2007/06/24

心慌方:玩盡中小數學

0 回應
看過加拿大電影《心慌方(Cube)》系列的朋友,
多少對裡面的數學記憶猶新吧?



若非家姐深情推薦,連VCD也買回來,我恐怕錯過這驚慄電影,曾幾何時,我是很喜歡看驚慄片的(當然不只是純粹噴血的畫面那種)。

片中一開始是一個困在正方體的人,因為鏡頭所見的房間連地板、天花板都是同一設計。然後突然因某些機關致死(詳細點死就留番自己買碟睇啦),然後畫面接二連三有人會聚同一間房。我想家姐推薦我看這個,想必是戲中有個數學女天才,以及這個空間的數學設計。

按被囚的建築師提供的資料,「大立方體」高 432 米,她便以步距估測一間房的長度為 14 米(還記得初小時提及「永備尺」的概念嗎?),也考慮每間房之間皆有空隙,故求得「大立方體」由 26x26x26 = 17576 間房組成。

經討論後,眾人起初決定往其他房間,以謀求出路。但房間本身有兩種:有機關的、安全的。但峰迴路轉的是,這些人竟返回最初的房間!在絕望之際,大家發現房間移動的規律,置身相同的房間,其實在「大立方體」裡卻在不同的位置。

導演在此也大玩數論及座標幾何呢:房間編號(由三組百位數組成)的可除性決定其是否安全;編號本身是笛卡兒坐標(Cartesian coordinate),而房間移動的規律也涉及幾何變換(要計算的話恐怕也少不了矩陣(matrice)的概念吧?)

除了數學內容,戲中人物對話裡的張力,尤其是話題談及數學時,多少也要點耐性,始終對有些人而言,數學早在兒時放在「恐懼名單」之中...

深情推薦各位買碟欣賞,該片絕對是低成本兼賣座的又一實證!

延伸:心慌方三部曲

2007/06/18

電視專訪

0 回應
承蒙有線邀請,敝部派人接受訪問(訪問還有下半部,嘿嘿~)

與其說是訪問,其實對話(chitchat)內容已經有共悉,屆時有何變卦,看看字幕機也可解困。另外,節目統籌吩咐身上別要有藍色衣物,因為錄影室用藍色布幕做VIRTUAL SET,所有藍色的東西均會穿崩,有趣有趣。

言歸正傳,節目中示範兩個活動:
  1. 數字魔術,原文來自《數學拾趣》
  2. 雙人脫困遊戲(5'47"),原文可參考這裡(第四頁)
對數表魔力橋的介紹,早前也有提及,不過自己實在愧對先賢,適應錄影室的氣氛,對我已是一個挑戰,我在入面題到關於拓樸學(Topology),其實要我三言兩語讓大眾明白,自問我智慧有限,如今回想,思路紊亂,近乎不知所謂,希望這裡給大家一點補充啦。

我也提議介紹這兒時玩意,但礙於訪問時間所限而事先刪去了。



我想,若有任教設計與科技科(D&T)的老師協助,用粗電源線、細鐵絲、厚紙板等,打造一個大道具應該無難度(如圖)。



自行製作也簡單不過:
1. 用粗電源線彎出直徑4公分的圓環四個。
2. 將四個圓環分別用細鐵絲固定在厚紙板上。
3. 剪下一公尺長的粗電源線,彎成長柄。
4. 將各環依解題步驟一一套在長柄上,即可完成。

延伸閱讀:留客計。九連環九連環分解步驟

2007/06/16

座標幾何

0 回應
檢視學生試卷,發現他們在「座標幾何」的表現異常遜色。套用數佬的講法:「學生腦中已沒坐標感,更沒文字感」

查實以前的課程文件是很少提到xx感、yy感之類,但今日細看,與其說某某數學差勁,若能指出哪些範圍缺乏觸覺,聽起來至少「感覺良好」。這裡,我喜歡搜尋相關的網上遊戲,讓學生自行操作(manipulate),利用過程中多樣性培養學生的座標感。




