌ勝 2 負﹝5 分），而丁則全勝﹝9 分），要用進失球數來決定，機會只得 3 分之 1。

二．甲隊為 3 和﹝3 分），乙，丙得 2 和 1 負﹝2 分），丁為 2 勝 1 和﹝7 分），令甲丁晋級。這為最大機會。

三．甲，乙隊也為 3 和﹝3 分），丙 2 和 1 負﹝2 分），丁 1 勝 2 和﹝5 分），甲乙須比進失球數，機會為 2 分之 1。

四．6 場全和局，4 隊比進失球數，機會相若，這為最小機會。

由此證明得 3 分的球隊比5分的出線機會差很遠。看完這篇文章後，我希望讀者你能更加留意周邊的數學，無論你正在做甚麽，也應多留意是否跟美妙有趣的數學在其中。