這裡,當然不得不提笛卡兒坐標(Cartesian coordinate)啦~

笛卡兒由哲學家、自然界、科學應用來看數學,他認為數學的偉大在於其證明所依據的公理是無缺點的,數學是獲得確定和有效證明的方法,而且數學是形而上的。
「希臘幾何太過抽象,他只是用來訓練瞭解,使想像力大為疲勞的工具罷了!而代數太過於遵守原則和公式,計算過於繁雜,不是一門改良心智的科學。」
笛卡兒他把代數應用到幾何,在1637年,他寫了一本《幾何學》,讓幾何問題有一定的思考方法,也就是坐標幾何。基於坐標,幾何圖形可以被表示為坐標之間的運算關係,幾何問題也就變成解方程的問題了。

圖片來源:香港氣象中心
參考資料:笛卡兒(維基)阿草的葫蘆
延伸閱讀:笛卡兒生平詳述

2007/06/15

計算尺(slide ruler)

0 回應


終於找回遺忘已久的計算尺(slide ruler),那其實是我早前介紹對數表後一種衍生工具(圖中乃有滑尺的計算尺,也有圓形的計算尺)。被發明以後,乘除運算可以化為加減運算,對數計算尺便是依據這一特點來設計。

它的起源,大約要追溯到十六、十七世紀的歐洲,航海、貿易、天文學迅速發展。當中航海需要測量、繪製地圖、觀測星象,天文學家要確定行星的位置、製作天文數表,呢D工作都需要大數量的「乘、除、開方」運算,不但耗神費力且精準度不佳,直至有個德國數學家諗到呢樣野…

等比數列: 1│10│100│1000│10000│100000│
等差數列: 0│ 1│ 2 │  3 │  4  │   5  │

等比數列中的乘除法運算,可以轉化為等差數列中的加減法運算,例如要計算「100 x 1000」,因為它們對數是 23 ,而它們相加等於 55 100000 的對數,故答案是 100000

這大致上是對數(logrithm)的基本思想,故後期的工夫便是煩一次,逐一計算每個數字的對數,寫成對數表,而往後的人則按表查數。雖然它唔算係偉大的發現,但係就大大化簡當時好多繁瑣的計算。

延伸閱讀:計算尺教學課程(by oscar)
進階閱讀:自然對數漫談

2007/06/11

情迷魔力橋 Rummikub

3 回應


上圖是我早前與小薯仔談及的數學遊戲「魔力橋」,初次接觸已是去年的事。機緣巧合,今年去同事家拜年時再見到這個,遂以文字為記,也希望將之推廣開去。

談到 Rummikub,我將之與 SCRABBLE、UNO,甚至麻雀扯上關係(只是後者不輕易帶入數學堂),當然本身能培養玩家組合、重組數字之能力。規則倒也簡單,玩起來卻變化無窮,不過,我傾向通過「試玩」,比起純粹閱讀說明書更快上手。到熟悉基本法,再視乎需要再看還未遲。


暫且不討論如何開局,容我做個小小示範,已知玩家輪流發牌後的情況如下:
[使用 RSS 的用戶可能看不到下面數字的不同顏色]



牌架拿著6-8-11-2-1-5-7-12-8-11-13-@
到你啦,你會怎樣做?(時限 60 秒,步數不限)

首先,枱中央的牌分兩個歸類原則:
  • 同色連續數
  • 同數字不同顏色
每組牌最少三隻,而遊戲目標,
就是按上述原則,盡快打出手持的牌。
是時候看我表演了!
打出127,放在第二行中間那堆湊成一組。
從第三行取6,放在第二行右方那堆湊成一組,
這樣一來,從中取6,用手上的5,放在第二行中間那堆湊成一組。
這時中央出現5-6-7-8-9-10-11-12
牌架拿著「6-8-11-2-1-8-11-13-@
從中央取8打出88,湊成一組。
這時中央出現5-6-79-10-11-128-8-8
牌架拿著「6-11-2-1-11-13-@
@代表百搭牌,代表任何數字顏色,要好好利用!
我打出11-@-13,湊成一組。
牌架拿著「6-11-2-1」。
打出11,用中央的9@,湊成一組。
這時,手裡只有6-2-1
即使下手勝出,你只失 6 + 2 + 1 = 9 分。 
還看得懂吧?正如一道數學題也有多種解題策略,
再引入時間限制,絕對考驗玩家組織及決策的能力!


看著學生如此專注,沒有甚麼比這一刻令為師感欣慰。那是我第 5 次向周遭好友同事學生介紹該遊戲了。

詳細規則



2007/06/09

數學惡夢

0 回應


上圖是某學生在數學考試後,
因大受打擊而製的設計圖片。
失落之情,為師豈會不明白?

「看著分數的樣子,總是最誠實的。」

流行曲中的數學

0 回應
[撰文:小薯仔]

昨天與家妹到卡拉ok慶祝生日,在唱歌聽歌以外,
同時發現歌中隱藏了一些數學,例如下面的歌:

汽球 詞/曲:Peggy Hsu
黑的白的紅的黃的
紫的綠的藍的灰的
你的我的他的她的
大的小的圓的扁的
好的壞的美的醜的
新的舊的各種款式
各種花色任你選擇...
問題是:到底有幾多個汽球可供選擇呢?這裡有22個形容詞,但並不是代表只有22個,它們本身可以組合成不同款式的汽球,譬如:
我的 + 黃的 + 大的 + 新的
他的 + 白的 + 小的 + 舊的
由於這裡沒有假設曲中「四人」都有所有款式的汽球,所以問題應改為「最多有幾多種不同的汽球呢?」其實,這是一個組合的問題,試從不同的分類看:
  • 顏色(8種):黑的、白的、紅的、黃的、紫的、綠的、藍的、灰的
  • 來源(4種):你的、我的、他的、她的
  • 形狀(4種):大的、小的、圓的、扁的
  • 外貌(4種):好的、壞的、美的、醜的
  • 新舊(2種):新的、舊的
所以,可能組合(combination)數目 = 8 x 4 x 4 x 4 x 2 = 1024

2007/06/07

咖哩魚蛋之經濟學

0 回應
[撰文:ricky]

記得年初某日,有幾位工友搬了一大盤香噴噴(又入味)的咖哩魚蛋到教員室,說是校長想到天氣寒冷,為一眾同事作打氣。心存感激同時,忽發奇想,這麼大手筆,那學生小息便無法享用這些美食(我校的咖哩魚蛋是連舊生也讚好的)?

「放心啦,小食部存貨充足,且校長是預先落訂的~」工友笑著回應。

作為數學的應用,庫存管理的探討變得普及,可能由於很多中學生在年宵市場大展拳腳,學校也刻意安排應用學習,教授相關的技巧。

以咖哩魚蛋為例,小食部會定期訂急凍魚蛋,並放在雪櫃儲存,每天也有一定銷路。從營商角度,至少要考慮兩點:(1)每次訂貨數量、(2)訂貨的週期。為方便探討,我先做以下假設:
  • 每次訂購等量的急凍魚蛋
  • 學生對咖哩魚蛋的需求變化是常數
  • 小食部不會出現缺貨或囤貨問題
  • 訂貨至收貨的時間是常數
  • 訂貨成本(如運費開支)正比於訂貨量
  • 存貨成本(如電費開支)正比於存貨量
由此,總成本=貨物成本+持貨成本+訂貨成本

若以圖像分別表示,總成本則是由三個函數(灰藍綠)相加而成的函數(紅線):


明顯出現最小值,也是經典的邊際報酬遞減定律,由於x軸是關於訂購量,故值得探討的是,每次訂購多少,才使成本降至最低?









上面既然提及最小值,其實微積分的求導法(簡介應用)正好大派用場。


延伸閱讀:進階問題(見例一例二,歡迎回應)

2007/06/06

點估計?

0 回應
[撰文:ricky]

前言:剛完成連續兩日的課程詮釋工作坊,聽到一個有趣的範例,而適逢今日是諾曼第登陸日,特此記錄,以茲紀念。




 
二次大戰期間,究竟德軍共製造多少部坦克?

提示:
話說德國人在製造坦克上,是把坦克從一開始便進行連續編號。而大戰期間,盟軍繳獲一些坦克,間接取得其生產編號。

估計有什麼問題?















解答:
利用點估計(Point Estimate)的概念,用繳獲坦克中最大生產編號,乘以(n+1)/n,其中 n 代表繳獲坦克的總數,如繳獲20架坦克,最大的編號為100,那麼坦克總數為 100 x (20+1)/20 = 105。

延伸閱讀:點估計(powerpoint)

2007/06/05

推車仔的魔力

2 回應
[撰文:小薯仔]


考試將至,出卷過後,與同工閒談未來幾日的數學堂安排,他的第一個反應是數學遊戲。既然他興致勃勃,當然不可錯過介紹自己心頭好的機會。如果大家不介意用腦的話,我誠意推薦這個數學思維訓練遊戲──「塞車時間」(Rush Hour)

這是由日本人Nob Yoshigahara(1936-2004)所發明。全套玩具有一個遊戲盤、一輛代表自己的紅色跑車、數輛其他顏色的障礙車及彩色操作咭,一個系列有四十關,現在共有四個系列,遊戲難度各分為四級。遊戲規則簡單易明,在操作咭上,你的紅色跑車將被困於繁亂的車陣中,你需要按咭上指示把車輛放在遊戲盤上,並縱橫推動其他障礙車,以供紅色跑車一條直路逃出困局。

在我的推介中,只要不抗拒思考的,大人細路都會喜歡,並且頻頻跳級,越級挑戰。而我喜歡的程度是十級!如果有實物試玩,比較有快感,不過,大家亦可以到以下網站試玩止渴,希望大家喜歡。 ^.^

延伸參考:九章出版社的網頁介紹Binary Arts網站 

後記:始終是考試將至,可能是他任教精英班的原故,所以可以放心介紹數學遊戲。相對於其他學生,恐怕積極推動考試溫習方為上上策,我都是繼續努力製作溫習工作紙吧! ^_^!

新數學課程

0 回應
[撰文:Ricky]

老師甲:「喂,你間學校在新高中既課程組合攪成點?」
老師乙:「......」

雖知教統局年終無休開辦新數學課程工作坊,自己卻到今日才抽身參加。(任教初中數學的關係,幸得中三級提早考試,兼中二的精英班連複習亦已完成,不然,我討厭犧牲上課時間出席官方工作坊)

如無意外,今年的中一生,到 2009 年將成為首批面對新高中學制的學生;再者,屆時亦不再有獨立的附加數學(Additional Mathematics)、純粹數學(Pure Mathematics)、應用數學(Applied Mathematics)、數學與統計(Mathematics and Statistics),取而代之為單單一個數學科,運作模式主要為以下三種:
必修部份 (約270-338小時,佔10%-12.5%)
必修部份 + 選修單元一(微積分與統計) (約405小時,佔15%)
必修部份 + 選修單元二(代數與微積分) (約405小時,佔15%)
新課程給我即時的印象是:
「課程內容相似,授課對象卻截然不同!」將兩個公開試由二變一,少了一個面對壓力的機會,對學習動機不高的學生,能否投入三年的高中數學課實在成疑?未能投入,若然對他人構成滋擾,對課室中教師一人豈不是煩惱?十七八歲,怎麼說也是準成年的學生。
當然以上說話純粹放在心裡,新政策推行在即,可以做的是準備,別期望我們有議價能力。單單構思如何編班如何分配人手,相信已教所有科主任夠忙吧。

這裡筆者嘗試記錄部份重要答問,藉以分享。

為何將數學納入核心課程,而不勾出如附數、純數作選修科?
與其說數學如何重要之云云,想像課程中剔除數學後之嚴重後果(學科失衡),避免學生少個機會選其他學習領域科目啦,確保學科(i.e.教席)既市場需求,哈...

課程文件中的用詞:


認識 vs 理解:我聽到的意思,大柢是後者涉及解釋及相關證明吧~
包括 vs 諸如:前者必須教授,後者可有其他選擇
(但考試主導下,恐怕兩者初期都無分別)

學與教方面,我覺得教師得辨清哪些是新加入的課題,哪些是初中的延伸課題,教學上多從學生學生角度出發,這裡的過渡問題不大。當務之急,反而是在編班上,組內組際之間宜謀求共悉,在本科與各科之間的利益取得平衡,對教師團隊的士氣有著穩定的作用。

延伸參考:新高中學制數學科課程介紹一覽

無獎問答遊戲:
留意連結,訪問中有哪些不完善的地方?
(參考單元;統計學的應用與誤用)
答案:(a)研究時段太長 (b)雙重否定 (c)涉及專用名詞 (d)問題內容敏感

2007/06/03

數字音樂

2 回應
隨機聽到 Lover's concerto,令我聯想到林子祥的《數字人生》(填詞:潘源良),那是我最初聽到的版本(後來才知那是改編的!),於是隨便搜尋,竟讓我找到這個,歌詞中唯一一段文字,對今日重視數字的教育實在是當頭棒喝:
填滿一生,全是數字,誰會真正知是何用意
煩惱一生,全為數字,圓滿的掌握問誰可以
如今再聽,依然饒富趣味。


記得學期中段,我給學生開了一道額外的習作:「選擇假期裡的一整天,例如由九點起,將自己所見所聽所接觸,與數字有關的盡都紀錄」這樣做除好讓我有原因給予學生多一點「平時分」,其實也希望藉此,測試學生對數字(甚至是數學)在生活中扮演的重要性。

收到的習作為數不少,然而適當的解說(甚至只是單單讓學生互相觀摩比較),其實學生可以體會甚豐。

範例
[撰文:HWW]
8:00-起床
→ 鬧鐘顯示6:00(時間的顯示)
→ 月曆─4月9日(日期的編排)
8:30-吃早餐
→ 飲牛奶時看到牛奶盒的營養含量的百分比(數量)
9:00-乘坐公共巴士
→ 巴士43A(次序的編排)
→ 巴士的車牌號碼
→ 用八達通時尚有$80.50(金額的多少)
9:30-到便利店
→ 一支維他檸檬茶$5.50(價錢)
→ 報紙上的六合彩號碼(抽中的或然率)
→ 報紙上的統計圖表(數據的顯示)
9:35-打電話
→ 2423****(電話號碼的編排)
10:23-圖書館
→ 圖書(書本的排列)
→ 圖書證號碼
1:00-砌模型
→ B15(零件編號)
4:00-玩電腦遊戲
→ 網址
→ 02194(帳號)
→ 1215*****(密碼)
6:00-煮飯
→ 盛油瓶子的刻度
8:30-用word做功課
→ 字型的大小、行高、邊長


由數字的廣泛應用到上述的音樂創作,若有機會,我會積極考慮將音樂跟數學來個crossover(官方稱為課程統整)。相信略懂樂理的朋友,如果對數理心慌慌,學習樂理怎麼也較困難吧?

輕鬆延伸閱讀:
(一)數字的聲調
(二)兩位美國高中生創作的 rap talk


進階延伸閱讀:數學與音樂的對話(師大學報)